phanquockhanh

Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq  a,b,c \leq 2$

CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

Tổng quát :

Cho các số thực $a_1;a_2;a_3;...;a_n \in [p;q]$$(p;q\geq 0).\text{Chứng minh rằng:}$

$ (a_1+a_2+...+a_n)\left ( \frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right )\leq n^2 +k_n\frac{(p-q)^2}{4pq}$

Trong đó $k_n =n^2$ nếu n chẵn và $n^2 -1$ nếu n lẻ.

Bài 30) $2\sqrt{y^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=y-2$
 

Bài giải:

Cách 1:

 $\text{Đặt}  u=2- y;v=\sqrt{y^{2}-2y-1} (v\geq 0)$ 

$\text{Khi đó,ta có:}$

$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}$

$\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0$

$\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v \right]=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=0\\ u+v=0 \end{matrix}\right. \vee v =0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=0\\ u=0 \end{matrix}\right.\text{(vô nghiệm)} \vee v=0$

$ \Leftrightarrow y^{2}-2y-1=0\Leftrightarrow y=1\pm\sqrt{2}.$

Cách 2:
$\text{Điều kiện} : y^{2}-2y-1\geq 0 (1)$

$\text{Ta có :  }$$2(1+\sqrt{y^{2}-2x-1})\geq 2$

$\Rightarrow \sqrt[3]{14-y^3}+y\geq 2$

$\Leftrightarrow 2-y\leq \sqrt[3]{14-y^{3}}\Leftrightarrow (2-y)^3\leq 14-y^3\Leftrightarrow y^2-2y-1\leq 0$(2)

$\text{Từ (1), (2) suy ra:}$

$y^2-2y-1=0\Leftrightarrow y=1\pm \sqrt{2}$

$2^{x-1} -2^{x^2-x} =(x-1)^2$ (1)

Cách 1: $2^{x-1}-2^{x^2 -x}=(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2^{x-1}\geq 2^{x^2 -x}\Leftrightarrow( x-1)\geq (x^2 -x)\Leftrightarrow (x-1)^2\leq 0\Leftrightarrow x =1$ (Thử lại thấy thỏa mãn)

Cách 2: 

(1) $\Leftrightarrow 2^{x-1}+x-1=2^{x^2 -x}+x^2 -x$ (2)

Xét hàm số :$f(t)=2^t +t ;t \in R$

Ta có: $f'(t)=2^t ln2 +1 >0, \forall t \in R$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên R

Khi đó:

$(2)\Leftrightarrow f(x-1)=f(x^2 -x)\Leftrightarrow x-1=x^2 -x\Leftrightarrow x=1$

Vậy x=1 là nghiệm của phương trình đã cho

sao bạn lại biết cách đổi biến như vậy?Dấu hiệu nhận biết cách đặt như thế là gi? mình đặt a=1/x, b=1/y,c=1/z lại ko được?

Nếu đặt $a=\frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ thì không thỏa mãn bài toán (Với điều kiện :abc =1).

Thông thường đối với bất đẳng thức với điều kiện : abc =1.  Ta thực hiện đổi biến như trên

--------------------------------------------

P/s:Bạn làm thử một số bài toán sau bằng phương pháp đổi biến trên nhé:

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:abc =1.Chứng minh rằng:

$3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn:abc =1.Chứng minh rằng: $\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (IMO -2000)

Cho các số thực dương x,y thỏa $x+y =2$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt[4]{x^2 +6xy +y^2}}{x+y}\geq 2+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ (1)

Giải:

(1) $\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right )+\left ( \frac{1}{\sqrt[4]{2x^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2y^2}}+\frac{\sqrt[4]{x^2+6xy+y^2}}{2} \right )$

$\geq 2 +\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Mặt khác:

$\left ( 1 -\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right )\overset{AM-GM}{\geq }\left ( 1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}$

$\geq \left ( 1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}} =2 -\frac{2}{\sqrt[4]{2}}$ (2)

Lại có:

$\frac{1}{\sqrt[4]{2x^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2y^2}}+\frac{\sqrt[4]{x^2+6xy+y^2}}{2}$

$\geq 3\sqrt[3]{ \frac{1}{\sqrt[4]{2x^2}}.\frac{1}{\sqrt[4]{2y^2}}.\frac{\sqrt[4]{x^2+6xy+y^2}}{2}}$

$= 3\sqrt[12]{\frac{x^2+6xy+y^2}{64(xy)^2}}\geq 3\sqrt[12]{\frac{8xy}{64(xy)^2}}=\frac{3}{\sqrt[18]{8xy}}\geq \frac{3}{\sqrt[12]{2(x+y)^2}}=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra:$Q.E.D$

2) Tìm GTNN của $S=\sum \frac{b}{1+ab}$, biết a,b,c dương thỏa abc =1.

