Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Forgive Yourself

Đăng ký: 05-01-2013
Offline Đăng nhập: 17-02-2016 - 10:51
**---

#539984 $cos\frac{2\pi}{2n+1} +cos\frac{...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 07-01-2015 - 17:37

CMR : $cos\frac{2\pi}{2n+1} +cos\frac{4\pi }{2n+1}+...+cos\frac{2n\pi }{2n+1}=\frac{-1}{2}$

 

Ta có:

 

$2\sin \frac{\pi}{2n+1}.S=\sin\frac{3\pi}{2n+1}-\sin\frac{\pi}{2n+1}+\sin\frac{5\pi}{2n+1}-\sin\frac{3\pi}{2n+1}+...+\sin\pi-\sin\frac{(2n-1)\pi}{2n+1}$

 

$=-\sin\frac{\pi}{2n+1}$

 

$\\ \Leftrightarrow S=\frac{-1}{2}$




#539980 $|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 07-01-2015 - 17:12

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

 

Ta có:

 

$T=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b+b-a}{c+a} \right |$

 

$=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+a} \right |$

 

$=\left | (a-b)\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+(b-c)\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right ) \right |$

 

$=\left | (a-b)\frac{c+a-a-b}{(a+b)(c+a)}+(b-c)\frac{c+a-b-c}{(b+c)(c+a)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c} \right ) \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}.\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)} \right |$

 

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)(c-a)}{(a+c)(a+b)(b+c)} \right |=\frac{|a-b||c-b||c-a|}{(a+b)(b+c)(c+a)}< \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}\\ c+a\geq 2\sqrt{ca} \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

 

$\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow T< \frac{1}{8}$  ($đpcm$)




#539731 $\Sigma \frac{sinA}{cos\frac{B}...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 05-01-2015 - 16:02

2. Với mọi $\Delta ABC$, ta có: $\Sigma \frac{sinA}{cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}} = 2$

 

 

Hình như là $\sum \frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=2$ chứ nhỉ?

 

Ta có: 

 

$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}+\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}}=\frac{\frac{1}{2}sinA+\frac{1}{2}sinB}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=\frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$

 

$=\frac{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=1+tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$

 

Và $\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=\frac{cos\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=\frac{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$

 

Vậy $\sum \frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=2$




#539729 $\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

Gửi bởi Forgive Yourself trong 05-01-2015 - 15:46

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

 

Cách 2:

 

Hệ thức tương đương $4sinAsinBsinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 1=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

 

$\Leftrightarrow 1=4\left [ cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2} \right ]cos\frac{A+B}{2}$

 

$\Leftrightarrow \left ( 2cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2} \right )^2+sin^2\frac{A-B}{2}=0$

 

$\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều




#539727 $\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

Gửi bởi Forgive Yourself trong 05-01-2015 - 15:37

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

 

 

Hệ thức đã cho tương đương:

 

$2R(sinA+sinB+sinC)=2R.2sinAcosA+2R.2sinBcosB+2R.2sinCcosC$

 

$\Leftrightarrow sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C$

 

Ta có:

 

$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{1}{2}[(sin2A+sin2B)+(sin2B+sin2C)+(sin2C+sin2A)]$

 

$=\frac{1}{2}[2sin(A+B)cos(A-B)+2sin(B+C)cos(B-C)+2sin(C+A)(C-A)]$

 

$=sinCcos(A-B)+sinAcos(B-C)+sinBcos(C-A) \leq sinC+sinA+sinB$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ hay $\Delta ABC$ đều




#539278 $8cosAsinBsinC+4\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)-17=0$

Gửi bởi Forgive Yourself trong 03-01-2015 - 14:42

Tính các góc của tam giác $ABC$ khi biết :

$8cosAsinBsinC+4\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)-17=0$   ($1$)

 

Áp dụng định lý cosin và sin trong tam giác có : $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC$

 

Từ đó: $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{sin^2B+sin^2C-sin^2A}{2sinBsinC}$

 

($1$) $\Leftrightarrow sin^2B+sin^2C-sin^2A+\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

 

$\Leftrightarrow 1-cos^2B+1-cos^2C-sin^2A+\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

 

$\Leftrightarrow \left ( cosB-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( cosC-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( sinA-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2=0$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cosB=cosC=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ sinA=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B=C=30^o\\ A=120^o \end{matrix}\right.$




#535996 $\left\{\begin{matrix} (x+5y-4)\sqrt...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 03-12-2014 - 11:43

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \left ( x+5y-4 \right )\sqrt{x-y^2}=2xy-2y\\ y\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-y^2}=2x+y \end{matrix}\right.$

 




#530326 $cosxcos4x+cos2xcos3x+cos^24x=\frac{3}{2}$

Gửi bởi Forgive Yourself trong 24-10-2014 - 17:12

Giải phương trình lượng giác: $cosxcos4x+cos2xcos3x+cos^24x=\frac{3}{2}$




#518260 Tìm GTNN tuỳ theo m $A= \left | x-2y+1 \right | + \left |...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 07-08-2014 - 17:04

