GreatLuke

Mệnh đề sai. Lấy ví dụ 1 ma trận cấp 2: $A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ thì $A^2 = 0$.

 

Chứng minh nó thỏa mãn những tính chất cơ bản của không gian vector là xong  .
http://vi.wikipedia....hông_gian_vectơ

Giải thích dùm em tại sao A lũy linh suy ra A(A+B) lũy linh và cách làm này em không hiểu lắm

Em thử chứng minh khẳng định: Nếu $A,B$ là 2 ma trận giao hoán và $B$ luỹ linh thì $det(A+B)=detA$.

Anh gợi ý là dùng tính chất của giá trị riêng: Nếu $A$ có các giá trị riêng là $\lambda_{i}, i=1,2,..n$ thì $det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

$deg(P)$ là bậc của đa thức $P$. Đây chỉ là những kí hiệu và tên gọi thôi. Em không biết thì cũng không chứng tỏ là kiến thức của em bằng 0. Cứ tự tin mà đăng ký đi thi

Mình không hiểu từ chỗ ''$q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$'' sao lại suy ra $A^n=0$
Bạn chỉ giúp chỗ này với

Bạn có thể hiểu thế này: Nếu $q(x)=x^k$ thì tất cả các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của $q(x)$. Do vậy $A$ sẽ có các giá trị riêng $\lambda_{i}=0 \forall i$. $p(x)$ là đa thức đặc trưng của $A$ thì $p(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-\lambda_{i})=x^n$. Theo định lý $Cayley-Hamilton$ thì $p(A)=0$ nên $A^n=0$

Vết của ma trận $A$, kí hiệu là $tr(A)$, là tổng các phần tử trên đường chéo chính.

Nếu $\lambda_{i}$ là các giá trị riêng của $A$ thì $tr(A)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}$.

Nếu $\exists k \in \mathbb{N}$ sao cho $A^{k}=0$ và $\forall i<k, A^{i}\neq 0$ thì ta nói $A$ luỹ linh và $k$ được gọi là chỉ số luỹ linh của $A$.

Ta nói rằng $A$ tam giác hoá được $\Leftrightarrow \exists$ 1 ma trận tam giác $T$ đồng dạng với $A$, hay $\exists P \in M_{n}(K)$ sao cho $A=PTP^{-1}$.

Định lý: Nếu tồn tại 1 đa thức $P(X)$ tách được trên $K$ và $P(A)=0$ thì $A$ có thể đưa về dạng tam giác.

Hệ quả: Mọi ma trận vuông thuộc $M_{n}(\mathbb{C})$ đều tam giác hoá được.

Đây là 1 số khái niệm cơ bản. Nếu muốn đọc thêm em có thể xem thêm các sách về đại số. Trong đấy có nói khá kĩ về phần này.

Tuy nhiên nếu mục tiêu của em là đi thi olympic thì chỉ cần học đến phần chéo hoá là đủ. Những định lý về việc tam giác hóa ma trận không được sử dụng trực tiếp . Có lẽ nó chỉ giúp em trong việc dự đoán các kết quả thôi

Đề có lắm câu về đa thức thế nhỉ. Mình dốt nhất phần này=))

Tại sao? Nếu $n>3$ thì $A$ có giá trị riêng nào khác $3$ giá trị trên không?

Giả sử ma trận $A$ có 1 vector riêng $V$ ứng với giá trị riêng $\lambda$.

$P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ là đa thức triệt tiêu của $A$.

Khi đó, $P(A)V=P(\lambda)V$. Vì $P(x)$ là đa thức triệt tiêu của $A$ nên $P(A)=0 \Rightarrow P(\lambda)=0$.

Vậy $\lambda \in P^{-1} \{ 0\}$.

Ví dụ $P(x)=x^{3}+1$ thì $\lambda$ chỉ có thể nhận 1 trong 3 giá trị là các nghiệm của $P(x)$.

........
@Greatluke: Chỉ sửa Latex

Bổ sung tí


Ma trận thực $C$ đối xứng nên chéo hoá được, các giá trị riêng $\lambda_{i}$ của nó thực. Vậy thì các giá trị riêng của $C^{6}+C+I$ là $\mu_{i}=\lambda_{i}^{6}+\lambda_{i}+1$.

Khảo sát hàm số $f(x)=x^{6}+x+1$. $f(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy $\mu_{i}>0 \forall i$ và $det(C^{6}+C+I)=\prod_{i=1}^{n} \mu_{i} >0$

Theo mình thì bài này làm như sau:

Giả sử $n$ lẻ thì $det(A)=det(-I)=-1$.

Vì $A^3+I=0$ nên đa thức triệt tiêu của $A$ tách đơn $\Rightarrow A$ chéo hóa được(lại phải dùng cái định lý này).

Các giá trị riêng $\lambda$ của $A$ $\lambda _{i}\in \left\{-1,z_{1}=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2},z_{2}=\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right \} $.

Giả sử $A$ không có giá trị riêng $\lambda_{i}$ nào bằng $-1$. Vì $n$ lẻ nên $detA=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$ không $\in \mathbb{R}$ nên $det(A) \neq -1 \Rightarrow$ vô lý.

Vậy $A$ phải có ít nhất 1 giá trị riêng bằng $-1\Rightarrow det(A+I)=0$ vì $A+I$ có ít nhất 1 trị riêng bằng $0$.

Vì $C$ là ma trận đối xứng nên $det(C^6+C+I)>0$. Mặt khác $BA(A+I)=C^{6}+C+I$ nên $det(B)det(A)det(A+I)=det(C^{6}+C+I)$.

Mà $det(A+I)=0$ nên $det(C^6+C+I)=0 !?!$.

Vậy $n$ không thể là số lẻ.

............
@Greatluke: Chỉ sửa là Latex. Em xem lại đoạn code để rút kinh nghiệm thêm. hi

Câu 2 có dùng đến $n$ lẻ. Vì lý luận cũng đơn giản nên tớ ngại viết ra =))

Nếu $A+I$ có $n$ giá trị riêng là $2$ thì $A-I$ có $n$ trị riêng là $0 \Rightarrow det(A+I)=2^{n} > 0=det(A-I)$.

Nếu $A+I$ có $n$ trị riêng là $0$ thì $A-I$ có $n$ trị riêng là $ -2 \Rightarrow det(A+I)=0 > (-2)^{n}=det(A-I)$.

Các trường hợp còn lại dễ dàng chứng minh được $det(A+I)=det(A-I)=0$.

Không sử dụng dữ kiện n lẻ. .khả năng là có chỗ hổng rồi.

Cái phương trình đầu mình tự công nhận ạ?.Có chứng minh được không anh?
Cái cuối em nghĩ là x thôi?.Sao lại là $x^3$.

Bạn thử tự chứng minh xem. Cũng sơ cấp thôi mà

Nếu $A^{2}=0$ thì $A$ có các giá trị riêng là $0 \Rightarrow A+I$ có các giá trị riêng là $1$, $A-I$ có các trị riêng là $-1$.
.
$\Rightarrow 1=det(A+I) \geq det(A+I)=(-1)^{n}$.

Nếu $A^{2}=I$ thì $A+I$ có các trị riêng là $0$ hoặc $2$, $A-I$ có các trị riêng tương ứng là $-2$ hoặc $0$.

$\Rightarrow det(A+I) \geq det(A-I)$.

có 1 chỗ chưa chặt lắm. xem lại đã

Đã có ý tưởng để làm bài này. Nhưng phải sử dụng đến tính chất chéo hóa của ma trận trong trường số phức.

Đang thử tìm 1 cách khác hay hơn