NTPS2CBC

Với $1\leq p\leq 2014$:

$1=\frac{1}{p}+\frac{2}{2p}+...+\frac{p-1}{(p-1)p}+\frac{p}{p.(2015-p).p}+\frac{p+1}{(p+1).(2015-p).p}+...+\frac{2014}{2014.(2015-p).p}$

$p=1+1+...+1+\frac{p}{p.(2015-p)}+\frac{p+1}{(p+1).(2015-p)}+...+\frac{2014}{2014.(2015-p)}$ (p-1 lần số 1)

Suy ra với mọi $1\leq p\leq 2014$ đều thoã. (không biết có đúng không)

Câu 4 nayg mình nhớ là thuộc dạng nâng cấp của 1 bài đề thi quốc học trước đây.

1.

CM tòn tại tức ta chỉ cần chỉ ra 2014 số thỏa mãn.

Quy ước S(n)=2+(2+3+4+...+n)

Xét $x_{1}=1+2$

      $x_{2}=2.4$

      $x_{3}=S(2).S(3)$

      $x_{4}=S(3).S(4)$

      ...

      $x_{2013}=S(2012).S(2013)$

      $x_{2014}=2014.S(2013)$

Ta dễ dàng nhận thấy $\frac{n}{S(n-1).S(n)}=\frac{1}{S(n-1)}-\frac{1}{S(n)}$

Thay vào thì ra kq là 1.

Vậy ..(đpcm)

2.Ngồi trong phòng vội quá chả biết quên mất mất mấy th, cái số nó chẳng đổi

+Với p=1 đúng.

+Nhận tháy 2014=1.2.19.53

 _với $x_{k}=k.a$

Với a thuộc ước của 2014

Thì tìm được p=2014;1007;106;38;...

$x_{1}=671$

$x_{2}=2.671$

$x_{3}=3.671$

$x_{4}=4.671$

.........

$x_{2011}=2011.671$

$x_{2012}=2012.671$

$x_{2013}=2.2013.671$

$x_{2014}=2.2014.671$

thay vào được p=3???

ghi ra luôn cho nó khoẻ:

$\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{m^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})}}$

$\frac{b^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{n^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}\geq \frac{3bny}{\sqrt[3]{(a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})}}$

$\frac{c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{p^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}\geq \frac{3czp}{\sqrt[3]{(a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})}}$

cộng lại suy ra dpcm

Đặt $a=xy, b=yz, c=zx$ ta có bđt tương đương:

$\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{a^{2}}{bc} \right )+\left [ \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} \right ]^{2}\geq 2$

Mà $\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{a^{2}}{bc} \right )+\left [ \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} \right ]^{2}$

$\geq \frac{1}{3}\frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{2}bc}+\frac{( \sum ab )^{2}}{(\sum a^{2})^{2}}$

$\geq 2\sqrt{\frac{\left (\sum ab \right )^{2}}{3abc\left ( a+b+c \right )}}\geq 2$

Suy ra đpcm

Bài này k sai đâu