RoyalMadrid

Trong các tứ giác lồi ABCD với AB=BC=CD=a. Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

 

$P= \sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)+z(x+y)}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{2\sum x+2\sum xy}$

$\geq \frac{2(\sum x)^2}{\sum x+\frac{1}{3}(\sum x)^2}$

$=\frac{6\sum x}{3+\sum x}$

Vì $\frac{3}{2}\leq \sum x\leq 3$ nên $MIN P=2$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

 

Bạn giải thích kĩ hơn phần biến đổi đầu đk k? Mình chưa hiểu lắm

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

Tìm tất cả các nghiệm không nguyên của phương trình:

$x+\frac{96}{x}=\left [ x \right ] + \frac{96}{\left [ x \right ]}$. Với $\left [ x \right ]$[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

Xét $f(x)=\sqrt{-x^{2}+2x+24}+x^{2}-2x$ trên [-4;6]

$f'(x)=\frac{-2x+2}{2\sqrt{-x^{2}+2x+24}}+2x-2$

$f'(x)=0 <=>(2x-2)\left ( \frac{-1}{2\sqrt{-x^{2}+2x+24}} +1\right )=0$

<=>$x=1$ thuộc [-4;6] và $x=\frac{2\pm 3\sqrt{11}}{2}$ thuộc [-4;6]

$f(-4)=24,f(6)=24,f(1)=4,f(\frac{2+3\sqrt{11}}{2})=\frac{97}{4},f(\frac{2-3\sqrt{11}}{2})=\frac{97}{4}$

Vậy Min f(x)=4 trên [-4;6]

Hix, mình chưa học đạo hàm bạn à. Có cách nào khác không???

Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x\in \left [ -4;6 \right ]$:

$\sqrt{(x+4)(6-x)}+x^{2}-2x\geq m$

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{2}}{x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

Tìm tất cả các nghiệm không nguyên của phương trình:

$x+\frac{96}{x}=\left [ x \right ] + \frac{96}{\left [ x \right ]}$. Với $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

Gọi R,r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC, d là khoảng cách giữa trọng tâm G và tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó, chứng minh $d^{2}< R(R-2r)$

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
 

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

$m^{2} + 5mx - x^{4} +3x^{3} + 2x^{2} +3x + 1 =0$ (1)

Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn m , ta có :

 \Delta$$= 25x^{2}+4x^{4}-12x^{3}-8x^{2}-12x+4 = (2x^{2}-3x+2)^{2}$

Phương trình có 2 nghiệm : $m_{1}=x^{2} - 4 x -1 ; m_{2}=-x^{2} - x -1$ 

Ta có: $\Delta_m=4x^4-12x^3+17x^2-12x+4=(2x^2-3x+2)^2$
Các nghiệm của $(1)$ là $m_1=x^2-4x+1; m_2=-x^2-x-1$
Do vậy $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m=x^2-4x+1}\\
{m=-x^2-x-1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x^2-4x+1-m=0   (3)}\\
{x^2+x+1+m=0    (4)}
\end{array}} \right.$
$\Delta'_1=4-1+m=m+3; \Delta_2=1-4-4m=-4m-3$
các nghiệm nếu có của phương trình $(3)$ là : $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Các nghiệm nếu có của phương trình $(4)$ là : $x_{1.2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Để ý (*):$ (x^2-4x+1-m)+(x^2+x+1+m)=2x^2-3x+2=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}>0, \forall x$ suy ra các phương trình$(3)$ và $(4)$ không có nghiệm chung
* Nếu $m<-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ vô nghiệm
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có nghiệm kép $x_1=x_2=2$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_3=1, x_4=-2$
Suy ra phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt
     $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1= \frac{1}{2}; x_2=\frac{7}{2}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có một nghiệm kép $x_2=x_4=-\frac{1}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ vô nghiệm
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Tóm lại:
* Nếu $m<-3$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$: Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt
       $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm\sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$

Bạn sửa lại phần gõ ở đầu đk không??? Mình suy mãi mà chẳng được bạn à

Chia cả 2 vế cho $cos\alpha \neq 0$:

$A=\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }=\frac{(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^3+1}{3-\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{tan\alpha^3+1}{3-tan\alpha}=\frac{7}{18}$

KQ : $\boxed{A=\frac{7}{18}}$

P/s : sorry, mình làm nhầm mất T.T

Bạn ơi chia kiểu ji mà lại có $(\frac{sin\alpha }{cos\alpha })^{3}$ được, $sin^{3}\alpha :cos\alpha$ thôi mà???

Cho phương trình: $x^{2}-x-3=0$ với $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Chứng minh $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}$ là số nguyên