dangthanhbn

Với m>0 cho trước, xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn:

$a^2+b^2+c^2=m(a+b+c)$

a) Với m=1, chứng minh rằng $ab(1-ab)+bc(1-bc)+ca(1-ca) \geq 0$

b) Hỏi có tồn tại hay không số thực dương m sao cho với mọi bộ (a,b,c) thỏa mãn điều kiện ban đầu thì a,b,c sẽ là độ dài ba cạnh của tam giác?

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & \\ x+y+z=\frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$

Tìm min của: $P=\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}$

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3} & \end{matrix}\right.$

CMR: $\sum \frac{1}{\sqrt{8^{a}+1}}\geq 1$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{(a+b)(a+b+2c)}{(3a+3b+2c)^2}$

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

Chú ý:   Cách gõ công thức Toán.

              Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\geq 0 & \\ a+b+c=3 & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2b}{4-bc}+\frac{b^2c}{4-ca}+\frac{c^2a}{4-ab} \leq 1$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x(2x^2+3)+3(x-y)=y^3+3xy(x-y) & \\ 2\sqrt{2y+1}+\sqrt{4-x^2}=x+4 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$

Cho tam giác ABC, O là giao điểm cúa các đường trung trực , H là trực tâm. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.