RoyalMadrid

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác, chứng minh rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc< \frac{1}{2}$

 

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z thì:

$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$

 

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$

 

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức:

               

 $\frac{a^{2}}{a + b} + \frac{b^{2}}{b + c} + \frac{c^{2}}{c + a} \geq \frac{c^{2}}{b + a} + \frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} \geq \frac{b^{2}}{b + a} + \frac{c^{2}}{b + c} + \frac{a^{2}}{a + c}$ 

 

Thì $\left | a \right | = \left | b \right | = \left |c \right |$

Cho hàm số $y= x^2 - 4x + 3$
Dựa vào đồ thị (P) của hàm số trên biện luận số nghiệm của phương trình: 
$$|x^2 - 4x + 3| = |m^2 - 4m + 3| $$

( || là dấu giá trị tuyệt đối)

 

Cho a₀ = 2005 và a _n+1 = a_n² / (a_n + 1) với n = 0,1,2,...
a) Với n = 1,2,3,4,5 Hãy tính [a_n] (phần nguyên của a_n , tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá a_n ).
b) Chứng minh rằng [a_n] = 2005 - n với mọi 0 <= n <= 1003
( <= là bé hơn hoặc bằng)