Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có các phân giác BE,CF cắt nhau tại I và EF cắt (O) tại M,N. Các đường thẳng MI,NI cắt (O) lần lượt tại P,Q. Chứng minh PQ song song BC.
- Dung Du Duong yêu thích
Gửi bởi toanc2tb trong 11-10-2015 - 10:35
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có các phân giác BE,CF cắt nhau tại I và EF cắt (O) tại M,N. Các đường thẳng MI,NI cắt (O) lần lượt tại P,Q. Chứng minh PQ song song BC.
Gửi bởi toanc2tb trong 02-05-2015 - 08:27
Cần gì Schur :v
Có $Ine\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow a(a-b)^2+c(b-c)^2+(a-b+c)(a-b)(a-c)\geq 0$
Lấy $a\geq b\geq c$ là có ngay điều cần chứng minh
Bạn vừa cm lại bđt Schur đấy!
Gửi bởi toanc2tb trong 08-02-2015 - 08:59
Chứng minh rằng hệ các đồng dư
$\begin{cases} x\equiv a_1 (\textit{mod }m_1) \\ x\equiv a_2 (\textit{mod }m_2)\\... \\x\equiv a_r (\textit{mod }m_r)\end{cases}$
có nghiệm nếu và chỉ nếu $(m_i,m_j)\mid (a_i-a_j)$ với mọi cặp số nguyên $(i,j)$, $1\le i\le j \le r$. Chỉ ra rằng nếu nghiệm tồn tại thì là nghiệm duy nhất môđulô $[m_1,m_2,...,m_r]$.
Gửi bởi toanc2tb trong 22-10-2014 - 20:31
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$a+b+c+abc \ge ab+bc+ca+abc$
$\Leftrightarrow a+b+c \ge ab+bc+ca$
Gửi bởi toanc2tb trong 18-10-2014 - 16:59
Các bạn down lại tại đây nhé!
Rǎzvan_Gelca,_Titu_Andreescu_Putnam_and_Beyond(BookSee.org).pdf 6.36MB 378 Số lần tải
Gửi bởi toanc2tb trong 06-10-2014 - 04:09
Để không có hai chữ số 5 nào cạnh nhau $\Rightarrow$ số chữ số 5 trong số cần lập thành luôn nhỏ hơn bằng 5
Nếu có 5 chữ số 5 $\Rightarrow$ lập được 2 số thỏa mãn
Nếu không có chữ số 5 nào $\Rightarrow$ lập được duy nhất một số thỏa mãn
Nếu có 1 chữ số 5 $\Rightarrow$ lập được $\frac{10!}{9!}=10$ số thỏa mãn
Nếu có 2 chữ số 5 $\Rightarrow$ số số lập được bằng số cách chọn ra 2 vị trí trong số 9 khoảng trống giữa 8 chữ số hai
$\Rightarrow$ lập được $C_{9}^{2}=36$ số
Nếu có 3 chữ số 5 lập luận tương tự như trên $\Rightarrow$ lập được$C_{8}^{3}=56$ số
Nếu có 4 chữ số 5 lập được $C_{7}^{4}=35$
Đáp số: 140 số (nếu mình có sai ở đâu thì sửa giúp nha)
với trường hợp 5 chữ số 5 có 6 cách. Sau đó cộng thêm trường hợp 2222222222, ta có 144 cách!
Gửi bởi toanc2tb trong 05-10-2014 - 17:43
Cho tập X={2;5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số sao cho không có hai chữ số 5 nào đứng cạnh nhau. (đáp án 144)
Gửi bởi toanc2tb trong 29-09-2014 - 05:04
Ta có chu kỳ là 234 chữ số (wolfram)
Đồng dư 2015 cho 234 là xong!
ps: Khiếp, bài này mà cho thi Máy tính bỏ túi là đi đời!
Gửi bởi toanc2tb trong 21-09-2014 - 09:36
Chứng Minh Rằng:
a) $(1+x)^{2014}\geq 1+2014x^{2013}+x^{2014}$
b) $n2^n.C^n_n+(n-1)2^{n-1}.C^{n-1}_n+...+2.C^1_n=2n.3^{n-1}$
c) $C^n_{2n+k}.C^n_{2n-k}\leq(C^n_{2n})^2$
Gửi bởi toanc2tb trong 18-09-2014 - 18:25
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm ta có:
$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=3\overrightarrow{HG}$ $(1)$
Ta có 3 điểm G,H,O cùng nằm trên đường thẳng Euler. Ta có tính chất sau:
Lại có I đối xứng với H qua O nên có:
$\overrightarrow{HI}=2\overrightarrow{HO}$ $(3)$
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$ suy ra $dpcm$
Gửi bởi toanc2tb trong 14-09-2014 - 15:14
ps: Xin lỗi do gấp quá nên mình không thể gõ $\LaTeX$ kịp được. Các ĐHV sửa giúp mình lại nhé!
Các bạn giải giúp mình với! Nhất là các bài tìm hệ số để đồng quy, thẳng hàng!!!
Gửi bởi toanc2tb trong 16-07-2014 - 10:08
Ta có:
$\frac{3}{2}\geq a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq\frac{1}{8}$
$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}=\sum\sqrt{a^2+\underset{16 \textit{số}}{\underbrace{\frac{1}{16b^2}+...+\frac{1}{16b^2}}}}$
$\geq \sum\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{a^2}{(16b^2)^{16}}}} \textit{ (AM-GM)}=\sqrt{17}.\sum \sqrt[17]{\frac{a}{(16b^2)^8}} \textit{ (} \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \textit{)}$
$\geq 3\sqrt{17}.\sqrt[3]{\sqrt[17]{\frac{abc}{(16^3a^2b^2c^2)^8}}}=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\sqrt[3]{\frac{abc}{(16^3a^2b^2c^2)^8}}}=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{16^8(abc)^5}}$
$=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}(abc)^5}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\sqrt[17]{\frac{1}{(2a.2b.2c)^5}} \geq\frac{3\sqrt{17}}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$
Vậy $minS=\frac{3\sqrt{17}}{2} \textit{ khi và chỉ khi } a=b=c=\frac{1}{2}$
Gửi bởi toanc2tb trong 11-07-2014 - 14:38
Câu 1 và 2 bạn xem ở đây nhé, đây là Cauchy ngược dấu.
Câu 3:
Áp dụng Schwarz nhé: (lúc học C.B.S chắc bạn có học!)
$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-(a+b+c)}$
mà theo C.B.S thì $a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
nên: $\frac{9}{6-(a+b+c)}\ge \frac{9}{6-3}=3$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Câu 5: là NN hay LN bạn?
Gửi bởi toanc2tb trong 10-07-2014 - 22:34
Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y \geq z >0$
Khi đó:
$(x-y)\left [ x^t(x-z)-y^t(y-z) \right ]+z^t(z-x)(z-y) \geq0$ (BĐT hiển nhiên đúng)
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Vậy $x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\geq 0$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học