Cho tam giác ABC nhọn,trực tâm H, trọng tâm G, từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng HG tại Y.
CMR: $\angle YBA=\angle BAC$
Em xem lại đi. Hình như đề bài sai rồi nhé.
05-03-2014 - 21:47
Cho tam giác ABC nhọn,trực tâm H, trọng tâm G, từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng HG tại Y.
CMR: $\angle YBA=\angle BAC$
Em xem lại đi. Hình như đề bài sai rồi nhé.
18-02-2014 - 15:39
Tồn tại hay không số n có dạng $n= p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}} $ . thỏa $p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}} \mid 2^{p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} .... p_{2000}^{a_{n}}} +1 $ trong đó pk là các số nguyên tố, ak bất kì.
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp rằng với mọi $k \in {N}$ tồn tại một số nguyên dương $n$ có đúng $k$ ước nguyên dương phân biệt và thỏa mãm điều kiện $n| 2^{n}+1$
Thật vậy, với $k=1$, hiển nhiên ta có $n=3$ thỏa mãn.
Giả sử với $k$ ta đã chọn được số $n_k=3^{a}.b$, trong đó $b$ có đúng $k-1$ ước nguyên tố.
Với $k+1$, ta sẽ chọn $n_{k+1}=3^{a+1}.b.p=3n_k.p$ với $p$ là số nguyên tố không chia hết $b$.
Ta cần chứng minh tồn tại một số nguyên tố $p$ thỏa mãn
$p$ là ước của $2^{3n_k}+1$ nhưng không là ước của $2^{n_k}+1$.
Hay ta sẽ chứng minh, với $a \in N, a=2^{n_k}$ thì tồn tại số nguyên tố $p$ là ước của $a^{3}+1$ nhưng không là ước của $a+1$.
Thật vậy, $a^{3}+1=(a+1)(a^{2}-a+1$ Gọi $d=(a^{2}-a+1,a+1)\Rightarrow d|3a\Rightarrow d=(3,a+1)$
Ta có $3|a+1$ nên $a^{2}-a+1$ không chia hết cho $9$, chọn $p$ là ước nguyên tố bất kì của
$\frac{a^{2}-a+1}{3}$, ta có điề phải chứng minh.
Vậy ta tìm được $n$ có $k+1$ ước nguyên tố thỏa mãn đề bài.
Vậy bài toán được chứng minh. Với $k=2000$ ta có bài toán trên.
02-02-2014 - 15:30
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $AB,CD$ giao nhau tại $E$, $AD,BC$ giao nhau tại $F$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,AC$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $ME$ cắt trung trực của $MN$ tại $P$. Chứng minh $MF$ vuông góc $MP$.
vg.png 36.34K 73 Số lần tải
Theo bổ đề Gauss ta có $MN$ đi qua trung điểm $R$ của $EF$.
Gọi $G$ là giao điểm của $AC,BD$. $U,V$ là các giao điểm của $AC,BD$ với $EF$.
Khi đó ta có $(UG,AC)=(VG,DB)=-1$ nên
$\overline{GU}.\overline{GN}=\overline{GA}.\overline{GC}=\overline{GB}.\overline{GD}=\overline{GV}.\overline{GM}$
Do đó $MNUV$ nội tiếp. Do đó $\overline{RM}.\overline{RN}=\overline{RP}.\overline{RQ}$
Mặt khác do $(UV,EF)=-1\Rightarrow \overline{RU}.\overline{RV}=RE^{2}$.
Do đó $RE^{2}=\overline{RM}.\overline{RN}$ nên $\Delta REM\sim \Delta RNE$
Suy ra $\widehat{REM}=\widehat{RNE}$ Gọi $I$ là giao $FP$ và $EM$. Khi đó góc $EIF$ vuông nên $\widehat{REM}=\widehat{RNE}=\widehat{EIR}$
Vậy $RENI$ nội tiếp. $\Rightarrow \Delta RME\sim \Delta IMN$
Gọi $T$ là trung điểm của $ME$ và $Q$ là trung điểm của $MN$ thì
$\Rightarrow \Delta RMT\sim \Delta IMQ$
$\Rightarrow \widehat{MIQ}=\widehat{MRT}=\widehat{RMF}$ (vì $RT//FM$)
Mà $MIPQ$ nội tiếp nên $\widehat{MPQ}=\widehat{MIQ}=\widehat{RMF}$
Từ đó kết hợp $PQ \perp MN$ ta có ngay $\widehat{FMP}=90^{\circ}$
Dpcm.
31-01-2014 - 20:44
Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm P bất kì nằm trong tam giác .Vẽ trung trực của AB,AC cắt AP tại E,F. Qua E kẻ đường thẳng song song AB và cắt tiếp tuyến tại Bcủa $(O)$ ở M. Qua F kẻ đường thẳng song song AC cắt tiếp tuyến tại C của $(O)$ ở N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABM và ACN .Gỉa sử MN giao $(ABM)$ tại P,giao $(ACN)$ tại Q.
CMR :PB và CQ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $(O)$
Bài toán phải sửa lại thành $MN$ giao $(ABM)$ tại $Q$ và $(ACN)$ tại $P$ (như hình vẽ)
Ht.png 36.13K 77 Số lần tải
Chứng minh.
Ta nhận thấy rằng, để chứng minh $PB, CQ$ cắt nhau trên $(O)$, ta cần chứng minh hai tam giác
$ABP$ và $ACQ$ đồng dạng.
Ta có $\angle ABM=\angle ABC+\angle MBC=\angle ABC+\angle BAC$
Mà tứ giác $ABMQ$ nội tiếp nên từ trên ta có $\angle AQP=\angle ACB$
Chứng minh tương tự ta có $\angle APQ=\angle ABC$. Do đó $\Delta APQ\sim \Delta ABC$
$\Rightarrow \angle BAP=\angle CAQ$ và $\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$.
Từ đó ta có $\Delta BAP\sim \Delta CAQ$
Suy ra $\angle ABP=\angle ACQ$. Từ đó ta có ngay $BP,CQ$ cắt nhau trên $(O)$.
Bài toán được chứng minh.
=================================================
P/s. Làm xong mới thấy bài này cho giả thiết về $E,F$ không hiểu để làm gì. Chỉ cần $M,N$ trên các tiếp tuyến tại $B,C$ là đủ.
30-01-2014 - 07:48
Kỉ niệm 10 năm sinh nhật diễn đàn và kỉ niệm 1 năm mình tham gia diễn đàn.
Em cám ơn anh Ispectorgadget đã giúp em chuyển định dạng pdf./
mo rong tu 1 bai toan .pdf 463.07K 830 Số lần tải
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học