hoangtubatu955

Giả sử tất cả mỗi người có số nguyên quen là số lẻ.

Gọi số người quen của $45$ người lần lượt là $a_1,a_2,\dots,a_{45}$ trong đó $a_i$ là các số lẻ.

Khi đó tổng $a_1+a_2+\dots+a_{45}$ là số lẻ. Tuy nhiên, ở đây mỗi cặp quen nhau được tính hai lần (chẳng hạn người $i$ quen người $j$ thì lượt quen này được tính cho cả $a_i$ và $a_j$) nên tổng phải là số chẵn.

Do đó, phải tồn tại một người có số người quen là số chẵn.

Cách giải thực ra có thể đơn giản hơn, ta sẽ chứng minh số $\frac{-144}{1008}=\frac{-1}{7}$ luôn xuất hiện trên bảng. Từ đó suy ra số cuối cùng trên bảng là: $\frac{-1}{7}.$0

Thật vậy, trong mỗi bước của quy trình, nếu số $\frac{-1}{7}$ là một trong hai số được số thì số được thêm vào là:

$\frac{-1}{7}+7.\frac{-1}{7}.y+y=\frac{-1}{7}.$ 

Còn nếu trong mỗi bước của chu trình số $\frac{-1}{7}$ không tham gia thì hiển nhiện số $\frac{-1}{7}$ vẫn nằm ở trên bảng.

Từ đó ta có điều phải chứng minh!

Đây là một cách trong tài liệu mình viết hồi lớp 11

Mình xin giải quyết câu cuối:

 

Ta chia bài toán trên thành 2 bước:

Bước1 : 

Ta chứng minh với a cầu thủ thì luôn tìm được một cách xếp sao cho khoảng giữa hai cầu thủ xếp liền nhau là a

Thật vậy, ta nhận thấy với 3 cầu thủ thì có cách xếp sao cho 3 cầu thủ bằng điểm nhau

Xét b-1 cầu thủ có điểm số bằng nhau. Ta chứng minh với b cầu thủ thì cũng chia được. Tuy nhiên điều này hiển nhiên vì nếu cầu thủ được thêm vào hòa với b-1 cầu thủ còn lại thì số điểm của họ là bằng nhau

Giờ ta xét a-1 cầu thủ có điểm bằng nhau.

Ta nhận thấy sau mỗi trận đấu thì tổng điểm thu được của 2 cầu thủ là 2

=> Số điểm của mỗi a-1 cầu thủ là a-2

Lấy thêm một cầu thủ bất kì và cho nó thẳng a-1 đứa còn lại

=> Tổng điểm nó thu được 2.(a-1)

=> Khoảng cách giữa hai cầu thủ xếp liền nhau là a

Bước 2:

Theo bước 1, ta có với n cầu thủ thì sẽ tồn tại một khoảng cách là n

Ta chứng minh n này là lớn nhất

Thật vậy với n=3 => đpcm

Giả sử nó đúng với n-1 cầu thủ ( có nghĩa là khoảng cách lớn nhất là n-1)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n cầu thủ.

Gọi thẳng được thêm vào n-1 cầu thủ kia là A.

Ta nhận thấy nếu A được xếp nằm giữa n - 1 cầu thủ kia thì hiển nhiên khoảng cách giữa A và thằng xếp liền kề sẽ nhỏ hơn n-1

Xét 2 trường hợp:

+,  A đứng trước thằng xếp thứ nhất

Ta nhận thấy tổng số điểm của n-1 thẳng ban đầu là ( n-1 )(n-2)

Tổng số điểm của n thằng sau là n(n-1)

=> Điểm của A sẽ bé hơn hoặc bằng :

                 n(n-1) - (n-1)(n-2) = 2n - 2

Mặt khác ta lại có thằng đứng nhì ( đứng sau A) sẽ có điểm lớn hơn hoặc bằng:

                (n-1)(n-2) : (n-1) = n-2

=> Khoảng cách điểm giữa A và thẳng vừa nói trên sẽ bé hơn hoặc bằng:

                2n - 2 - n + 2 = n ( thỏa mãn )

=> đpcm

+,  A đứng sau thằng sếp cuối

     Chứng minh tương tự như trên

Vậy đáp số bài toán là n

 

P/s : Các cầu thủ là các đội bóng

Cho tô đỏ có vấn đề nhé, và cấu hình thỏa mãn không phải là duy nhất.

