Forgive Yourself

CMR : $cos\frac{2\pi}{2n+1} +cos\frac{4\pi }{2n+1}+...+cos\frac{2n\pi }{2n+1}=\frac{-1}{2}$

Ta có:

$2\sin \frac{\pi}{2n+1}.S=\sin\frac{3\pi}{2n+1}-\sin\frac{\pi}{2n+1}+\sin\frac{5\pi}{2n+1}-\sin\frac{3\pi}{2n+1}+...+\sin\pi-\sin\frac{(2n-1)\pi}{2n+1}$

$=-\sin\frac{\pi}{2n+1}$

$\\ \Leftrightarrow S=\frac{-1}{2}$

Co $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác: cmr.

$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|<\frac{1}{8}$

Ta có:

$T=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b+b-a}{c+a} \right |$

$=\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+a} \right |$

$=\left | (a-b)\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+(b-c)\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right ) \right |$

$=\left | (a-b)\frac{c+a-a-b}{(a+b)(c+a)}+(b-c)\frac{c+a-b-c}{(b+c)(c+a)} \right |$

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c} \right ) \right |$

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)}{a+c}.\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)} \right |$

$=\left | \frac{(a-b)(c-b)(c-a)}{(a+c)(a+b)(b+c)} \right |=\frac{|a-b||c-b||c-a|}{(a+b)(b+c)(c+a)}< \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ b+c\geq 2\sqrt{bc}\\ c+a\geq 2\sqrt{ca} \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

$\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow T< \frac{1}{8}$  ($đpcm$)

2. Với mọi $\Delta ABC$, ta có: $\Sigma \frac{sinA}{cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}} = 2$

Hình như là $\sum \frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=2$ chứ nhỉ?

Ta có: 

$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}+\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}}=\frac{\frac{1}{2}sinA+\frac{1}{2}sinB}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=\frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$

$=\frac{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=1+tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$

Và $\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=\frac{cos\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=\frac{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}=1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$

Vậy $\sum \frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=2$

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

Cách 2:

Hệ thức tương đương $4sinAsinBsinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow 1=8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow 1=4\left [ cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2} \right ]cos\frac{A+B}{2}$

$\Leftrightarrow \left ( 2cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2} \right )^2+sin^2\frac{A-B}{2}=0$

$\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

$cmr:\Delta ABC$ $\text{đều:}$

$\to a;a+b+c=2(a\cos A+b\cos B+c\cos C)$

Hệ thức đã cho tương đương:

$2R(sinA+sinB+sinC)=2R.2sinAcosA+2R.2sinBcosB+2R.2sinCcosC$

$\Leftrightarrow sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C$

Ta có:

$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{1}{2}[(sin2A+sin2B)+(sin2B+sin2C)+(sin2C+sin2A)]$

$=\frac{1}{2}[2sin(A+B)cos(A-B)+2sin(B+C)cos(B-C)+2sin(C+A)(C-A)]$

$=sinCcos(A-B)+sinAcos(B-C)+sinBcos(C-A) \leq sinC+sinA+sinB$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ hay $\Delta ABC$ đều

Tính các góc của tam giác $ABC$ khi biết :

$8cosAsinBsinC+4\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)-17=0$   ($1$)

Áp dụng định lý cosin và sin trong tam giác có : $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC$

Từ đó: $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{sin^2B+sin^2C-sin^2A}{2sinBsinC}$

($1$) $\Leftrightarrow sin^2B+sin^2C-sin^2A+\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

$\Leftrightarrow 1-cos^2B+1-cos^2C-sin^2A+\sqrt{3}(sinA+cosB+cosC)=\frac{17}{4}$

$\Leftrightarrow \left ( cosB-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( cosC-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\left ( sinA-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cosB=cosC=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ sinA=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B=C=30^o\\ A=120^o \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \left ( x+5y-4 \right )\sqrt{x-y^2}=2xy-2y\\ y\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-y^2}=2x+y \end{matrix}\right.$