 

3) Cho x,y, z thuộc [0;1] . Tìm GTLN của $P=\left ( 1+xyz \right )\left ( \frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}} \right )$

Do a,b,c >0.abc= 1 nên tồn tại x,y,z >0 sao cho:

$b =\frac{x}{y};c=\frac{y}{z};a= \frac{z}{x}$.Khi đó :

$S =\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{z}+1}+\frac{\frac{z}{x}}{\frac{y}{x}+1}$

$=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\overset{Nesbit}{\geq }\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $a=b=c =1$

Vậy $min S=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho $x,y,z \geq 0$thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng 

$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$

Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này.

Đề phải bổ sung thực không âm nhé!

Không mất tính tổng quát giả sử x=min{x;y;z}. Ta có:

$1= x +y+z \geq 3x\Rightarrow 0\leq x\leq \frac{1}{3}; 1-2x\geq 0$

$xy +yz+xz -2xyz =x(y+z)+yz(x-2) \leq x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}(2x-1)$

Hay:

$xy +yz+xz -2xyz \leq \frac{1}{4}(-2x^3 +x^2+1)$

Xét hàm số :

$f(x)= -2x^3+x^2+1$ trên $\left [ 0;\frac{1}{3} \right ]=\varepsilon$

Ta có:

$f'(x)=-6x^2 +2x ;\forall x \in\varepsilon$

Mặt khác:

$f(0)=1;f(\frac{1}{3})=\frac{28}{27}$

Từ BBT suy ra:

$xy+yz+zx -2xyz \leq f(x)\leq \frac{1}{4}f\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{7}{27}$

Dấu $"= " \Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{3}$

Tìm m để pt sau có nghiệm: m= $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ - $\sqrt{x^{2}+2x+2}$

Ta có:

$ - m = \sqrt{x^2 -2x+2} -\sqrt{x^2+2x+2}$

Xét hàm số $f(x)= \sqrt{x^2+2x+2} - \sqrt{x^2-2x+2}$ trên $\mathbb{R}$; $f(x)$ là hàm lẻ

Ta có:

$f'(x)= \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$

$=\frac{x+1}{ \sqrt{(x+1)^2 +1}} - \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+1}}$

Xét hàm số $g(t)= \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ trên $ \mathbb{R^+}$

Ta có: $g'(t)= \frac{1}{\sqrt{(t^2+1)^3}} >0;\forall t \geq 0$

Do đó:$g(t)$ đồng biến trên $ R^+$

$\Rightarrow g(x+1)> g(x-1)\Rightarrow f'(x)>0;\forall x\geq 0$

Mặt khác: $f(0)=0; \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= 2$

Từ BBT;suy ra: $ 0\leq f(x)< 2;\forall x \geq 0$

$\Rightarrow  |  f(x)|< 2;\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow   | -m |< 2\Leftrightarrow -2< m <2$

--------------

CHO (O;R) từ điểm M ở bên ngoài  (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm ) và cát tuyến MCD không qua tâm O

 a/ CM: MA^2= MC.MD

 b/ Tia phân giác của góc CAD cắt CD tại E cắt Đtron tại F. CM: OF vuông góc với CD và MA=ME

 c/ CM : BE là tia phân giác của góc CBD

 d/ Đường thẳng  OF cắt CD tại K và cắt AB kéo dài tại N. Cm: NC, ND là cá tiếp tuyến của đường tròn tròn (O)

em mình nhờ giải dùm mà giả câu c qoài ko ra moi ng` giúp mình mới

cám ơn trươc1         

Câu c:

Xét $\Delta$ ABC có:

$\frac{EC}{DE}=\frac{AC}{AD}$ (1) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Ta có: $\Delta ADM\sim CAM (\widehat{AMd}:\text{ chung};\widehat{CAM}=\widehat{ADM})$

$\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{MA}{MD}=\frac{BM}{DM}$ (2)

Mặt khác: $\frac{BM}{DM}=\frac{BC}{DB}(\Delta BCM\sim \Delta DBM)$(3)

Từ (1) ; (2) và (3) suy ra :ĐPCM

----------------------------------

Mong bạn đừng spam trên bài viết .

Bài 11: Cho các số thực $a,b,c\geq 0 $ thỏa $ c>0 ,a^3+b^3 =c(c-1)$.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1.Chứng minh rằng:

$\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\leq 3(a+b+c)$

Cho a,b,c >0 thỏa: $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48 = 0$

Tìm giá  trị nhỏ nhất của biểu thức:

$F = \frac{a^2}{b+2c}+ \frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

GIẢI PT:

 

$\large \frac{sin^{3}xsin3x+cos^{3}xcos3x}{tan(x-\frac{\pi}{6})*tan(x+\frac{\pi}{3})}=-\frac{1}{8}$ (1)

Giải:

Điều kiện :ĐK:$tan \left ( x-\frac{\pi }{6} \right )tan\left ( x+\frac{\pi }{3} \right ) \neq 0 \Leftrightarrow cos \left ( x- \frac{\pi }{6} \right )cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )\neq 0$

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:

      

$\large 3tan^{3}x-tanx+\frac{3(1+sinx)}{cos^{2}x}-8cos(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})=0$ (1)

Điều kiện :$cosx\neq 0 \Leftrightarrow x\neq \frac{m\pi }{2}+m\pi (m \in\mathbb{Z})$