anhminhkhon

mình xin giải câu 3 lớp 10:

Xét hàm f:$f(f(x))=x^{3}+\frac{3}{4}x$

Xét x=0 ta có $f(f(0))=0$

Chọn x=f(0) ta có $f(0)=(f(0))^{3}+\frac{3}{4}f(0)\Leftrightarrow$ f(0)=0 hoặc f(0)=1/2 hoặc f(0)=-1/2

Tiếp tục chọn x=1/2 và x=f(1/2) ta lại có f(1/2)=0 hoặc f(1/2)= 1/2 bằng f(1/2)=-1/2

chọn x=-1/2 và x=f(-1/2) ta lại có f(-1/2)=0 hoặc f(-1/2)= 1/2 bằng f(-1/2)=-1/2

Xét nếu f(0)=0 thì nếu f(1/2)=0 suy ra f(f(1/2))=1/2 suy ra f(0)=1/2 suy ra vô lí

lí luận tương tự ta có f(0) và f(1/2) và f(-1/2) sẽ nhận các giá trị khác nhau là 0; 1/2; -1/2

Vậy tồn tại ba số f(a), f(b), f(c) sao cho thỏa mãn đề bài

Mình nghĩ là không có đường thẳng nào như vậy(không chắc là không có đâu)

Thật vậy xét đường tròn $x^{2}+y^{2}=9\Leftrightarrow R=3$

Ta có GS A là một điểm trên đường thẳng đã cho

Ta có AB, AC lần lượt là hai tiếp tuyến

Ta có $\angle BAC=45^{\circ}\Leftrightarrow \angle BAO=22,5^{\circ}\Leftrightarrow AO=R/(sin22,5^{\circ})$ luôn luôn xác định

Vậy A chạy trên đường tròn tâm O bk $\frac{3}{sin22,5^{\circ}}$

Mặt khác một đường tròn chỉ cắt đường thẳng tại 2 điểm

Vậy không tồn tại 4 điểm nói trên

Khác ở chỗ không có số hạng $x_{0}=2$.

Tiện đây, xin nêu thêm một dãy số khác (cũng tìm được bằng cách tương tự).

$x_{k}=\frac{k^2+15k+60}{2}$ với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $4$

(Đây là một dãy số hữu hạn có $4$ số hạng mà tất cả các số hạng của nó đều thỏa mãn ĐK bài toán)

Vậy thì sẽ có rất nhiều dãy

Bạn có thể tìm ra được dãy tổng quát nhất không

$x_{0}=2$ rõ ràng là không nghiệm đúng.

Vậy dãy số thỏa mãn ĐK đề bài là :

$x_{1}=38$ ; $x_{2}=682$ ; $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

Đặt $x_{n}=p\alpha ^n-q\beta ^n$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=18(p\alpha ^{n+1}-q\beta ^{n+1})-(p\alpha ^n-q\beta ^n)$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=p\alpha ^n(18\alpha -1)-q\beta ^n(18\beta -1)$

$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là các nghiệm của phương trình $z^2-18z+1=0$

Chọn $\alpha =9+4\sqrt{5}$ ; $\beta =9-4\sqrt{5}$

$x_{1}=38\Rightarrow (9+4\sqrt{5})p-(9-4\sqrt{5})q=38$ (1)

$x_{2}=682\Rightarrow (9+4\sqrt{5})^2p-(9-4\sqrt{5})^2q=682$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow p=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ ; $q=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$

Vậy dãy $x_{n}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})^n-(\sqrt{5}-2)(9-4\sqrt{5})^n \right ]$ thỏa mãn ĐK đề bài.

(Ngoài dãy trên, còn nhiều dãy khác cũng thỏa mãn ĐK đề bài)

Cái dãy này là dãy số hạng tổng quát thôi mà cũng không khác dãy cũ đâu

Mình chỉ có thể chỉ ra một dãy thôi không biết có được điểm không

Mà nếu viết hết các dãy ra thì nhiều quá