Bài 1: Tìm GTNN tuỳ theo m

$A= \left | x-2y+1 \right | + \left | 2x+my+5 \right |$

 

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} x-2y+1=0\\ 2x+my+5=0 \end{matrix}\right.$

 

$D=m+4, D_x=-m-10, D_y=-3$

 

TH1: $D\neq 0$, hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4}\\ \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

 

TH2: $D=0 \Leftrightarrow m=-4$. Ta có:

 

$P=\left | x-2y+1 \right |+2\left | x-2y+\frac{5}{2} \right |$

 

Đặt $t=x-2y$, ta được $P=\left | t+1 \right |+2\left | t+\frac{5}{2} \right |$

 

$P=\left\{\begin{matrix} 3t+6(t\geq -1)\\ t+4(\frac{-5}{2}\leq t<-1)\\ -3t-6(t<\frac{-5}{2}) \end{matrix}\right.$

 

Xét bảng biến thiên ta sẽ có: $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow t=\frac{-5}{2}$

 

Tóm lại:

 

- Nếu $a\neq -4$ thì $Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

 

- Nếu $a=-4$ thì $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x-4y+5=0$




#518163 cho$x^2+(3-x)^2 \geq 5$.Tìm min của$P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 07-08-2014 - 08:39

cho $x^2+(3-x)^2 \geq 5$ . Tìm min của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

 

Lời giải có tại đây!

 

Hãy tìm kiếm trước khi hỏi... bạn sẽ giỏi hơn mỗi khi tìm!


  • ktt yêu thích


#515404 CMR: tam giác DFE vuông cân

Gửi bởi Forgive Yourself trong 25-07-2014 - 21:44

Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác BAD và CAE vuông cân tại A. Dựng phía trong tam giác ABC tam giác BFC vuông cân tại F.
a. Gọi M là trung điểm BC. CMR: MA vuông góc với DE

 

Gọi $H=AM\cap DE$

 

Lấy $K$ trên tia đối của tia $MA$ sao cho $MK=MA$, ta sẽ chứng minh $AK=DE$

 

Dễ thấy $AC=BK,AC//BK$

 

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta DAE$, ta có $AB=AD, BK=AE (=AC), \widehat{ABK}=\widehat{DAE}$ (cùng bù với góc $BAC$)

 

Do đó $\Delta ABK= \Delta DAE \Rightarrow \widehat{BAK}=\widehat{D} \Rightarrow \widehat{D}+\widehat{DAH}=90^o$. Vậy $MA\perp DE$




#515395 $\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 25-07-2014 - 21:30

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

 

Suy ra: $\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=3\left | \overrightarrow{MG} \right |=3MG$

 

Ta có: $\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |$ có giá trị bé nhất khi và chỉ khi $MG$ có giá trị bé nhất

 

$M$ chính là giao điểm của đường thẳng OG với ($O$) ngoại tiếp $\Delta ABC$.

 

Thật vậy, với $N$ bất kì, $N\neq M$, ta có $OM=ON<OG+GN \Leftrightarrow OG+GM<OG+GN$. Do đó: $GM<GN$

 

Suy ra điểm $M$ cần tìm!

 

(Hình vẽ bạn tự vẽ nhé!)




#515353 Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 25-07-2014 - 16:44

Kết quả là 98 phải không bạn .

 

Giải quyết luôn phần gốc của nó  :wub: 

 

Bài toán: Cho ba số $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=a^2$. Tính $x^4+y^4+z^4$ theo $a$.

 

Bài giải:

 

Từ $x+y+z=0\Rightarrow x=-(y+z)\Rightarrow x^2=(y+z)^2$

 

$\Rightarrow x^2-y^2-z^2=2yz\Rightarrow (x^2-y^2-z^2)^2=4y^2z^2$

 

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2$

 

$\Rightarrow 2(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2)^2=a^4\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\frac{a^4}{2}$




#514960 $\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 23-07-2014 - 21:39

Giải phương trình
$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}= x + 21$

 

Điều kiện: $x\neq 0$

 

Ta có: 

 

$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}= x + 21$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}= x + 21$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}{4x^2}= x + 21$

 

$\Leftrightarrow (3+\sqrt{9+2x})^2=2x+42$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{9+2x}=4$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-9}{2},x\neq 0\\ 9+2x=16 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{7}{2}$




#513828 1. cho $0^{\circ}<\alpha <\beta <90...

Gửi bởi Forgive Yourself trong 19-07-2014 - 07:24

4. cho $\bigtriangleup$ABC

chứng minh: $SABC = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\widehat{A}$

 

Kẻ đường cao $BH$

 

Ta có: $BH=AB.sinA$

 

Do đó: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}AB.AC.sinA$