Forgive Yourself

Cho hình vuông $\text{ABCD}$ $,$ $\text{I}$ là giao điểm của hai đường chéo, $\text{M}$ là trung điểm của $\text{AB}$. Đường tròn $\text{(O)}$ ngoại tiếp $\triangle \text{ADM}$ cắt $\text{BD , CD}$ lần lượt tại $\text{P , Q}$.
$a)$ Chứng minh rằng: $\text{P , Q}$ lần lượt là trung điểm của $\text{BI , CD}$.
$b)$ $\text{PO}$ cắt $\text{(O)}$ tại $\text{E}$. $\text{AE , AP}$ lần lượt cắt đường thẳng $\text{CD}$ tại $\text{F , N}$. Chứng minh rằng :
$\text{cos AFK = sinKFNcosKNF + sinKNFcosKFN}$.

BÀI SỐ 1 THẾ LÀ ĐÃ XONG!!!!!!!

Giải phương trình:
$$\frac{1}{(3x-1)^2}+\frac{1}{(2x-1)^2}=\frac{1}{(x+2)^2}$$

cho tam giác ABC nhọn, từ I ở miền trong tam giác kẻ IH,IK,IL lần lượt vuông góc với BC,CA,AB
tìm vị trí của I để AL^2+BH^2+CK^2 nhỏ nhất

Xin lỗi bạn vì mình cũng đang bận nên chưa vẽ được hình up lên cho bạn, bạn thông cảm nha.
Bài giải:

Áp dụng định lí $Pythagore$ ta có:
$AL^2+LI^2=AK^2+KI^2 (=AI^2)$
$BH^2+HI^2=BL^2+LI^2 (=BI^2)$
$CK^2+KI^2=CH^2+HI^2 (=CI^2)$
Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta được:
$(AL^2+BH^2+CK^2)+(LI^2+HI^2+KI^2)=(AK^2+BL^2+CH^2)+(LI^2+HI^2+KI^2)$
$\Rightarrow AL^2+BH^2+CK^2=AK^2+BL^2+CH^2$
$\Rightarrow 2(AL^2+BH^2+CK^2)=(AL^2+BL^2)+(BH^2+CH^2)+(CK^2+AK^2)$
Mặt khác:
$AL^2+BL^2\geq \frac{(AL+BL)^2}{2}=\frac{AB^2}{2}$
$BH^2+CH^2\geq \frac{(BH+CH)^2}{2}=\frac{BC^2}{2}$
$CK^2+AK^2\geq \frac{(CK+AK)^2}{2}=\frac{CA^2}{2}$
$\Rightarrow (AL^2+BL^2)+(BH^2+CH^2)+(CK^2+AK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}$
$\Rightarrow 2(AL^2+BH^2+CK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}$
$\Rightarrow (AL^2+BH^2+CK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} AL=BL\\ BH=CH\\ CK=AK \end{matrix}\right.$ hay $I$ là giao của ba đường trung trực, tức $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Vậy $Min_{(AL^2+BH^2+CK^2)}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$ khi và chỉ khi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+6x=6y\\ y^2+9=2xy \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^2-1$
Câu 2 a) Cho các số $a, b, c, x, y, z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ \frac{a}{x^3}=\frac{b}{y^3}=\frac{c}{z^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
b) Tìm số nguyên $m$ để phương trình $x^2+m(1-m)x-3m-1=0$ có nghiệm nguyên.
Câu 3 Tam giác $ABC$ có góc $B, C$ nhọn, góc $A$ nhỏ hơn $45^o$, nội tiếp đường tròn tâm $O$, $H$ là trực tâm. $M$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ ($M$ không trùng với $B, C$). Gọi $N, P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB, AC$.
a) Chứng minh tứ giác $AHCP$ nội tiếp đường tròn và $3$ điểm $N, H, P$ thẳng hàng.
b) Tìm vị trí của $M$ để diện tích tam giác $ANP$ lớn nhất.
Câu 4 Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc=8$.
Chứng minh: $\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$.
Câu 5 Cho $2012$ số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_{2012}$ có tính chất tổng của $1008$ số bất kì lớn hơn tổng của $1004$ số còn lại. Chứng minh rằng trong $2012$ số thực đã cho có ít nhất $2009$ số thực dương.

Cho $f(x)$ thỏa mãn $f(x)+3-f(1-x)=x$. Tính $f(1)$