thanhducmath

Giờ tài khoản của em dùng bình thường lại rồi cảm ơn đã giúp đỡ

Bài 1:

 bạn bình phương 2 vế  được BPT : $\frac{x^{4}}{x^{2}-1}+2\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}-\frac{1225}{144}\geq 0$ 

  rồi đặt ẩn phụ đưa về BPT bậc 2

Tìm max và min của $A=\frac{\left ( x+y \right )\left ( 1-xy \right )}{\left ( 1+x^{2} \right )\left ( 1+y^{2} \right )}$

ta có $(1+x^{2})(1+y^{2})=(x+y)^{2}+(1-xy)^{2}\geq 2\left | (x+y)(1-xy) \right |$

$\Rightarrow 2(x+y)(1-xy)\leq  (1+x^{2})(1+y^{2})$  hoặc $(1+x^{2})(1+y^{2})\leq -2(x+y)(1-xy)$

 từ đó tìm được Max, Min

Từ ĐK : $\sqrt{5}\geq x \geq- \sqrt{5}$

$\Rightarrow \sqrt{5-x^{2}}+3-x > 0$

Phương trình đã cho biến đổi thành:

  $x^{3}-x^{2}-4x+4=3(\sqrt{5-x^{2}}-(-x+3)$

$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(\frac{3}{\sqrt{5-x^{2}}+(-x+3)}+x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc  $x=2$

Mình CM bất đẳng thứ bên phải như thế này:

Theo nguyên lí dirichlet ta có trong 3 số a-1, b-1, c-1 luôn có 2 số cùng dấu và chúng có vai trò như nhau nên ta giả sử

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b
\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc$

Từ đó ta có :

$ab+ac+bc-abc\leq c+ab$

Từ giả thiết:

$4-c^{2}=abc+a^{2}+b^{2}\geq ab(c+2)\Rightarrow (2+c)(2-c-ab)\geq 0
\Rightarrow 2\geq c+ab$

$\Rightarrow ab+ac+bc-abc\leq2$