Christian Goldbach

Giải phương trình $x(x+5)=3x^3\sqrt{x^2+5x+2}-4$

Bài toán:  Cho AB là dây cung cố định( nhưng không là dường kình) của đường tròn (O).Điểm P di chuyển trên cung nhỏ AB.Tiếp tuyến tại P cắt cac tiếp tuyên tại A và B lần lượt tại M và N.Gọi MB giao NA tại I.

1)CMR đường thẳng IP luôn đi qua điểm cố định.
2)Gọi BP giao AM tại Q.CMR OQ vuông góc với AN.

Bài toán: Cho $a,b,c,d$là các số thực thỏa mãn$a^2+b^2+c^2+d^2=4$.Chứng minh:

$\sum \frac{a}{b+3}\leq 1$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                           KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

BẮC GIANG

Câu 1.(5,0 điểm) Cho biểu thức $P=\left ( \frac{4a+8}{a-2}+\frac{\sqrt{a+2}-2}{\sqrt{a+2}+2}+\frac{\sqrt{a+2}+2}{2-\sqrt{a+2}} \right ):\frac{3\sqrt{a+2}+a+2}{\sqrt{a+2}+2}$

1)Rút gọn biểu thức $P$

2)Tính giá trị của $P$ khi $a=\sqrt[4]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[4]{17-12\sqrt{2}}$

Câu 2.(4,0 điểm)

1) Giải phương trình: $5x^2+4x+7-4x\sqrt{x^2+x+2}-4\sqrt{3x+1}=0$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+3xy-3(x-y)=0 & & \\ x^4+9y(x^2+y)-5x^2=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3. (4,0 điểm) 

1) Cho phương trình $x^2-5x+m=0 (1)$( với $m$ là tham số).Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

đồng thời $T=(x_1^2+5x_2)^2+46m$ nhỏ nhất.

2) Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $2x^2-xy+7x+2y-y^2-7=0$

Câu 4. (6,0 điểm) 

    Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn $(O)$, $BE,CF$ là các đường cao.Các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$cáit nhau tại $I$,đường thẳng $BC$ cắt $OI$ tại $M$.

1) Chứng minh $\frac{AB}{AE}=\frac{BI}{ME}$.

2) Chứng minh tam giác $ABI$ và tam giác $AEM$ đồng dạng.

3) Gọi $N$ là giao điểm của $AM$ và $EF$,$P$ là giao điểm của $AI$ và $BC$.Chứng minh rằng $NP$ vuông góc với $BC$.

Câu 5.(1,0 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+\frac{\sqrt{c^2+b^2}}{a}+\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{b}\geq 2\left ( \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}} +\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right )$

P/S: Đề năm nay dễ nên nhiều người làm hết.Mình thấy đề này ra không phân loại được học sinh.

Bài toán: Cho $abc=1$.CMR: $\frac{a^5}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^2}{(a+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}\geq \frac{3}{4}$