chcd

Cho a, b, c dương. Tìm GTNN của $P=\frac{3\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{abc}$

Tìm nghiệm nguyên: $x^{3}=4y^{3}+x^{2}y+y+1$

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$, Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}+z^{3}}{y+2z}+\frac{z^{3}+x^{3}}{z+2x}\geq 2$

Tìm (a; b) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện

1) a, b khác 1 và UCLN(a; b) = 1

2) Số T = ab(ab + 1)(2ab + 1) có đúng 16 ước dương.

Cho tam giác ABC đều. Một điểm M nằm trong tam giác, biết $\angle BMC=150^{0}$. Chứng minh $MA^{2}\geq 2MB\cdot MC$

Giải phương trình $x^{3}+\sqrt{3}x^{2}+x-\sqrt{3}=0$

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của P = $\left ( \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z} \right )\sqrt{xy+yz+zx}$

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ điểm H trên đoạn OB (H ¹ O; B) vẽ dây cung AD ^ OB. Các tiếp tuyến của (O) tại A và D cắt nhau ở M, gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường kính DE; ME cắt AI tại K. Chứng minh: KA = KI.

Đây là các bài toán tiểu học (lớp 4, 5 gì đó) Thầy lười suy luận lắm. Cho đáp số thôi.

Bài 1: 11 lần

Bài 2: 22 lần

Câu 3b)

Từ giả thiết suy ra x + y là chính phương. Đăt x + y = k² (k là số nguyên)

Ta có (9x + k²)² = k⁶ suy ra 9x + k² = k³ (do 9x + k² > 0)

$\Rightarrow 9x=k^{2}\left ( k-1 \right )< 9k^{2}$ (Vì x + y = k² nên x < k² do y > 0)

$\Rightarrow 0< k-1< 9\Rightarrow 1< k< 10$ (*)

Mặt khác $9x=k^{2}\left ( k-1 \right )\Rightarrow x=\frac{k^{2}\left ( k-1 \right )}{9}$ (**)

Từ (*) và (**) tìm được k = 3; 6; 9

+) Với k = 3 $\Rightarrow x=2; y=7$

+) Với k = 6 $\Rightarrow x=20; y=16$

+) Với k = 9 $\Rightarrow x=72; y=9$

Câu 4

$\left | x-1 \right |+\left | x-2013 \right |\geqslant -1+2013$ (Dấu "=" xảy ra khi $1\leqslant x\leqslant 2013$)

$\left | x-2 \right |+\left | x-2012 \right |\geqslant -2+2012$ (Dấu "=" xảy ra khi $2\leqslant x\leqslant 2012$)

.....

$\left | x-1006 \right |+\left | x-1008 \right |\geqslant -1006+1008$ (Dấu "=" xảy ra khi $1006\leqslant x\leqslant 1008$)

$\left | x-1007 \right |\geq 0$ (Dấu "=" xảy ra khi x = 1007)

$\Rightarrow y\geqslant \left ( 1008+1009+...+2013 \right )-\left ( 1+2+...+1006 \right )=1013042$

Dấu "=" xảy ra khi x = 1007