NTPS2CBC

Với $1\leq p\leq 2014$:

$1=\frac{1}{p}+\frac{2}{2p}+...+\frac{p-1}{(p-1)p}+\frac{p}{p.(2015-p).p}+\frac{p+1}{(p+1).(2015-p).p}+...+\frac{2014}{2014.(2015-p).p}$

$p=1+1+...+1+\frac{p}{p.(2015-p)}+\frac{p+1}{(p+1).(2015-p)}+...+\frac{2014}{2014.(2015-p)}$ (p-1 lần số 1)

Suy ra với mọi $1\leq p\leq 2014$ đều thoã. (không biết có đúng không)

Câu 4 nayg mình nhớ là thuộc dạng nâng cấp của 1 bài đề thi quốc học trước đây.

1.

CM tòn tại tức ta chỉ cần chỉ ra 2014 số thỏa mãn.

Quy ước S(n)=2+(2+3+4+...+n)

Xét $x_{1}=1+2$

      $x_{2}=2.4$

      $x_{3}=S(2).S(3)$

      $x_{4}=S(3).S(4)$

      ...

      $x_{2013}=S(2012).S(2013)$

      $x_{2014}=2014.S(2013)$

Ta dễ dàng nhận thấy $\frac{n}{S(n-1).S(n)}=\frac{1}{S(n-1)}-\frac{1}{S(n)}$

Thay vào thì ra kq là 1.

Vậy ..(đpcm)

2.Ngồi trong phòng vội quá chả biết quên mất mất mấy th, cái số nó chẳng đổi

+Với p=1 đúng.

+Nhận tháy 2014=1.2.19.53

 _với $x_{k}=k.a$

Với a thuộc ước của 2014

Thì tìm được p=2014;1007;106;38;...

$x_{1}=671$

$x_{2}=2.671$

$x_{3}=3.671$

$x_{4}=4.671$

.........

$x_{2011}=2011.671$

$x_{2012}=2012.671$

$x_{2013}=2.2013.671$

$x_{2014}=2.2014.671$

thay vào được p=3???

ghi ra luôn cho nó khoẻ:

$\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{m^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})}}$

$\frac{b^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{n^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}\geq \frac{3bny}{\sqrt[3]{(a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})}}$

$\frac{c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{p^{3}}{m^{3}+n^{3}+p^{3}}\geq \frac{3czp}{\sqrt[3]{(a^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})}}$

cộng lại suy ra dpcm

Đặt $a=xy, b=yz, c=zx$ ta có bđt tương đương:

$\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{a^{2}}{bc} \right )+\left [ \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} \right ]^{2}\geq 2$

Mà $\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{a^{2}}{bc} \right )+\left [ \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} \right ]^{2}$

$\geq \frac{1}{3}\frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{2}bc}+\frac{( \sum ab )^{2}}{(\sum a^{2})^{2}}$

$\geq 2\sqrt{\frac{\left (\sum ab \right )^{2}}{3abc\left ( a+b+c \right )}}\geq 2$

Suy ra đpcm

$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}\leq \frac{2-x^{2}+1}{2}+\frac{2-\frac{1}{x^{2}}+1}{2} =3-\frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

Ta sẽ chứng minh: $3-\frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})\leq 4-\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

Thật vậy:

$3-\frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})\leq 4-\left ( x+\frac{1}{x} \right )\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )+2\geq 0\Leftrightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{x}-2 \right )\geq 0$

Nếu $x > 0$ thì: $x+\frac{1}{x}\geq 2\Rightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{x}-2 \right )\geq 0$

Nếu $x < 0$ thì: $x+\frac{1}{x} < 0 \Rightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{x}-2 \right )> 0$

Dấu bằng xảy ra khi $x=1$, thử lại thấy đúng. Vậy $x=1$ là nghiệm của hệ

Cho $a,b,c \geq 0$, cm: $\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+bc}\geq 6$

Bị nhầm một tí thôi:

$\sum \frac{1}{1+a(ab+ac)}=\sum \frac{1}{1+a(3-bc)}= \sum \frac{1}{1+3a-abc}\leq \frac{1}{3}\sum \frac{1}{a}=\frac{1}{abc}$

$\sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{1}{12} \right )\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow \sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq 5$

