Atu

$2\sqrt{2}cos2x + sin2x. cos(x+\frac{3\pi }{4})-4sin(x+\frac{\pi }{4})=0$

Ta có:

$2\sqrt{2}cos2x + sin2x. cos(x+\frac{3\pi }{4})-4sin(x+\frac{\pi }{4})=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}cos2x+sin2x.cos(x+\pi-\frac{\pi }{4} )-2\sqrt{2}(sinx+cosx)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}cos2x-sin2x.cos(x-\frac{\pi }{4})2\sqrt{2}(sinx+cosx)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}(sinx+cosx)(cosx-sinx)-\sqrt{2}sinx.cosx.(sinx+cosx)-2\sqrt{2}(sinx+cosx)=0$

$\Leftrightarrow (sinx+cosx)(2cosx-2sinx-sinx.cosx-2)=0$

Đặt $ sinx-cosx=t\Leftrightarrow -sinxcosx=\frac{t^{2}-1}{2}$ ....

Bạn nào giải thích cho mình

Cái này đánh lừa thị giác bạn thôi, gọi cạnh huyền tam giác đỏ là AB, ta giác xanh dương là BC, hình ở trên A,B,C thẳng hàng, ở dưới A,B,C không thẳng hàng ( đơn giản nhất là dựa theo tỉ lệ trên bảng rồi dùng công thức lượng giác chứng minh nó khôn thẳng hàng)

Cho a,b,c >0 . CMR:

$\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\leq 1$

$AM-GM$ ngược dấu.

Ta có: $\sum \frac{2b}{a+2b}=3-\sum \frac{a}{a+2b}$

Bài toán trở thành:

$\sum \frac{a}{a+2b}\geq 1$ 

Bđt trên đúng vì áp dụng $C-S$:

$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+2\sum ab}=1$

Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=0 và x+2>0;y+2>0;z+8>0

Tìm  MAX của $A=\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+8}$

Đặt $Max$ $A=k$ , ta cần Cm:

$\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+8}\leq k$

$\Leftrightarrow 1-\frac{2}{x+2}+1-\frac{2}{y+2}+1-\frac{8}{z+8}\leq k$

$\Leftrightarrow 3-k\leq \frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{8}{z+8}$

Áp dụng hệ quả $B-C-S$ ta có:

$\frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{8}{z+8}=\frac{4}{2x+4}+\frac{4}{2y+4}+\frac{4}{z+8}+\frac{4}{z+8}\geq \frac{4^{3}}{2\sum x+24}\geq \frac{8}{3}$

Vậy k cần tìm là $3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$

2, $\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$

Đúng rồi, bài 2 đề sai, chắc đề là vậy:

CM:$\sum \frac{1}{b+c-a}\geq \frac{1}{a}$

  Giải:

Ta có:

$\sum \frac{1}{b+c-a}+\sum \frac{1}{c+a-b}\geq \sum \frac{4}{2c}=\sum \frac{2}{c}$

Suy ra $dpcm$