nhatquangsin

(các bước biến đổi hơi tắt vì em chưa quen gõ latex)

Ta có: $\sum x.\sum \frac{xc^{2}}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}.\sum a^{2}yz$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(b^{2}-a^{2})yz}{c^{2}}+\sum \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}-\sum xy\geq 0$ (1)

Vì: $\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}z^{2}}{c^{2}}\geq 2.\frac{b}{a}zx$

$\Rightarrow \sum \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}\geq \sum \frac{c}{b}yz$

Thế vào (1) thì ta có:

$\sum (\frac{(b^{2}-a^{2})yz}{c^{2}}-yz+\frac{c}{b}yz)\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$ (2)

Vì vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử $a\leq c\leq b$$\Rightarrow \frac{a}{c}\leq 1;\frac{c}{b}\leq 1$

Và:

$(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\geq 3$

Nên: $ [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$

$\Rightarrow$ (2) đúng $\Rightarrow$ đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cho mình mượn tạm hình
Biến đổi tương tự câu a thì điều phải chứng minh là:KB'²=KQ'.KP
Vì $\Delta PQQ'\sim \Delta PKO$
$\Rightarrow$PQ.PO=PQ'.PK
Mà PQ.PO=PE² $\Rightarrow$ PE²=PQ'.PK
Ta có: KQ'.KP=PK²-PQ'.PK=PK²-PE²=PK²-PO²+R²=R²-OK²=KB'²(đpcm)
Vậy với PAB là cát tuyến bất kì thì$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

Đây là cách THCS khá đơn giản.
Gọi bán kính (O) là R
Ta có: $\frac{PA}{PB}=\frac{PO-R}{PO+R}$
$\frac{QA}{QB}=\frac{R-OQ}{R+OQ}$
Ta cần CM:$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$$\Leftrightarrow \frac{OP-R}{OP+R}=\frac{R-OQ}{R+OQ}$
Dùng phép biến đổi tương đương ta được điều cần chứng minh là:
OP.OQ=R²(điều này đúng)
$\Rightarrow$$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

Tìm n là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho:
n³=77...7

Vì: $$(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^{2}\leq 3(p-a+p-b+p-c)$
(BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski)
$\Rightarrow $(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})\leq \sqrt{3p}$
Lại có: $(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})² >(p-a+p-b+p-c)=p.

a>b>0.CMR:
$\sqrt{a^{2}-b^{2}}+\sqrt{2ab-b^{2}}>a$

Ta chứng minh được $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$. Nên $Vế trái \geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+3xyz =(xy+yz+zx)(x+y+z)$=$(x+y+z)$

_{$Ta có: BC.cotA=BC.\frac{AE}{BE}=AE.\frac{1}{\frac{BE}{BC}}=\frac{AE}{sinC}=\frac{AE}{sinAHE}=AH(đpcm )$}

N thì có liên quan gì vậy bạn

$vẽ BH song song EF(H \in AC). DK song song EF(K \in AC). Ta có:\frac{AB}{AE}=\frac{AH}{AO}; \frac{AD}{AF}=\frac{AK}{AO} \Rightarrow \frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF} =\frac{AH+AK}{AO} Lấy M là trung điểm AC. Vì \Delta BMH =\Delta DMK \Rightarrow OH=OK \Rightarrow AH+BK=2AO=AC.$