Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


em yeu chi anh

Đăng ký: 16-12-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in...

08-06-2013 - 09:49

Nốt.

Từ $(4);(1)$ có $f(x+1) \geq f(x)+1$

      $ (4);(2)$ có $f(x) \geq f(x+1)-1$

    $\leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$

kết hợp $f(x)=0 \forall x \in (0;1)$

có $f(x)=[x] \forall x\in \mathbb{R}$.


Trong chủ đề: $ f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2.f(y)+f(y^2)$

06-05-2013 - 20:48

Chỗ màu đỏ có vấn đề. Khy cố định $y$ thỳ ta chỉ có được $f(f(x)-f(y))-f(f(x))$ là song ánh chứ không phải $f(x)$ song ánh.

------------------------------------------------------------

P/s: không quá khó nhưng không phải đơn giản đến thế đâu. :)

quên mất, ko để ý là $x^2$. nhưng

 

Dễ thấy $f(x)=0$ là 1 hàm thỏa mãn :))

Ta tìm 1 hàm khác.

Với $f(x)=f(y) \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y$

Cho $x=y=0$ có $f(0)=f(f(0))+f(0) \Rightarrow f(f(0))=0$

Cho $x=y=f(0)$ có $f(0)=f(f(f(0)))-2(f(0))^2f(f(0))+f((f(0))^2)$

$\Rightarrow f((f(0))^2)=0 \Rightarrow (f(0))^2=\pm f(0) \Rightarrow f(0)=0 \vee f(0)=\pm 1$

Cho $x=0$ có $f(f(0)-f(y))=f(f(0))+f(y^2)$

$\Rightarrow f(f(0)-f(y))=f(y^2) \Rightarrow f(y)=\pm y^2+f(0)$

Thử lại:......

Kết luận:..... >:)

 

dòng màu đỏ có vấn đề. @@~


Trong chủ đề: Phủ đa giác bởi hình tròn

08-04-2013 - 21:49

CM định lý gogo đã đưa ra:

Giả sử hình lồi đó là $F$.

*Note: $F$ là hình lồi*

Ta chọn một đường thẳng $a$ không cắt $F$ và tịnh tiến $a$ lại gần $F$ cho đến khy nó đy qua một điểm của $F$.

Ta thu được ${a_1}$ có là đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với $F$ và $F$ nằm về một phía với đường thẳng ${a_1}$.

Tương tự như vậy ta có đường thẳng ${a_2} // {a_1}$ sao cho $F$ nằm trong khoảng giữa cách giữa ${a_1}$ và ${a_2}$. Rõ ràng khoảng cách giữa ${a_1}$ và ${a_2}$ không vượt quá $d$.

Chọn một đường thẳng $b$ nghiêng với ${a_1}$ một góc không quá $60^o$ và tiến hành tương tự như đối với ${a_1}$ và ${a_2}$ ta thu được 2 đường tựa ${b_1}//{b_2}$ cắt cặp đường thẳng ${a_1}//{a_2}$ tạo thành hình bình hành $ABCD$.

Bây giờ chọn đường thẳng $c$ nghiêng với ${a_1}$ môt góc $120^o$ và tiến hành tương tự ta thu được 2 đường tựa ${c_1}//{c_2}$ cắt hình bình hành $ABCD$ tạo nên 2 đoạn thẳng có độ dài $m$ và $n$. Ta có thể chỉ ra rằng có thể chọn vị trí bạn đầu của $a$ sao cho có $m=n$. Thật vậy đặt $y=m-n$  và $x$ là góc tạo bởi $a$ với ${a_0}$ là một đường thẳng cố định ban đầu. Khy đó có $y$ là hàm số liên tục đối với $x$.

Đặt $y=f(x)$. Ta có hiển nhiên $f(x)=-f(x+180)$. Khy đó theo định lý về giá trị trung bình cho hàm số liên tục ta có ${x_0} \in [0,180^o]$ sao cho $f({x_0})=0$.

Khy đó ta sẽ có $m=n$. Ta thấy hiển nhiên lục giác giới hạn bởi ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2},{c_1},{c_2}$ là hình lục giác đều có tâm đối xứng là $O$ là giao điểm 2 đường chéo của hình bh $ABCD$.

Lùi các đường thẳng ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2},{c_1},{c_2}$ sao cho chúng cùng cách $O$ một khoảng $\frac{d}{2}$ thỳ các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một lục giác đều có khoảng cách các cặp đối diện bằng $d$ và chứa $F$.

Ta có đpcm.

*ngại vẽ hình, tự tưởng tượng nhé*.

 Còn bài này nữa (:|. Chứng minh rằng một hình có đường kính $d$ luôn có thể phủ bởi một hình tam giác đều cạnh $\sqrt{3}d$.


