chcd

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa cung CD không chứa hai điểm A và B. Tia AP cắt đường thẳng BC tại E, tia BP cắt đường thẳng AD tại F.

Chứng minh $\frac{EF}{BA}+\frac{BA}{EF}+\frac{AF}{BE}+\frac{BE}{AF}\leq \frac{PE}{PA}+\frac{PA}{PE}+\frac{PF}{PB}+\frac{PB}{PF}$

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}$

Cho các sổ thực x, y, z, t thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1$ . Tìm giả trị lớn nhất của biểu thức

$M=xy+xz+xt+yz+yt+3zt$

Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thoả măn điều kiện x + 9y + 6z = 2023. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức: $P=\sqrt{3x^{2}+63xy+243y^{2}}+\sqrt{243y^{2}+378yz+108z^{2}}+\sqrt{108z^{2}+42zx+3x^{2}}$

$x^{2}+2023x-2024=\left | x \right |+\left | x+1 \right |+\left | x+2 \right |+....+\left | x+2023 \right |$

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) (M khác A, M khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để AH + MH đạt giá trị lớn nhất.

Mình xin hỏi, anh chị nào biết cách gõ công thức toán trong ứng dụng PLICKERS chỉ giúp mình với. Xin cảm ơn.

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{BAD}=60^{0}, \widehat{BCD}=120^{0}$. tia phân giác của $\widehat{BAD}$ cắt BD tại E. Tia phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{DA}=\frac{\sqrt{3}}{AE}+\frac{1}{CF}$

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{BAD}=60^{0}, \widehat{BCD}=120^{0}$. tia phân giác của $\widehat{BAD}$ cắt BD tại E. Tia phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{DA}=\frac{\sqrt{3}}{AE}+\frac{1}{CF}$

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$, Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}+z^{3}}{y+2z}+\frac{z^{3}+x^{3}}{z+2x}\geq 2$

Tìm (a; b) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện

1) a, b khác 1 và UCLN(a; b) = 1

2) Số T = ab(ab + 1)(2ab + 1) có đúng 16 ước dương.

Cho tam giác ABC đều. Một điểm M nằm trong tam giác, biết $\angle BMC=150^{0}$. Chứng minh $MA^{2}\geq 2MB\cdot MC$

Giải phương trình $x^{3}+\sqrt{3}x^{2}+x-\sqrt{3}=0$

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của P = $\left ( \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z} \right )\sqrt{xy+yz+zx}$

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ điểm H trên đoạn OB (H ¹ O; B) vẽ dây cung AD ^ OB. Các tiếp tuyến của (O) tại A và D cắt nhau ở M, gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường kính DE; ME cắt AI tại K. Chứng minh: KA = KI.