huynhviectrung

Cho $xy+yz+xz=3$ với x, y, z là các số dương
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

$A= x\sqrt{\frac{(3+y^2)(3+z^2)}{3+x^2}} + y\sqrt{\frac{(3+z^2)(3+x^2)}{3+y^2}} + z\sqrt{\frac{(3+x^2)(3+y^2)}{3+z^2}}$

$ x\sqrt{\frac{\left ( 3+z^{2} \right )\left ( 3+y^{2} \right )}{3+x^{2}}}= x\sqrt{\frac{\left ( z+x \right )\left ( z+y \right )\left ( z+y \right )\left ( x+y \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}= x\left ( y+z \right ) $ Q.E.D

Chứng minh phương trình: $x^{2009}=y^{2}+y+2+x^{2007}$ không có nghiệm nguyên

Phương trình đã cho tương đương:$x^{2007}(x^{2}-1)=y^{2}+y+2$

VT chia hết cho 3,VP không chia hết cho 3 $\Rightarrow$ Q.E.D

Cho $a,b,c\geq 1$. Chứng minh rằng:

 

               $\frac{a^{3}+2}{b^{2}-b+1}+\frac{b^{3}+2}{c^{2}-c+1}+\frac{c^{3}+2}{a^{2}-a+1}\geq 9$

Ta có $a^{3}+2-3\left ( a^{2}-a+1 \right )= \left ( a-1 \right )^{3}\geq 0\Rightarrow a^{3}+2\geq 3\left ( a^{2}-a+1 \right )$,sau đó áp dụng AM_GM,ta có đpcm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1.Chứng minh rằng:

$\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^3+1}\leq 3(a+b+c)$

Đề có sai không vây bạn ??? $c^{3}$ hay $c^{2}$

Cậu có thể giải thích tại sao :

$P\geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{9}$

$\sum a^{2}\left ( b+2c \right )= ab\left ( a+b \right )+bc\left ( b+c \right )+ca\left ( c+a \right )+a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}$

$\leq  ab\left ( a+b \right )+bc\left ( b+c \right )+ca\left ( c+a \right )+a^{3}+b^{3}+c^{3}= \left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )$

Cho n là số nguyên dương lẻ,chứng minh rằng:

$$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$ 

$2x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=17$

$y\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12$

Ta có :$2x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}= 17\Leftrightarrow \left ( 17-2x \right )^{2}= x^{2}+2y\sqrt{x^{2}-y^{2}}$,từ đây ta dễ dàng giải được bài toán.

Cho a,b,c >0 thỏa: $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48 = 0$

Tìm giá  trị nhỏ nhất của biểu thức:

$F = \frac{a^2}{b+2c}+ \frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

Bạn xem ở đây :http://www.artofprob...p?f=51&t=538252

Cho $a,b,c$ dương, chứng minh

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ac}$$

Ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\doteq \sum \sqrt{\frac{1}{4}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{3}{4}\left ( a-b \right )^{2}}\geq \sum \left ( \frac{1}{2} \left ( a+b \right )\right )= a+b+c$

Sử dụng Cauchuy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}}{b}= \sum \frac{a^{2}-ab+b^{2}}{b}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}} \right )^{2}}{a+b+c}\geq \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$

Giải phương trình sau:

$\sqrt[4]{x- \sqrt{{x}^{2}-1}} + \sqrt{x+ \sqrt{{x}^{2}-1}} = 2$

Em giải ra biết là đáp số x = 1 nhưng trong quá trình giải phải chứng minh 1 nghiệm khác là vô nghiệm. Giả sử như mình đặt ẩn là:

$x- \sqrt{{x}^{2}-1}$

thì khi giải sẽ ra nó bằng 1 và bằng $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ . Chứng minh cái nghiệm xấu ở sau là vô nghiệm ( không tìm ra x ) khá là lâu với cách bình phương hì hục. Không biết có ai tìm được cách giải khác hay hơn không?

Xin cám ơn trước

@Mod:Chú ý tiêu đề nhé !

Điều kiện của x là $x\geq 1$.

Ta có :$x-\sqrt{x^{2}-1}= \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\leq 1\Rightarrow \sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}\geq \sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}$

Do đó :

VT=$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}\geq \sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}\geq 2$=VP

Do đó $x=1$

Cho $n$ số nguyên dương khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho tổng ba số bất kì trong $n$ luôn là một số nguyên tố.

Giả sử $n\geq 5$.Ta chọn 5 số tuỳ ý trong n .Gọi các số đó là $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ (chú ý rằng tổng ba só bất kì trong chúng đều lớn hơn 3)

Trong ba số bất kì thì chỉ có duy nhất hai số đồng dư mod 3 (vì nếu cả ba đều có số dư khác nhau hoặc giống nhau khi chia cho 3 thì tổng của chúng chia hết cho 3 suy ra mâu thuẫn theo đề bài )

.Xét $a_{1},a_{2},a_{3}$ ,theo lập luận trên ít nhất có hai số đòng dư mod 3,giả sử $a_{1}\equiv a_{2}$ (mod 3).

Xét $a_{2},a_{3},a_{4}$ thì$a_{3}\equiv a_{4}$ (mod 3) (vì nếu $a_{2}\equiv a_{3}$ hoặc $a_{2}\equiv a_{4}$ thì ($a_{1}+a_{2}+a_{3}\equiv 0$ (mod 3) hoặc $a_{1}+a_{2}+a_{4}\equiv 0$ mod 3 suy ra vô lí ) (1)

Xét $a_{2},a_{4},a_{5}$ thì tương tự suy ra $a_{4}\equiv a_{5}$ (mod 3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

$a_{3}\equiv a_{4}\equiv a_{5}\left ( mod 3 \right )\Rightarrow a_{3}+a_{4}+a_{5}\equiv 0$ (mod 3) ,mâu thuẫn đè bài,vậy giả sử sai suy ra $nn\leq 4$

Bộ 4 số (1,3,7,9) thoả yêu cầu bài toán.Vậy n lớn nhất bằng 4.

cho các số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=0

Cm:(ab-c²)(bc-a²)(ca-b²)=(ab+bc+ac)³

$a+b+c=0$ nên$ab+bc+ca= a\left ( b+c \right )+bc= bc-a^{2}$,tương tự rồi nhân lại ta có đẳng thức cần chứng minh

Cho A là tập hợp các số thực dương phân biệt.Định nghĩa các tập B,C như sau :

$B= \left \{ \frac{x}{y};x,y\in A \right \}$,$C= \left \{ xy;x,y\in A \right \}$

Chứng minh rằng : $\left | A \right |\left | B \right |\leq \left | C \right |^{2}$

cho a,b,c duong thoa man dk : abc=8 .CMR:$\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b} +\frac{2+b}{2+c} +\frac{2+c}{2+a}$

Đặt $a= 2\frac{x}{y},b= \frac{2y}{z},c= \frac{2z}{x}$,bất đẳng thức tương đương :

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \sum \frac{z\left ( x+y \right )}{y\left ( y+z \right )}$

Xem ở đây :http://www.artofprob...?f=51&t=529888

Bạn tính lại đi

Mình nhầm,cho mình xin lỗi!