Mushz

cho $a=1$ là thấy không ổn rồi..

Áp dụng bđt:

$\sum \frac{a^{3}}{x}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3(\sum x)}$ với $a,b,c,x,y,z$ > $0$

Ta có: A$\geq$$\frac{(a+b+c)^{3}}{3.(3+9abc(a+b+c))}$          (1)

Mặt khác, $3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ac)^{2}$             (2)

(1), (2) => dpcm...

Vậy cuối cùng ta cần chứng minh:
$$b^2c+a^2c\leq 2$$

khúc chứng minh này của bạn là sao? Mình chưa hiểu. Mà sao không dùng công cụ dễ dàng hơn là AM-GM 3 số:
$3b^{2}c\leq2b^{3}+c^{3}$ và $3a^{2}c\leq2a^{3}+c^{3}$ suy ra $b^2c+a^2c\leq 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})/3=2$
-----------
Bổ đề quen thuộc với $a^2+b^2+c^2=3$ là $ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc$ !

Từ

$\frac{a}{c}=\frac{b^{2}+a^{2}}{c^{2}+b^{2}}\Rightarrow ac^{2}+ab^{2}=b^{2}c+a^{2}c$

$\Rightarrow (b^{2}-ac)(a-c)=0$

Mà do $a \ne c$ nên $b^{2}-ac=0$ $\Rightarrow b^{2}=ac$

Ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a^{2}+2ac+c^{2})-ac=(a+c)^{2}-b^{2}=(a+b+c)(a+c-b)$ (1)

Dễ thấy $a+b+c>1$ (2)

Giả sử $a+c-b=1$

$\Rightarrow a+c=b+1$

Do đó a,c là nghiệm của phương trình

$X^{2}-(b+1)X+b^{2}=0$

có

$\Delta= (b+1)^{2}-4b^{2}=(b+1)(1-3b)<0$

$\Rightarrow a+c-b=1$ không thể xảy ra (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ không phải là số nguyên tố

Cách khác để suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)(a+b-c)$ không là SNT
Bài giải:

Vì $\left | a \right |,\left | c \right | > 1$ nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}>\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\geqslant \left | a +b+c\right |,\left | a+b-c \right |$.
Từ đó suy ra dpcm.

Hàng về đây xem có chuẩn k nhá: Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)-abc\leq \frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2abc+\frac{3}{2}\leq 8$, dấu = khi a=b=c=1

Còn cách khác không bạn?