GSXoan

Cho mình hỏi chỗ này là 4 hay là 1

Chỗ đó là 4

giải các hệ phương trình sau

B1,

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}\\ y^{2}(z+x)^{2}=(4y^{2}+y+1)z^{2}x^{2} \\ z^{2}(x+y)^{2}=(5z^{2}+z+1)x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

B2,

$\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y=y\\ 2y+y^{2}z=z \\ 2z+z^{2}x=x \end{matrix}\right.$

B2)

Nhận thấy hệ không có các nghiệm $(\pm1,y,z); (x,\pm1,z);(x,y,\pm1)$ 

Với $x,y,z \neq \pm 1$, viết lại hệ dưới dạng:

$\left\{\begin{matrix} y= \frac{2x}{1-x^2} \\ z= \frac{2y}{1-y^2} \\ x=\frac{2z}{1-z^2} \end{matrix} \right.$

Với điều kiện đó đặt $x=\tan \alpha \: (1), \alpha \in(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , với $\tan \alpha, \tan 2\alpha, \tan 4\alpha \neq \pm1$

Với $x=\tan \alpha \Rightarrow y= \dfrac{2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}= \tan 2\alpha$

Với $y= \tan 2\alpha \Rightarrow z= \dfrac{2 \tan 2\alpha}{1- \tan^2 2\alpha}= \tan 4\alpha$ 

Với $z=\tan 4\alpha \Rightarrow x= \dfrac{2 \tan 4\alpha}{1- \tan^2 4\alpha}= \tan 8\alpha    (2)$

Từ (1) và (2) $\rightarrow \tan \alpha =\tan 8\alpha \Leftrightarrow \alpha= k \frac{\pi}{7}, k \in \mathbb{Z}$

Vì $\alpha \in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2} ) \Rightarrow \frac{-\pi}{2} <k \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ 

mà $k \in \mathbb{Z} \rightarrow k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$

Nên: $x=\tan k\frac{\pi}{7} ; y= \tan k \frac{2\pi}{7} ; z= \tan k \frac{4\pi}{7} $

với $ k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$   $\square$ 

$tan^{2}x.cot^{2}2x.cot3x= tan^{2}x-cot^{2}2x+cot3x$

bạn có thể làm chi tiết hơn được không!mình chưa hiểu lắm nak !hj

Mình làm cách khác nhá:    

Pt $\Leftrightarrow \cot 3x (\tan^2 x\cot^2 2x-1)=tan^2 x- cot^2 2x$

     $\Leftrightarrow \cot 3x(\tan x \cot 2x-1)(\tan x \cot 2x+ 1)=(\tan x-\cot 2x)(\tan x+ \cot 2x)$

Suy ra(nhớ kiểm tra điều kiện):

    $\cot 3x= \frac{\tan x - \cot 2x}{\tan x \cot 2x+1}.\frac{\tan x +\cot 2x}{\tan x \cot2x-1}$

Mà:

+) $\dfrac{\tan x - \cot 2x}{\tan x \cot 2x+ 1} $

       $=\frac{\tan x \tan 2x-1}{\tan x+\tan 2x}=\cot 3x $

+)  $\dfrac{\tan x +\cot 2x}{\tan x  \cot 2x- 1} $

     $=\frac{\tan x \tan 2x+1}{\tan x- \tan 2x}= \cot(-x)=-\cot x $

Nên: PT viết lại thành: $\cot 3x= -\cot 3x \cot x$

Đến đây dễ rồi   

$2sinx(1+2{cos}^{2}x)-2cos4x=2{sin}^{3}x-\sqrt{3}cos3x$

Mình nghĩ đề nó phải thế này:

$2\sin x(1+2\cos^2 x)-2\cos 4x =4 \sin^3 x - \sqrt{3} \cos 3x$

$sin3x+cos3x-2\sqrt{2}cos(x+\frac{\prod }{4})+1=0$

 

Giải

Phương trình trên tương đương:
$- \sqrt{2}\cos{\left ( 3x + \dfrac{3\pi}{4}\right )} - 2\sqrt{2}\cos{\left (x + \dfrac{\pi}{4}\right )} + 1 = 0$

Đặt $\cos{\left (x + \dfrac{\pi}{4}\right )} = t (-1 \leq t \leq 1)$, ta được:
$- \sqrt{2}(4t^3 - 3t) - 2\sqrt{2}t + 1 = 0 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{2}t^3 - \sqrt{2}t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2}t - 1)(4t^2 + 2\sqrt{2}t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Đoạn còn lại bạn tự giải nhé.

 

$\sin 3x+\cos 3x-2\sqrt{2} \cos (x+\frac{\pi}{4})+1=0$

$\Leftrightarrow 4\cos^3 x-3 \cos x+3 \sin x-4 \sin^3 x -2 \cos x+2\sin x +1 =0$

$\Leftrightarrow 4(\cos x-\sin x)(1+\cos x \sin x)-5(\cos x -\sin x)+1=0$

Đặt $u=\cos x -\sin x$ , $v=\sin x \cos x$ ta được hê:

$\left\{\begin{matrix}4u(1+v)-5u+1=0 \\ u^2=1-2v \end{matrix} \right.$

Bạn tự giải tiếp...........................................