SonTung1998

$\frac{1+b^{2}a}{c^{3}}+\frac{1+c^{2}b}{a^{3}}+\frac{1+a^{2}c}{b^{3}}
=\frac{1+\frac{b^{2}ac}{c}}{c^{3}}+\frac{1+\frac{c^{2}ba}{a}}{a^{3}}+\frac{1+\frac{a^{2}cb}{b}}{b^{3}}
= \frac{1+\frac{b}{c}}{c^{3}}+\frac{1+\frac{c}{a}}{a^{3}}+\frac{1+\frac{a}{b}}{b^{3}}
\geq \frac{2\sqrt{\frac{b}{c}}}{c^{3}}+\frac{2\sqrt{\frac{c}{a}}}{a^{3}}+\frac{2\sqrt{\frac{a}{b}}}{b^{3}}$
Áp dụng hệ quả BĐT AM-GM:
$\geq \frac{(\sqrt{2\sqrt{\frac{b}{c}}}+\sqrt{2\sqrt{\frac{c}{a}}}+\sqrt{2\sqrt{\frac{a}{b}}})^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
Áp dụng BĐT $(a+b+c)^{2}\geq 3ab+3bc+3ca$:
$\geq \frac{6\sqrt{\frac{b}{a}}+6\sqrt{\frac{c}{b}}+6\sqrt{\frac{a}{c}}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
Áp dụng BĐT AM-GM, có ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Cách của mình hơi dài mình mới tập gõ công thức, sai chỗ nào các ĐHV sửa giúp mình nhé Thanks nhiều