Ha Manh Huu

 

Giải PT: $2cos4x - (\sqrt{3}-2)cos2x=sin2x+\sqrt{3}, x\in[0;\pi]$

 
ta có Pt<=> $cos4x +Cos2x= \frac{\sqrt{3}}{2} Cos2x +\frac{1}{2} Sin 2x +\frac{\sqrt{3}}{2} = Cos \frac{\pi}{3}.Sin 2x + Sin \frac{\pi}{3}.Cos 2x + Sin \frac{\pi}{3}= Sin (2x+\frac{\pi}{3})+Sin \frac{\pi}{3} = 2Sin(x+\frac{\pi}{3}).Cos x $
do đó $2Cos3x.Cosx=2Sin(x+\frac{\pi}{3}).Cos x $
đến đây chắc ok giải pt Cosx=0 hoặc $Cos 3x =Sin(x+\frac{\pi}{3})$

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh các BĐT sau:

 

1) $A=$$\sum cosA\leqslant 3+\sum \frac{cos^2\frac{B-C}{2}}{2}$

 

2) $B=2cosA+cos(B-2C)+cos3C\leq \frac{9}{4}$

 

3) $C=cosA+m(cosB+cosC)\leq 1+\frac{m^2}{2}$ trong đó $0< m\leq 2$

câu 1 hơi lạ tại vế trái  $\leq \frac{3}{2} $ mà VP >3

câu 3 ta có bđt phụ với A,B,C là 3 góc của tam giác thì $CosA+CosB \leq 2 Cos(\frac{A+B}{2})$

do đó $C=cosA+m(cosB+cosC) \leq CosA +2m Cos(\frac{B+C}{2})=1-2Sin^2\frac{A}{2} +2mSin \frac{A}{2} \leq 1+\frac{m^2}{2}<=>2Sin^2\frac{A}{2}-2mSin \frac{A}{2}+\frac{m^2}{2} \geq 0 <=> (2Sin\frac{A}{2} -m)^2 \geq 0 $ đúng 

cho 3 số không âm a,b,c có tổng bằng 1,tìm giá trị lớn nhất của : $y=a^{30}b^{4}c^{2002}$

bài này dùng cân bằng hệ số 

ta thêm các số x,y,z >0  để$x^{30}a^{30}y^4b^4z^{2002}c^{2002}\leq \left ( \frac{30xa+4yb+2002zc}{2036} \right )^{2036}$

chọn x;y;z sao cho 30x=4y=2002z là ra 

Chứng minh rằng $\overline {abba} $ không là số chính phương

nếu số đó là số cp thì ta có $\overline {abba} =11(91a+10b)$ suy ra $91a+10b\vdots 11\Rightarrow 3a-b\vdots 11\Rightarrow a=8,9$

thay vào ko thỏa mãn suy ra đpcm

giải pt $\sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$

Bắt đầu nhé:

 

Văn giỏi toán giỏi anh cũng giỏi kì thi hi vọng điểm cao

người đổi đời đổi ta ko đổi người sai đời sai hay ta sai có lẽ chả ai sai

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn:

$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$

 

bđt cần CM tương đương với  $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq (abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d)^2$ 

ta có $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2d^2+c^2+d^2+1)=\left [ (ab-1)^2+(a+b)^2 \right ]\left [ (c+d)^2+(cd-1)^2+ \right ]\geq \left [ (ab-1)(c+d)+(cd-1)(a+b) \right ]^2=(abc+abd-c-d+cda+cdb-a-b)^2$

(đpcm)

GHPT : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x^2-y=\sqrt{x+y} \end{matrix}\right.$

pt trên phân tích thành $(x+y)^2-1+2xy(\frac{1}{x+y}-1)=0\Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1-\frac{2xy}{x+y})=0$

do đó x+y-1=0 vì $(x+y+1-\frac{2xy}{x+y})\geq x+y+1-\frac{x+y}{2}>0$ vì x+y>0 

thay vào là ra 

có cách khác ko bạn?

$\sum \frac{x}{x+1}=3-\sum \frac{1}{x+1}\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1

chứng minh 

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

THANK nhé      

ta có VT=$\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow 4\sum a+4\sum ab\geq 3(\sum a+\sum ab+abc+1)\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geq 6$

 

(hiển nhiên đúng vì theo bdt cô si $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3;ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3$)

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z> 0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{4}y}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{x^4y}{x^2+1}= \sum \frac{x^4}{x^3z+xz}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^3z+\sum xz}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2(x^4+y^4+z^4)+4\sum x^2y^2\geq 3\sum x^3z+3\sum xy$

ta có  $2x^4+2x^2z^2 \geq 4x^3z\Rightarrow 2\sum x^4+2\sum x^2z^2\geq 4\sum x^3z$

như vậy ta cần cm $x^3z+z^3y+y^3x +2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 3(xy+yz+zx)$

ta có $xy^3+x^2z^2+x^2y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^3.(xyz)^2}=3xy$ tương tự rồi cộng vế ta có đpcm

Bài 212. Giải phương trình nghiệm nguyên $\frac{x+y}{xy}=\frac{2014}{2013}$

ta có xy khác 0 nên $\left | x \right |,\left | y \right |\geq 1$

 

$\left | \frac{x+y}{xy} \right |=\frac{2014}{2013}>1 \Rightarrow \left | x \right |+\left | y \right | \geq\left | x+y \right |>\left | xy \right |=\left | x \right |.\left | y \right |\Rightarrow (\left | x \right |-1)(\left | y \right |-1)<1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x \right |=0 & & \\ \left | y \right |=0& & \end{matrix}\right.$

 

do đó x=0 hoặc y=0 (vô lí) do đó 0 tồn tại x,y thỏa mãn

$\sqrt[3]{3x+4}=x^{3}+3x^{2}+x-2$

sai đề ko thì bài này ra nghiệm lẻ mà giải pt muốn biết nghiệm thì vô đây http://www.wolframal...^{3}+3x^{2}+x-2

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng : $\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{c^2+b^2}{a^2+cb}+\frac{a^2+c^2}{b^2+ac}\geq \frac{9}{2}$

bđt phải cm tương đương với cái 3 cái sau $\geq 3$

ta có $\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\geq \sum 2.\frac{a^2+b^2}{2c^2+a^2+b^2}$ (do $ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$)

đổi biến thành x,y,z ta cần cm $\sum \frac{x+y}{2z+x+y}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{x+y}{2z+x+y}+3\geq \frac{9}{2}$ (cộng 1 vào mỗi cái)

hay $2(x+y+z)(\sum \frac{1}{2z+x+y})\geq \frac{9}{2}$

đến đây thì dễ dang làm nốt

$x,y$ dương và $x+y=\sqrt{10}$

Tìm Min $P=(x^{4}+1)(y^{4}+1)$

$P=x^4y^4+x^4+y^4+1$

ta có $x^2+y^2=10-2xy\Rightarrow x^4+y^4=(10-2xy)^2-2x^2y^2=2x^2y^2-40xy+100\Rightarrow P=a^4+2a^2-40a+100$(với a=xy)

$a^4+16+16+16 \geq 32a ; 2(a^2+4)\geq 8a\Rightarrow a^4+2a^2+56\geq 40a\Rightarrow P\geq44$

dấu = xảy ra khi $xy=2 , x+y=\sqrt{10}$

đến đây ok