nhatquangsin

cho tam giác ABC có AC = 3(BC - AB). đường tròn nội tiếp của tam giác có tâm là I và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại C₁, B₁. M là 1 điểm trên C₁B₁ sao cho C₁M = 3MB₁, N là trung điểm AC. Chứng minh rằng các điểm I,M,B₁,N nằm trên 1 đường tròn

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ thỏa với mọi số $a$ lẻ, nếu $a^2\leq n$ thì $a\mid n$

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc ba cạch $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A',B',C'$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với trung tuyến từ đỉnh $C$ cắt $A'B'$ tại $K$. Chứng minh rằng $CK\parallel AB$

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ có $d$ là trục đẳng phương. Lấy điểm $I$ bất kì trên $d$. Từ $I$ kẻ hai tiếp tuyến $IA$ và $IB$ lần lượt đến $(O)$ và $(O')$. $IA,IB$ cắt $OO'$ tại $C,D$. Lấy $P$ bất kì trên $d$. $PC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ theo thứ tự. Tương tự $PD$ cắt $(O')$ tại $Q,R$ theo thứ tự. Chứng minh rằng $MA,QB,d$ đồng quy.

Cho $a,b,c$ là các số không âm và có tổng bằng $1$. Chứng minh $a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{4}{27}$