GreatLuke

Mệnh đề sai. Lấy ví dụ 1 ma trận cấp 2: $A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ thì $A^2 = 0$.

 

Chứng minh nó thỏa mãn những tính chất cơ bản của không gian vector là xong  .
http://vi.wikipedia....hông_gian_vectơ

Giải thích dùm em tại sao A lũy linh suy ra A(A+B) lũy linh và cách làm này em không hiểu lắm

Em thử chứng minh khẳng định: Nếu $A,B$ là 2 ma trận giao hoán và $B$ luỹ linh thì $det(A+B)=detA$.

Anh gợi ý là dùng tính chất của giá trị riêng: Nếu $A$ có các giá trị riêng là $\lambda_{i}, i=1,2,..n$ thì $det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

Bạn thử chứng minh định lý này xem: Nếu $P(X)$ là 1 đa thức sao cho $P(A)=0$ thì tập giá trị riêng của ma trận $A \subset$ tập nghiệm của $P(X)$.

Chắc là thế này:

Gọi $A \in M_n{\mathbb{R}}$ là ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ theo cơ sở $B$.

Gọi $P(X)$ là đa thức đặc trưng của $A$. VÌ $deg(P(X))=n$ lẻ nên $A$ luôn có ít nhất 1 giá trị riêng thực.

Vậy $A$ luôn có vector riêng thực.