Trong chủ đề: Trong 1 hình vuông có cạnh bằng 1, đặt một hình $F$ mà khoảng c...

28-03-2013 - 22:28

Đề bài không sai. Chỉ là thiếu sót chút thôi!!!

Đề sửa: Trong 1 hình vuông có cạnh bằng 1, đặt một hợp $F$ mà khoảng cách giữa $2$ điểm bất kì của nó không bằng $0,0001$. Chứng minh rằng diện tích của hình đó không lớn hơn
a) $0,34$
b)$0,287$

TL:

a, Ta tịnh tiến tập $F$ sang bên phải thành $F"$ và lên trên thành $F"$ 1 khoảng bằng $0,0001$ đơn vị.

   Rõ ràng ta có ${S_F}={S_F'}={S_F"}$.

   Mặt khác do đề bài có hợp $F$ có khoảng cách giữa $2$ điểm bất kỳ của nó không bằng $0,0001$ đơn vị cho nên có:

  $F\capF'\cap F"=\O$ .

  Dễ thấy 3 tập $F,F',F"$ thuộc hình vuông có cạnh 1,0001 nên có:

$3{S_F} \leq 1,0002.... \Rightarrow 0,34$.

b,

Vì hợp $F$ có khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong đó không bằng 0,0001 nên mỗi hình của $F$ nằm trọn trong hình tròn đường kính $0,0001$. Gọi hình tròn chứa hình ${F_i}$ là ${A_i}$. Ta có ${S_{F_i}}\leq{S_{A_i}}$. Và cũng do hợp $F$ có khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong đó không bằng $0,0001$ nên ta có lân cận bán kính $0,00005$ của các hình tròn ${A_i}$ không giao nhau. Gọi hình chứa lân cận  bán kính $0,00005$ của mỗi hình tròn ${S_{A_i}}$ là ${S_{B_i}}$.

Có ${S_{A_i}}\leq \frac{1}{4}.{S_{B_i}}$. Mà ${S_B}$ luôn nhỏ hơn diện tích của hình vuông cạnh 1,0001 đơn vị ( do lấy lân cận $0,0005$) nên tóm lại ta có ${S_F}\leq \frac{1}{4}.1,0001^2 \Leftrightarrow {S_F}\leq0,25....\leq 0,287$. đpcm.

 

---------------------------------

Một bài tương tự nhưng ý b vẫn sử dụng phép tịnh tiến + Đyrichlet:

Một tập hợp $H$ là hợp của một số đoạn thẳng nằm trong đoạn $[0;1]$. Biết khoảng cách giữa $2$ điểm bất kỳ của $H$ không bằng $0,1$. Chứng minh tổng độ dài của những đoạn thẳng tạo nên $A$ không vượt quá:

$a, 0,55.$

$b, 0,5$


Trong chủ đề: Tìm tất cả đa thức $P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$

21-02-2013 - 16:29

Tìm tất cả đa thức $P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$ thỏa mãn \[{P_1}\left( x \right).{P_2}\left( y \right) - {P_3}\left( z \right).{P_4}\left( t \right) = 1,\forall \left\{ \begin{array}{l}
x,y,z,t \in \mathbb{R}\\
xy - zt = 1
\end{array} \right.\]

TL:
Gọi deg${P_i} = {n_i}$ với i=1;2. Chọn$ N \in \mathbb{N} $ sao cho số các ước số của $N \geq {n_1}+{n_2}$.
Chọn $x\in \mathbb{Z} $ và $x|N, y= \frac{N}{x} , z= 1, t=N-1$ ta có :
${P_1}(x) .{P_2}(\frac{N}{x}) -1 = {P_3}(1).{P_4}(N-1)$
Coi trên là phương trình đối với $x$ và VT có bậc $ \leq {n_1}+{n_2} $ mà đa thức này có nhiều hơn ${n_1}+{n_2}$ nghiệm nên
deg$({P_1}(x).{P_2}( \frac{N}{x} )) = 0$
$\Rightarrow {P_1}(x) = ax^n, {P_2}(x) = bx^n$
Tương tự thỳ ${P_3}(x) = cx^m, {P_4}(x) = dx^m$
Cho $x=y=1, z=t=0$ thỳ ${P_1}(x).{P_2} y) - {P_3}(z).{P_4}( t) = ab =1 $
Cho $x=y=0, z=1, t=-1$ thỳ ${P_1}(x).{P_2}(y) - {P_3}(z).{P_4}(t) = cd =1$
Cho $x=z=1, t= y-1$ có $y^n - (y-1)^m =1 \forall y \in \mathbb{Z}$
Do đó m=n=1
Vậy ${P_1}(x) =ax, {P_2}(x) = \frac{x}{a}, {P_3}(x)= cx, {P_4}(x) = \frac{x}{c}$ với a,c là hằng số khác 0.