Laser Angry Bird

1) CMR phương trình $ax^2+bx+c=0$ ( a khác 0 ) luôn có nghiệm nếu :

$\frac{2b}{a}\geq \frac{c}{a}+4$

 

2)Cho x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz+zx-3x-z+5=0 . 

Tình gúa trị của biệt thức S=

$x^3+y^3+z^{2010}$

Bài 1)

- Nếu ac$\leq$0 thì pt có nghiệm

- Nếu ac>0. Nhân 2 vế BĐT cho ac, ta được:

$2bc\geq c^{2}+4ac$

Mà $2bc\leq b^{2}+c^{2}$

Từ đó suy ra: $b^{2}\geq 4ac$

Vậy pt có nghiệm.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=3.Cmr:
$a^2$+$b^2$+$c^2$+abc $\geq$ 4

Áp dụng phương pháp p,q,r và BĐT Schur ta có: p=3
Khi đó: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc= p^{2}-2q+r\geq p^{2}-2q+\frac{4pq-p^{3}}{9}= 9-2q+\frac{4q-9}{3}= \frac{18-2q}{3}$
Mà: $q\leq \frac{p^{2}}{3}= 3$
Từ đó suy ra đpcm

Chi 3 số thực a, b, c thuộc [0,1]. Chứng minh $\sum \frac{a}{1+bc}< 2$

Em còn cách này
-Với a,b,c khác 0 thì $\frac{a}{1+bc}< 1$
Nên ta có $\frac{a}{1+bc}< \frac{a+a}{a+bc+1}$
Vì $\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\geqslant 0\Leftrightarrow 1+bc\geqslant b+c$
Do đó: $\frac{a}{1+bc}< \frac{2a}{a+b+c}$ nhưng ko xảy ra dấu =
-Với $a=b=c=0$ thì bđt đúng nhưng ko xảy ra dấu =
-Với có 2 số trong 3 số trên bằng 0 thì bđt đúng nhưng ko xảy ra dấu =
-Với có 1 số bằng 0 thì bđt đúng và dấu = khi a,b,c có 1 số bằng 0, 2 số bằng 1.

chưa thể sử dụng BĐT Chebysev vì giả thiết không cho $a\geq b$

Vẫn có thể giả sử vì a,b có vai trò như nhau

Cho 2013 điểm trên mp và không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm bất kì luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1.
CMR: 2013 điểm đó nằm trong tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 4

Cho $A,B,C$ là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
$$(1+cos^{2}A).(1+cos^{2}B).(1+cos^{2}C)\geq \frac{125}{64}$$

Giả sử $C=min\left \{ A,B,C \right \}$
Khi đó: $\left ( 1+cos^{2}A \right )\left ( 1+cos^{2} B\right )\left (1+cos^{2}C \right )=\frac{1}{4}\left ( 3+cos2A \right )\left (3+cos2A \right )\left ( 1+cos^{2}C \right )\geqslant \frac{1}{4}\left ( 3-cosC \right )^{2}\left ( 1+cos^{2}C \right )$
Đặt x=cosC $\Rightarrow \frac{1}{2}\leq x< 1$
Xét hàm số: $y=\frac{1}{4}\left ( 3-x \right )^{2}\left ( 1+x^{2} \right )$ với $\frac{1}{2}\leq x< 1$
CM y$\geqslant \frac{125}{64}$

Cho n số dương $a_{i},i= \overline{1,n}$ thoã mãn: $\sum \frac{1}{a_{1}}= 1$
Tìm Max của P= $\frac{1}{a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+...+n_{a_{n}}}+\frac{1}{na_{1}+a_{2}+2a_{3}+...+\left ( n-1 \right )a_{n}}+\frac{1}{\left ( n-1 \right )a_{1}+na_{2}+a_{3}+...+\left ( n-2 \right )a_{n}}+...+\frac{1}{2a_{1}+3a_{2}+4a_{3}+...+a_{n}}$

Cmr : nếu pt $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^2+(b-2)^2-3>0$

Xem nè : x=0 ko là nghiệm của pt nên x$\neq 0$
Chia 2 vế cho $x^{2}$ ta có:
$x^{2}+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$
Đặt $t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow \left | t \right |\geqslant 2$
Pt trình trở thành: $t^{2}+at+b-2=0$
$\Leftrightarrow ax+b-2=-t^{2}\Rightarrow t^{4}=\left ( ax+b-2 \right )^{2}\leqslant \left [a^{2}+ \left ( b-2 \right )^{2} \right ]\left ( t^{2}+1 \right )\Leftrightarrow a^{2}+\left ( b-2 \right )^{2}\geqslant \frac{t^{4}}{t^{2}+1}=\frac{t^{4}-1}{t^{2}+1}+\frac{1}{t^{2}+1}=t^{2}-1+\frac{1}{t^{2}+1}> 4-1=3$