Nếu $11a+5b-c,11b+5c-a,11c+5a-b\geq 0$ thì:

$\sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq \frac{\left [ \sum (11a+5b-c)^{2} \right ]}{\sum \left (11a+5b-c \right )\left ( a+7b+c \right )}=\frac{225\left (\sum a^2 \right )}{45a\sum a^{2}+90\sum ab}= 5$

Nếu một trong các số trên âm, giả sử $a/geq11b+5c$

$\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{2}{3}= \frac{a-11b-2c}{3(a+7b+c)}> 0 \Rightarrow \sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$

Bản chất của bài này là ở số $\frac {1}{12}$

Giả sử số ta thêm vào là m:

$\sum \left (\frac{a+b}{a+7b+c}-m \right )=\sum \frac{(1-m)a+(1-7m)b-mc}{a+7b+c}$

$\geq \frac{\left [\sum \left [(1-m)a+(1-7m)b-mc \right ] \right ]^{2}}{\sum\left (a+7b+c \right )\left [(1-m)a+(1-7m)b-mc \right ] }$

$=\frac{(2m-9)^{2}(\sum a)^{2}}{(8-51m)\sum a^{2}+(10-30m)\sum ab}$

Để rút gọn được biểu thức, ta chọn m sao cho  $2(8-51m)=10-30m$ (cho cái mẫu nó ra bình phương)

$\Rightarrow m=\frac{1}{12}$

$a,b,c>0$, CM:

$\sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a^{2}$, $\sqrt{x-2}=b^{2}$

Ta có phương trình:

$2ab-3ma^{2}=b^{2}$ (đặt thế này cho nó dễ thấy)

$\Leftrightarrow b^{2}-2ab+3ma^{2}=0$

$\Delta _{b}'=a^{2}-3ma^{2}=a^{2}(1-3m)$

$\Delta _{b}'\geq 0\Rightarrow \frac{1}{3}\geq m$

Vậy với $m\leq \frac{1}{3}$ thì phương trình có nghiệm thực

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+2x+xy^{2}=2(x^{2}+y^{2}+1)\\x+y^{8}=2y^{4} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x^{2}+y^{2}+2)=2(x^{2}+y^{2}+2)-2\\x+y^{8}=2y^{4} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2)(x^{2}+y^{2}+2)=-2\\(y^{4}-1)^{2}=1-x \end{matrix}\right.$

Xét phương trình: $(x-2)(x^{2}+y^{2}+2)=-2$

$x^{2}+y^{2}+2\geqslant 2\Rightarrow \frac{-2}{x^{2}+y^{2}+2}\geqslant -1\Rightarrow x-2\geqslant -1\Rightarrow x\geqslant 1$

Xét phương trình: 

$(y^{4}-1)^{2}=1-x \Rightarrow 1\geqslant x$

$\Rightarrow x=1\Rightarrow y=\pm 1$

Thử vào phương trình đầu thấy không đúng

Suy ra hpt vô nghiệm

Mình xin thử coi sao

$\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ac+c+1}} =\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}}}+\sqrt{\frac{1}{c+\frac{c}{b}+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{1}{c+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}}}$

Mà

$abc+a+b=3ab\Leftrightarrow c+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$ Do a,b,c dương

Đặt $d=\frac{1}{a}$, $e=\frac{1}{b}$, ta phải chứng minh:

$\sqrt{\frac{1}{c+d+cd}}+\sqrt{\frac{1}{d+e+de}}+\sqrt{\frac{1}{c+e+ce}}\geqslant \sqrt{3}$

$\sqrt{\frac{1}{c+d+cd}}+\sqrt{\frac{1}{d+e+de}}+\sqrt{\frac{1}{c+e+ce}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}}}=3\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}}}$

$\sqrt[3]{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}\leqslant\frac{2c+2d+2e+cd+ce+de}{3}\leqslant \frac{6+cd+ce+de}{3}\leqslant \frac{6+\frac{(c+d+e)^{2}}{3}}{3}\leqslant \frac{9}{3}=3$

Suy ra

$3\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{(c+d+cd)(d+e+de)(c+e+ce)}}}\geqslant 3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$

Cách mình có vẻ hơi dài. Có gì mọi người thông cảm nha