Giải phương trình lượng giác: $cosxcos4x+cos2xcos3x+cos^24x=\frac{3}{2}$

Bài 1: Tìm GTNN tuỳ theo m

$A= \left | x-2y+1 \right | + \left | 2x+my+5 \right |$

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} x-2y+1=0\\ 2x+my+5=0 \end{matrix}\right.$

$D=m+4, D_x=-m-10, D_y=-3$

TH1: $D\neq 0$, hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4}\\ \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

TH2: $D=0 \Leftrightarrow m=-4$. Ta có:

$P=\left | x-2y+1 \right |+2\left | x-2y+\frac{5}{2} \right |$

Đặt $t=x-2y$, ta được $P=\left | t+1 \right |+2\left | t+\frac{5}{2} \right |$

$P=\left\{\begin{matrix} 3t+6(t\geq -1)\\ t+4(\frac{-5}{2}\leq t<-1)\\ -3t-6(t<\frac{-5}{2}) \end{matrix}\right.$

Xét bảng biến thiên ta sẽ có: $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow t=\frac{-5}{2}$

Tóm lại:

- Nếu $a\neq -4$ thì $Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

- Nếu $a=-4$ thì $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x-4y+5=0$

cho $x^2+(3-x)^2 \geq 5$ . Tìm min của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

Lời giải có tại đây!

Hãy tìm kiếm trước khi hỏi... bạn sẽ giỏi hơn mỗi khi tìm!

Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác BAD và CAE vuông cân tại A. Dựng phía trong tam giác ABC tam giác BFC vuông cân tại F.
a. Gọi M là trung điểm BC. CMR: MA vuông góc với DE

Gọi $H=AM\cap DE$

Lấy $K$ trên tia đối của tia $MA$ sao cho $MK=MA$, ta sẽ chứng minh $AK=DE$

Dễ thấy $AC=BK,AC//BK$

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta DAE$, ta có $AB=AD, BK=AE (=AC), \widehat{ABK}=\widehat{DAE}$ (cùng bù với góc $BAC$)

Do đó $\Delta ABK= \Delta DAE \Rightarrow \widehat{BAK}=\widehat{D} \Rightarrow \widehat{D}+\widehat{DAH}=90^o$. Vậy $MA\perp DE$

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Suy ra: $\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=3\left | \overrightarrow{MG} \right |=3MG$

Ta có: $\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |$ có giá trị bé nhất khi và chỉ khi $MG$ có giá trị bé nhất

$M$ chính là giao điểm của đường thẳng OG với ($O$) ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Thật vậy, với $N$ bất kì, $N\neq M$, ta có $OM=ON<OG+GN \Leftrightarrow OG+GM<OG+GN$. Do đó: $GM<GN$

Suy ra điểm $M$ cần tìm!

(Hình vẽ bạn tự vẽ nhé!)

Kết quả là 98 phải không bạn .

Giải quyết luôn phần gốc của nó   

Bài toán: Cho ba số $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=a^2$. Tính $x^4+y^4+z^4$ theo $a$.

Bài giải:

Từ $x+y+z=0\Rightarrow x=-(y+z)\Rightarrow x^2=(y+z)^2$

$\Rightarrow x^2-y^2-z^2=2yz\Rightarrow (x^2-y^2-z^2)^2=4y^2z^2$

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2$

$\Rightarrow 2(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2)^2=a^4\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\frac{a^4}{2}$

Giải phương trình
$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}= x + 21$

Điều kiện: $x\neq 0$

Ta có: 

$\frac{2x^{2}}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}}= x + 21$

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}{(3-\sqrt{9+2x})^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}= x + 21$

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}(3+\sqrt{9+2x})^2}{4x^2}= x + 21$

$\Leftrightarrow (3+\sqrt{9+2x})^2=2x+42$

$\Leftrightarrow \sqrt{9+2x}=4$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-9}{2},x\neq 0\\ 9+2x=16 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{7}{2}$

4. cho $\bigtriangleup$ABC

chứng minh: $SABC = \frac{1}{2}.AB.AC.sin\widehat{A}$

Kẻ đường cao $BH$

Ta có: $BH=AB.sinA$

Do đó: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}AB.AC.sinA$