SOYA264

Cho mp(P):x-2y+2z-10=0 và 2 điểm A(1;2;-1),B(3,0,5).Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho tam giác AMB cận tại M và có diện tích $=2\sqrt{66}$?

 

Gọi $(\alpha )$ là mp trung trực của đoạn AB, $(\alpha )$ qua trung điểm $I(2;1;2)$ và nhận $\overrightarrow{AB}(2;-2;6)$ là VTPT.

 

pt $(\alpha ): x-y+3z-7=0$

 

$\Delta ABC$ cân tại M nên $M\in (\alpha )$, mặt khác $M\in (P)$ nên $M\in d=(\alpha )\cap (P)$. Tọa độ M thỏa hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x-y+3z-7=0 & \\ x-2y+2z-10=0 & \end{matrix}\right.$

 

Cho $z=0$ ta được $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow E(4;-3;0)$

 

$n_{\alpha }=(1;-1;3)$

$n_{P }=(1;-2;2)$

$[n_\alpha ;n_P]=(4;1;-1)$

 

Đt d có pt tham số là : $\left\{\begin{matrix} x=4+4t & & \\ y=-3+t & & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.$

 

$M \in d\Rightarrow M(4+4t;-3+t;-t)$

 

$MI=\frac{2S}{AB}=\frac{2\sqrt{66}}{2\sqrt{11}}=2\sqrt{6}$

 

$\Leftrightarrow (4t+2)^2+(t-4)^2+(t+2)^2=24$

 

$\Leftrightarrow 3t^2+2t=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0 & \\ t=\frac{-2}{3} & \end{bmatrix}$

 

Vậy : $M_1(4;-3;0); M_2(\frac{4}{3};\frac{-11}{3};\frac{2}{3})$

 

Câu 4: Tính tích phân

                           $\int_{4}^{6}\sqrt{\frac{x-4}{(x+2)^3}}dx$

 

 

$ I$= $\int_{4}^{6}\sqrt{\frac{x-4}{(x+2)^3}}dx$

=$\frac{1}{x+2}\sqrt{\frac{x-4}{x+2}}dx$

 

Đặt $t=\sqrt{\frac{x-4}{x+2}}\Rightarrow x=\frac{2t^2+4}{1-t^2}\Rightarrow dx=\frac{12t}{(1-t^2)^2}dt$

 

Ta có: $\frac{1}{x+2}=\frac{1-t^2}{6}$

 

$I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1-t^2}{6}.\frac{12t}{(1-t^2)^2}tdt$

 

$=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{2t^2}{1-t^2}dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-2-\frac{2}{t^2-1})dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-2-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1})dt$

 

=$=(-2x-\ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right |)\oint_{0}^{\frac{1}{2}}=\ln3-1$

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Cách khác: Dùng vecto. 

 

Xét các vecto  $\overrightarrow{a}(x;\frac{1}{x}) ; \overrightarrow{b}(y;\frac{1}{y});\overrightarrow{c}(z;\frac{1}{z})$

 

Ta có BĐT:  $\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |+\left | \overrightarrow{c} \right |\geq \left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}  \right |$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ cùng phương.

 

Áp dụng vào, ta có: 

 

$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$

 

$\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Cho hàm số $y=3x-x^{3}(C)$.Tìm trên đường thẳng $(d):y=-x$ các điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị $(C)$.

Gọi $A(a;-a) \in d$. $\Delta$ Là đường thẳng bất kì quá $A$ có hệ số góc $k$. Pt $\Delta$ có dạng:  $y=k(x-a)-a$.

 

Để $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) thì :

 

$\left\{\begin{matrix} k=y'=-6x+3 & \\ k(x-a)-a=3x-3x^2 & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow (-6x+3)(x-a)-a=3x-3x^2$

 

$\Leftrightarrow 3x^2-6ax+4a=0 (2)$

 

Để từ $A$ kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (C) thì pt (2) phải có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó: 

 

$\Delta '=9a^2-12a>0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a<0 & \\ a> \frac{4}{3} & \end{bmatrix}$

 

Vậy các điểm $A$ cần tìm trên $d$ thỏa mãn $a<0 $ hoặc $a> \frac{4}{3}$

                 Câu 1(4 điểm)

          Giải hệ phương trình

                                 $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$             

 

 

Vậy $S=\left \{ (0;-1);\left ( \frac{8}{3};-\frac{11}{3} \right ) \right \}$

 

Nghiệm này thế vào pt(1) không đúng bạn ơi!

 

Mình làm thế này:

 

$(1)\Leftrightarrow 2x^2-4x+2+2(x-1)\sqrt{x^2-2x+2}=-x^2+4x+2+2(y+2)\sqrt{y^2+4y+5}$

 

 

$(2)\Leftrightarrow -x^2+4x+2=2y^2+8y+8$

 

Do đó, ta có: 

 

$(x-1)^2+(x-1)\sqrt{(x-1)^2+1}=(y+2)^2+(y+2)\sqrt{(y+2)^2+1}$

 

Xét hàm:

 

 

$f(t)=t^2+t\sqrt{t^2+1}$ trên R

 

 

$f'(t)=2t+\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}\geq 2t+2\left | t \right |\geq 0$

 

 

$\Rightarrow f(t) $đồng biến trên R

 

 

$f(x-1)=f(y+2)$ $\Leftrightarrow x-1=y+2\Leftrightarrow y=x-3$. Thay vào (2) , ta có: $3x^2-8x=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=0 \Rightarrow y=-3& \\ x=\frac{8}{3}\Rightarrow y=\frac{-1}{3} & \end{bmatrix}$

 

Vậy hệ có 2 nghiệm $(x;y)$ là : $(0;-3)(\frac{8}{3};\frac{-1}{3})$