Câu b) Ta có: $\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}= 1$ ( cm câu a)
$\Leftrightarrow 1-\frac{OA'}{AA'}+1-\frac{OB'}{BB'}+1-\frac{OC'}{CC'}= 3-1$
$\Leftrightarrow\frac{OA}{AA'}+\frac{OB}{BB'}+\frac{OC}{CC'}= 2$

Bài toán : Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$, các tia $OA, BO ,OC$ cắt các cạnh của tam giác theo thứ tự tại $A', B' , C'$. Chứng minh rằng:

a, $\dfrac{OA'}{AA'} + \dfrac{OB'}{BB'} + \dfrac{OC'}{CC'}=1$
b, $\dfrac{OA}{AA'} + \dfrac{OB}{BB'} + \dfrac{OC}{CC'} = 2$
c, Tìm vị trí cũa điểm $O$ sao cho $M = \dfrac{OA}{OA'} + \dfrac{OB}{OB'} + \dfrac{OC}{OC'}$ đạt giá trị nhỏ nhất
d, Tìm vị trí của $O$ đễ tích $N=\dfrac{OA}{OA'} . \dfrac{OB}{OB'} . \dfrac{OC}{OC'}$ có giá trị nhỏ nhất

Câu a)
$\frac{OA'}{AA'}= \frac{S_{OBC}}{S_{ABC}},\frac{OB'}{BB'}= \frac{S_{AOC}}{S_{ABC}},\frac{OC'}{CC'}= \frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\Rightarrow \sum \frac{OA'}{AA'}= \frac{S_{OBC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}= 1$

Giải phương trình :
$\sqrt{1-x^{2}}=4x^{3}-3x$

ĐKXĐ: $-1\leqslant x\leqslant 1$
Đặt x=cos$\alpha$
Pt thành: $4cos^{3}\alpha -3cos\alpha = \sqrt{1-cos^{2}\alpha }$
$\Leftrightarrow cos3\alpha =sin\alpha \Leftrightarrow cos3\alpha = cos\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )$
$\Leftrightarrow$ $3\alpha = \frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi$ hoặc $3\alpha = \alpha -\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với k là số nguyên.
Hay: $\alpha =\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$ hoặc $\alpha =k\pi -\frac{\pi }{4}$
Từ đó suy ra x

Tại sao $\sum sinA\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$ vậy bạn?

đề đúng bạn à

Xem nè: sinA +sinB +sinC +sin$\frac{\pi }{3}$=$2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}cos\frac{C-\frac{\pi }{3}}{2}\leqslant 2\left ( sin\frac{A+B}{2}+sin\frac{C+\frac{\pi }{3}}{2} \right )$ ( vì cos$\alpha$ $\leqslant 1$)
$= 4 sin\frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}cos\frac{A+B-C-\frac{\pi }{3}}{4}\leqslant 4sin\frac{\pi +\frac{\pi }{3}}{4}$ ( vì A+B+C=$\pi$)
=$4sin\frac{\pi }{3}=2\sqrt{3}$
Do đó: sinA+sinB+sinC$\leqslant 2\sqrt{3}-sin\frac{\pi }{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

câu 1: a,b,c$\geq$0. CMR:
$(\frac{a+2b+3c}{6})^{6}\geq ab^{2}c^{3}$
Câu 2: CMR:
$(\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b})^{8}\geq 64ab(a+b)^{2}$ với $a,b\geq 0$
câu 3: CMR nếu có $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ thì $x^{2}\leq 1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$
câu 4: CMR nếu $(x+y)^{2}+(x+a)^{2}+(y+b)^{2}=c^{2}$ thì $(a+b)^{2}\leq 3c^{2}$
Câu 5: cho $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1$ và a,b,c>0 CMR
$x+y+z\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$

Bài 3) Ta có: $ax^{2}+bx+c=-x^{3}\leqslant \sqrt{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( x^{4}+x^{2}+1 \right )}$
Suy ra: $x^{6}\leqslant \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( x^{4}+x^{2}+1 \right )\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{x^{6}}{x^{4}+x^{2}+1}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1\geq \frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}> x^{2}$

Cho 2 số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{3}{2}$.

Bạn meohoctoan ơi! Bài bạn ghi thiếu đề rồi. Nếu cho x=y=z=2 là đề sai ngay.

1.) Cho $x,y,z>0$$,$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$
Chứng minh $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$
2.) Cho $a,b,c>0$
Chứng minh $(\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)>25$
3.) Cho $a+b\geq 0$
Chứng minh $(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 4(a^9+b^9)$
4.) Cho $x,y,z>0$$,$ $x+y+z=1$
Chứng minh $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$
5.) Cho $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Chứng minh $x^2+y^2+z^2\geq 3$

3) Áp dụng BĐT Chebysev: $\left ( a+b \right )\left ( a^{3}+b^{3} \right )\leqslant 2\left ( a^{4}+b^{4} \right )$
$\left ( a^{4}+b^{4} \right )\left ( a^{5}+b^{5} \right )\leqslant 2\left ( a^{9}+b^{9} \right )$
Suy ra đpcm