Chẳng hạn mình đưa ra cấu hình thỏa mãn sau.

Các đội $A_1,A_2,...,A_n$, với mỗi $k$ bất kì ta xét cấu hình thắng thua hòa như sau:

$A_1,...,A_k$ đội một hòa nhau tương tự $A_{k+1},A_{k+2},...,A_n$ đôi một hòa nhau.

Và một đội bất kì trong nhóm $A_1,A_2,...,A_k$ đều thắng một đội bất kì trong $A_{k+1},A_{k+2},...,A_n.$ 

Khi đó thì số điểm của $A_1=A_2=...=A_k = k-1 + 2(n-k)$ và $A_{k+1}=A_{k+2}=...=n-k-1.$

Khi đó $A_k - A_{k+1} = 2(n-k)+k-1 - (n-k-1) = n.$

Bên cạnh chỉ ra cấu hình trên thì cũng là một cách đưa ra luôn lời giải. Theo hai bước như sau

giả sử số điểm sau khi kết thúc giải đấu là $A_1 \ge A_2 \ge ... \ge A_n.$

Khi đó ta chứng minh được với mọi $k=1,2,...,n$ thì $n- k \le A_k \le 2(n-k)+k-1.$ 

Từ đấy ta có $A_k-A_{k+1} \le n.$

Mình xin giải quyết câu cuối:

 

Ta chia bài toán trên thành 2 bước:

Bước1 : 

Ta chứng minh với a cầu thủ thì luôn tìm được một cách xếp sao cho khoảng giữa hai cầu thủ xếp liền nhau là a

Thật vậy, ta nhận thấy với 3 cầu thủ thì có cách xếp sao cho 3 cầu thủ bằng điểm nhau

Xét b-1 cầu thủ có điểm số bằng nhau. Ta chứng minh với b cầu thủ thì cũng chia được. Tuy nhiên điều này hiển nhiên vì nếu cầu thủ được thêm vào hòa với b-1 cầu thủ còn lại thì số điểm của họ là bằng nhau

Giờ ta xét a-1 cầu thủ có điểm bằng nhau.

Ta nhận thấy sau mỗi trận đấu thì tổng điểm thu được của 2 cầu thủ là 2

=> Số điểm của mỗi a-1 cầu thủ là a-2

Lấy thêm một cầu thủ bất kì và cho nó thẳng a-1 đứa còn lại

=> Tổng điểm nó thu được 2.(a-1)

=> Khoảng cách giữa hai cầu thủ xếp liền nhau là a

Bước 2:

Theo bước 1, ta có với n cầu thủ thì sẽ tồn tại một khoảng cách là n

Ta chứng minh n này là lớn nhất

Thật vậy với n=3 => đpcm

Giả sử nó đúng với n-1 cầu thủ ( có nghĩa là khoảng cách lớn nhất là n-1)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n cầu thủ.

Gọi thẳng được thêm vào n-1 cầu thủ kia là A.

Ta nhận thấy nếu A được xếp nằm giữa n - 1 cầu thủ kia thì hiển nhiên khoảng cách giữa A và thằng xếp liền kề sẽ nhỏ hơn n-1

Xét 2 trường hợp:

+,  A đứng trước thằng xếp thứ nhất

Ta nhận thấy tổng số điểm của n-1 thẳng ban đầu là ( n-1 )(n-2)

Tổng số điểm của n thằng sau là n(n-1)

=> Điểm của A sẽ bé hơn hoặc bằng :

                 n(n-1) - (n-1)(n-2) = 2n - 2

Mặt khác ta lại có thằng đứng nhì ( đứng sau A) sẽ có điểm lớn hơn hoặc bằng:

                (n-1)(n-2) : (n-1) = n-2

=> Khoảng cách điểm giữa A và thẳng vừa nói trên sẽ bé hơn hoặc bằng:

                2n - 2 - n + 2 = n ( thỏa mãn )

=> đpcm

+,  A đứng sau thằng sếp cuối

     Chứng minh tương tự như trên

Vậy đáp số bài toán là n

 

P/s : Các cầu thủ là các đội bóng

Bước quy nạp của bạn có vấn đề vì khi thêm $A$  vào đồng nghĩa với việc số điểm của từng thành viên trong $n-1$ cần thủ sẽ phải thay đổi nên việc xếp $A$ ở giữa hàng vẫn chưa thể suy ra được khoảng cách nó bé hơn $n-1.$