Ta có:
$S=(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Áp dụng AM-GM
$(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 3-\sqrt{3}$
Áp dụng Cauchy-schwarz
$\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}(ab+bc+ac)}$
Áp dụng AM-GM
$\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}(ab+bc+ac)}+\sqrt{3}\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt{ab+bc+ca}}$
ÁP dụng Cauchy-schwarz
$\frac{2(a+b+c)}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{9(a+b+c)}{2\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq$$\frac{9(a+b+c)}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))}}\doteq3\sqrt{3}$
Từ các bất đẳng thức như trên ta sẽ có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Nhận xét:
Lời giải trình bày vắn tắt và không rõ ràng.Hơn nữa BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ở THCS không được sử dụng,khi dùng phải dưới dạng bổ đề và chứng minh.
Trình bày công thức Toán tốt.
Điểm: 6/10.
- CaptainCuong yêu thích