nhatquangsin

Bài 2

Cho $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ là các số thực dương thỏa $a_{1}a_{2}...a_{k}=\alpha$. Chứng minh rằng:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geq \alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+...+\alpha _{j}p_{j}$

Biết rằng $\alpha =p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{j}^{\alpha_{j}}$ và $p_{i}$ là các số nguyên tố

Chứng minh rằng trong $2n^{2}-1$ số tự nhiên bất kì đôi một khác nhau tồn tại $n^{2}$ số có tổng chia hết cho $n^{2}$

Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ lớn hơn $n+1$. Chứng minh rằng đa thức $P_{\left ( x \right )}=1+\frac{x}{n+1}+\frac{x^{2}}{2n+1}+...+\frac{x^{p}}{pn+1}$ không có nghiệm nguyên.

Gọi $p_{n}(k)$ là số hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ có đúng $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n}k.p_{n}(k)=n!$

MÌnh vừa nhận ra là đề có thể sai

Lí do như sau

Gọi $F$ là giao của $BE$ với $(O)$

Khi đó $\triangle OTF$ cân tại $O$ và $\triangle YIT$ cân tại $I$ có $2$ góc đối đỉnh 

Do đó ta vẫn suy ra được $OF//IY$

Muốn $BE$ là phân giác ngoài của $\angle CBA$ thì ta phải có $F$ là điểm chính giữa của cung $CA$

Nhưng điều này chỉ đúng khi $A,C,Y$ thẳng hàng

 

thử dùng Geometry's Sketchpad đo thì đề vẫn chuẩn mà bạn

VD:

 

Người ta xếp $n$ nam sinh và $n$ nữ sinh thành một hàng, sau đó tìm cách cắt hàng thành hai khúc sao cho mỗi khúc có số nam sinh bằng số nữ sinh. Gọi $A$ là số trường hợp không thể cắt hàng theo yêu cầu, $B$ là số trường hợp chỉ có thể cắt hàng theo yêu cầu trên một cách duy nhất.

Chứng minh rằng $B=2A$

Cho $m,n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng số cách biểu diễn $n$ dưới dạng tổng những số nguyên dương không lớn hơn $m$ bằng số cách biểu diễn $n$ dưới dạng không ít hơn $m$ số nguyên dương

đặt dãy như sau: $a_{1},a_{2},...,a_{2006}$ trong đó $a_{i}\in \left \{ 1,2,...,2006 \right \},i\neq j\Leftrightarrow a_{i}\neq a_{j}$.

đặt $S_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-...-a_{2006}$ là tổng có được sau $n$ lần đổi. Khi đó rõ ràng $S_{1}=-1003$ và $S_{n}\equiv S_{1}\equiv -1003\left ( mod \4\right )$. Vì $1003\not\equiv -1003\left ( mod\4 \right )$ nên không thể xếp thành dãy $2006,2005,...,1$

$a,b,c>0$, $a+b+c=3$

CMR $a^2+b^2+c^2+abc \geq 4$

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$. Ta có $p=3,q\leq \frac{p^{2}}{3}=9$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có

$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\Leftrightarrow 3r\geq 4q-9\Leftrightarrow 3(r-2q)\geq -2q-9\geq -15$

$\Rightarrow r-2q\geq -5\Rightarrow p^{2}-2q+r\geq 4\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

Ai up hình lên với ạ

Mình vẽ hình nhưng lại có vẻ thấy đề không đúng

Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+y^{3}=z^{4}$ có vô số nghiệm nguyên dương

$\binom{n}{1} \cos a+\binom{n}{2}\cos 2a+...+\binom{n}{n}\cos na$

Trước hết ta xét bài toán sau: tính

$C_{n}=\cos x+\cos 2x+...+\cos nx$

Ta có $\Delta \sin (k-\frac{1}{2})x=\sin (k+\frac{1}{2})x-\sin (k-\frac{1}{2})x=2\cos kx.\sin \frac{x}{2}$

TH1 $x=2k\pi \Rightarrow \sin \frac{x}{2}=0$. Khi đó dễ thấy $C_{n}=\sum_{k=1}^{n}\cos kx=n$.

TH2 $x\neq 2k\pi \Rightarrow \sin \frac{x}{2}\neq 0$. Khi đó $\cos kx=\frac{\Delta \sin (k-\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}$.

$C_{n}=\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\left ( \sum_{k=1}^{n}\Delta \sin (k-\frac{1}{2})x \right )$$=\frac{1}{\sin \frac{x}{2}}.\cos \left ( \frac{n+1}{2} x\right ).\sin \frac{n}{2}$

Vậy $C_{n}=\left\{\begin{matrix} n\\ \frac{\cos (\frac{n+1}{2}x).\sin\frac{n}{2} }{\sin \frac{x}{2}} \end{matrix}\right.$

-----------------------------------------------------------

Trở lại bài toán áp dụng khai triển Abel ta có

$\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cos ka=\sum_{k=1}^{n-1}\left ( \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix} \right )C_{k}+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}C_{n}$

Tới đây là đơn giản rồi

với bài sin cũng tương tự

Hãy tìm số $k$ lớn nhất sao cho tồn tại $k$ số thuộc $\{1;2;..;n\}$ và một số bất kì trong $k $ số đó không là ước của $k-1$ số còn lại.

Trước hết ta xét bài toán đảo:

Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $k$ số thuộc tập hợp $X=\{1;2;...;n\}$ sao cho trong $k$ số đó tồn tại hai số $a$ và $b$ sao cho $a\vdots b$.

Ta giải bài toán phụ như sau:

Xét tập $S=\left \{ a_{1};a_{2};...;a_{k} \right \}\subseteq X$. Biểu diễn $a_{i}=2^{\alpha _{i}}.b_{i},(i=\overline{1,k})$ và $b_{i}$ là những số lẻ.

Vì trong $X$ có $\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor$ số lẻ nên suy ra $k>\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor$(theo nguyên lý Dirichlet).

Trở lại bài toán ta có $k\leq \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor$.

Vậy $max_{k}=\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor$

Xét trường hợp $n=3k$. Với $k=1$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor=3$ là số nguyên tố. Với $n>1$ thì đương nhiên $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor\vdots 3$.

Xét trường hợp $n=3k+1$.

$\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{(3k+1)^{2}}{3} \right \rfloor=\left \lfloor 3k^{2}+2k+\frac{1}{3} \right \rfloor=k(3k+2)$

Với $k=0$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor=0$

Với $k=1$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor=5$ là số nguyên tố.

Với $k>1$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor\vdots k>1$

Xét trường hợp $n=3k+2$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor=3k^{2}+4k+1=(3k+1)(k+1)$

Với $k=0$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor=2$ là số nguyên tố. Với $k>0$ thì $\left \lfloor \frac{n^{2}}{3} \right \rfloor$ là hợp số.

Vậy chỉ có các số nguyên tố $2,3,5$ thỏa mãn

Gửi mọi người cái này, hi vọng nó hữu ích

The IMO conpendium

http://estoyanov.net...MO-19592004.pdf