Alice99

Chứng minh tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương

Ta gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là x, x+1, x+2, x+3 ($x\epsilon N$)
Đặt A=$x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
Trường hợp 1: x=0 $\Rightarrow A=1$ là số chính phương
Trường hợp 2: $x\neq 0$ $\Rightarrow A=\left [ x(x+3) \right ]\left [ (x+1)(x+2) \right ]+1 =(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+2)+1$
Đặt $x^{2}+3x=t\Rightarrow A=t(t+2)+1=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}$ là số chính phương.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xác định đa thức dư R(x) khi chia đa thức P(x) = x⁸¹ + x⁴⁹+ x²⁵+x⁹ + x + 1 cho đa thức Q(x) = x³ - x . Tính R(201,2).

Ta có :$Q\left ( x \right )= x(x^2 - 1)=x(x-1)(x+1)$
Ta thấy Q(x) có bậc 3, vậy R(x) phải có bậc 2
$\Rightarrow R(x)=ax^{2}+bx+c$
Theo định lý Bê-du:
$\left\{\begin{matrix} P(0)=1\\ P(1)=6 \\ P(-1)=-4 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=1\\ a+b+c=6 \\ a-b+c=-4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=1\\ a=0 \\ b=5 \end{matrix}\right.$
Vậy $R(x)=5x+1 \Rightarrow R(201,2)=1007$