Ha Manh Huu

 

Bài I:

 

1) Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}> 1$

 

2) Chứng minh $(4^{n}+15n-1)\vdots 9$ với $n\in N$

 

 

Bài II:

 

1) Giải hệ 

 

$(x+\sqrt{y^{2}+1})(y+\sqrt{x^{2}+1})=1$

 

$x^{2}+y^{2}=8$

 

2) Tìm nghiệm nguyên không âm x, y của phuơng trình $3^{x}-y^{3}=1$

 

 

Bài III: Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $d$. qua $I$ kẻ 2 cát tuyến $IDA$ và $ICB$ với đường tròn $(O)$. Đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt $d$ tại $M$ và $N$. Gọi $H$, $K$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$ và $AC$.

 

1) Chứng minh rằng $ID.IK=IC.IH$

 

2) Chứng minh $IM=IN$

 

 

Bài IV:

 

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số là các số nguyên, $a$ là hệ số tự do. Tìm $a$ biết $\left | a \right |< 100$ và $P(19)=P(5)=2013$.

 

 

Bài V:

 

Trên mặt phẳng cho $4025$ điểm sao cho với ba điểm bất kì trong số đo luôn tồn tại $2$ điểm mà khoảng cách giữa $2$ điểm đó nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính bằng $1$ chứa không ít hơn $2013$ điểm trong số các điểm đã cho.

 

bài nghiệm nguyên
ta có $3^{x}=(y+1)(y^{2}-y+1)$ nên $y+1=3^{m} ;y^{2}-y+1= 3^{n}$

suy ra $y=3^{m}-1 ; y(y-1)=3^{n}-1$

suy ra $(3^{m}-1)(3^{m}-2)=3^{n}-1$suy ra $3=3^{n} +3^{m+1} -3^{2m}$ (*)

ta thấy với $n=0$ thì $2=3^{m+1} -3^{2m} $ suy ra $3^{m+1} > 3^{2m}$ suy ra $m+1>2m$ suy ra $m=0$

với n>0 ta có m>0
chia cả 2 vế của (*) cho 3 thì 1= $3^{n-1} + 3^{m} - 3^{2m-1}$ nế trong 3 số $ 3^{n-1};3^{m};3^{2m-1}$ tồn tại 1 số =1 vì nếu cả 3 số ko có số nào =1 thì tổng 3 số chia hết cho 3 àm 1 ko chia hết cho 3 vô lí
từ đây dễ dàng giải tiếp bài toán

bài cuối tham khảo tại http://diendantoanho...-2013/?p=418970

 ta có $n^{3} +1 =(n+1)(n^{2} -n+1)$

do n lẻ nên $n+1 và n^{2} -n+1$ khác tíng chẵn lẻ

do đó n+1 là số cp chẵn còn $ n^{2}-n+1$ là số cp lẻ

do n+1 ;là số cp chẵn ta có n=4k+3

thay vào $n^{2} -n+1$ thì số này chia 4 dư 3 ko là số cp nên => đpcm

$\frac{c^{3}}{2}+4a^{2} +4b^{2}\geq 6abc$

$2(a^{3}+1+1)\geq 6a$

$2(b^{3}+1+1)\geq 6b$

$\frac{c^{3}}{2} +4+4 \geq 6c$

cộng vế suy ra  $A +16 \geq 6(a+b+c+abc)$ suy ra $A\geq  26-16=20$

dấu "=" xảy ra khi $a=b=1 ;c=2$

câu 6 

lấy điểm A bất kì

vẽ đường tròn bán kinh 1 có tâm là điểm A . nếu tất cả điểm nằm trong đường tròn này thì bài toán đc CM

nếu giả sử tồn tại  điểm nào đó nằm ngoài đường tròn tâm A 

ta vẽ Đường tròn tâm B bán kính 1 (B là điểm nằm ngoài (A) ) 

giả sử tồn tại điểm C trong các điểm đã cho nằm ngoài (A) và (B) thì AB , AC,BC đều lớn hơn 1 (vô lí)

vầy tất cả các điểm đều nằm trong 2 đường trong (A) và (B) . theo nguyên lí đi rích lê tồn tại 1 đt chứa ít nhất 1007 điểm

bài toán có thể tổng quát hóa trong n điểm sao cho trong 3 điểm bất kì tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính 1 chứa ko ít hơn $\frac{n+1}{2}$ điểm

Ta có $\frac{(a-b)^2}{2}+(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$

   $\Rightarrow \frac{3(a^2+b^2)}{2}+2 \geq ab+2(a+b)$

Do đó $ab+2(a+b) \leq 5$

Dấu = xảy ra khi $a=b=1$

 

 

 

min của nó là  2căn 2+  1/2 khi a=b=1/căn 2

$a^{2}+b^{2} \geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$ căn 2 về suy ra đpcm (cách này dễ hiểu hơn các dùng min cop ki cho 3 số )

$\star$ Xét $x=-2012$ ta có phương trình đã cho trở thành $1+0=1$ (đúng)

$\star$ Với $x> -2012$ ta có:$\left\{\begin{matrix} (x+2013)^{2012}> 1 & \\ (x+2012)^{2013}> 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x+2013)^{2012}+(x+2012)^{2013}> 1$ 

Nên $x> -2012$ không là nghiệm

$\star$ Với $x< -2012$ ta có: $\left\{\begin{matrix} (x+2013)^{2012}< 1 & \\ (x+2012)^{2013}< 0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow (x+2012)^{2013}+(x+2013)^{2012}< 1$ 

Nên $x< -2012$ không là nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-2012$

với x<-2012 bạn sai rồi cái mũ 2012 nó ko nhỏ hơn 1  đâu

Cho Tìm a,b thuộc $N*$ thỏa mãn $a+b^{2}$ chia hết cho $a^{2}b -1$

đề thi thử vòng 1 KHTN mình làm # lời giải nhé

do a,b,c ko âm và a,b,c $\leq 3$ nên $(\sqrt{a+3} -\sqrt{3})(\sqrt{a+3}-\sqrt{6})\leqslant 0 $

suy ra $a+3 -(\sqrt{3} + \sqrt{6} )(\sqrt{a+3}) + \sqrt{18} \leq  0 $ 

tương tự vói b và c rồi cộng vế

suy ra $a+b+c+9 - (\sqrt{3} + \sqrt{6} )A +3\sqrt{18} \leq  0$

suy ra $A \geq  \frac{12+3\sqrt{18}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} $

xong các bạn rút gọn nốt hộ mình

dấu = khi a+b+c=3 

               a=0 hoặc 3 , b=0 hoặc 3 , c=0 hoặc 3

khi đó có 2 số =0 1 số =3

cái câu quy nạp sai đề rồi

hình như còn thiếu điều kiện của bài toán bạn ạ