SOYA264

 

Câu 4: Tính tích phân

                           $\int_{4}^{6}\sqrt{\frac{x-4}{(x+2)^3}}dx$

 

$ I$= $\int_{4}^{6}\sqrt{\frac{x-4}{(x+2)^3}}dx$

=$\frac{1}{x+2}\sqrt{\frac{x-4}{x+2}}dx$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x-4}{x+2}}\Rightarrow x=\frac{2t^2+4}{1-t^2}\Rightarrow dx=\frac{12t}{(1-t^2)^2}dt$

Ta có: $\frac{1}{x+2}=\frac{1-t^2}{6}$

$I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1-t^2}{6}.\frac{12t}{(1-t^2)^2}tdt$

$=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{2t^2}{1-t^2}dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-2-\frac{2}{t^2-1})dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-2-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1})dt$

=$=(-2x-\ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right |)\oint_{0}^{\frac{1}{2}}=\ln3-1$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(9;4). Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt hai tia Ox, Oy tại A,B sao cho:

a) $\Delta ABC$ có diện tích nhỏ nhất

b) $OA+OB$ nhỏ nhất

Cho hàm số $y=3x-x^{3}(C)$.Tìm trên đường thẳng $(d):y=-x$ các điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị $(C)$.

Gọi $A(a;-a) \in d$. $\Delta$ Là đường thẳng bất kì quá $A$ có hệ số góc $k$. Pt $\Delta$ có dạng:  $y=k(x-a)-a$.

Để $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) thì :

$\left\{\begin{matrix} k=y'=-6x+3 & \\ k(x-a)-a=3x-3x^2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (-6x+3)(x-a)-a=3x-3x^2$

$\Leftrightarrow 3x^2-6ax+4a=0 (2)$

Để từ $A$ kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (C) thì pt (2) phải có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó: 

$\Delta '=9a^2-12a>0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a<0 & \\ a> \frac{4}{3} & \end{bmatrix}$

Vậy các điểm $A$ cần tìm trên $d$ thỏa mãn $a<0 $ hoặc $a> \frac{4}{3}$

1/Cho dãy số $(x_n)$ thỏa: $x_1=1$;$x_{n+1}=\frac{x_n}{2+\sqrt{3+x_n^2}}$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm $x_n$.

2/Tìm số hạng tổng quát $U_n$ của dãy số $(U_n)$ thỏa mãn điều kiện sau:

$\left\{\begin{matrix} U_1=a,U_2=b,a\in R^+, b\in R^+ & \\ U_{n+2}=(U_n^2.U_{n+1})^\frac{1}{3} ,\forall n \in N^*& \end{matrix}\right.$

@ Supermember:

Bài 1 : Sử dụng dãy số phụ $ y_n = \frac{1}{ x_n }$

Bài 2: Sử dụng dãy số phụ : $ y_n = \ln u_n$

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{3}$

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3 & \\ x^2y-x+2=0 & \end{matrix}\right.$

                 Câu 1(4 điểm)

          Giải hệ phương trình

                                 $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$             

 

Vậy $S=\left \{ (0;-1);\left ( \frac{8}{3};-\frac{11}{3} \right ) \right \}$

Nghiệm này thế vào pt(1) không đúng bạn ơi!

Mình làm thế này:

$(1)\Leftrightarrow 2x^2-4x+2+2(x-1)\sqrt{x^2-2x+2}=-x^2+4x+2+2(y+2)\sqrt{y^2+4y+5}$

$(2)\Leftrightarrow -x^2+4x+2=2y^2+8y+8$

Do đó, ta có: 

$(x-1)^2+(x-1)\sqrt{(x-1)^2+1}=(y+2)^2+(y+2)\sqrt{(y+2)^2+1}$

Xét hàm:

$f(t)=t^2+t\sqrt{t^2+1}$ trên R

$f'(t)=2t+\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}\geq 2t+2\left | t \right |\geq 0$

$\Rightarrow f(t) $đồng biến trên R

$f(x-1)=f(y+2)$ $\Leftrightarrow x-1=y+2\Leftrightarrow y=x-3$. Thay vào (2) , ta có: $3x^2-8x=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=0 \Rightarrow y=-3& \\ x=\frac{8}{3}\Rightarrow y=\frac{-1}{3} & \end{bmatrix}$

Vậy hệ có 2 nghiệm $(x;y)$ là : $(0;-3)(\frac{8}{3};\frac{-1}{3})$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{xy^2}{\left(x^2+3y^2\right)\left(x+\sqrt{x^2+12y^2}\right)}$$

ĐK: $x,y\neq 0$.  Chia tử và mẫu của P cho $y^3$ . Đặt $\frac{x}{y}=t\neq 0$ ta được:

$P=\frac{t}{12(t^3+3)(\sqrt{t^2+12}+t)}$

  $P=\frac{12.t(\sqrt{t^2+12}-1)}{t^2+3}$

Xét hàm $f(t)=\frac{t(\sqrt{t^2+12}-1)}{t^2+3}$ 

$f'(t)=\frac{6(6-t^2-t\sqrt{t^2+12})}{(x^2+3)^2}$

Ta có:  $f'(t)=0\Leftrightarrow 6-t^2-t\sqrt{t^2+12}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Tính tiếp đạo hàm bậc 2, thay vào ta có: $f''(\sqrt{\frac{3}{2}})< 0$ nên $x=\frac{3}{2}$ là điểm cực đại của hàm số.

$\lim_{-\infty }\frac{t(\sqrt{t^2+12}-t)}{t^2+3}=-2$

$\lim_{+\infty }\frac{t(\sqrt{t^2+12}-t)}{t^2+3}=0$

$maxP=\frac{1}{18}$ khi $\sqrt{2}x=\sqrt{3}y$

Tìm $m$ để đồ thị $y=-2x^3+6x^2+1$ cắt đồ thị $y=mx+1$ tại ba điểm phân biệt $A(0;\,1),\,B,\,C$ sao cho $B$ là trung điểm của $AC.$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với đt $y=mx+1$ là:

$-2x^3+6x^2+1=mx+1$

$\Leftrightarrow -x(2x^2-6x+m)=0$

Đồ thị cắt đt $y=mx+1$ tại 3 điểm phân biệt khi pt $2x^2-6x+m=0$ có hai nghiệm phân  biệt khác 0. Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} \Delta' = 9-2m> 0& \\ m\neq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0\neq m< \frac{9}{2}$

$x_1=3-\sqrt{9-2m};x_2=3+\sqrt{9-2m}$ 

Ta có: $B(x_1;y_1)$ $C(x_2;y_2)$. Vì B là trung điểm của AC nên:

$\left\{\begin{matrix} 2x_1=0+x_2 & \\ 2y_1=1+y_2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(3-\sqrt{9-2m}) =3+\sqrt{9-2m}& \\ 2[m(3-\sqrt{9-2m})+1] =1+m(3+\sqrt{9-2m})+1& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \sqrt{9-2m}=1(m\neq 0)\Leftrightarrow m=4$

Vậy giá trị m cần tìm là m=4

Tìm $m$ để đồ thị $y=2x^3-3x^2-1$ cắt đồ thị $y=mx-1$ tại ba điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.

TXĐ : D=R

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đt $y=mx-1$ là :

$2x^3-3x^2-1=mx-1$

$\Leftrightarrow x(2x^2-3x-m)=0$

Để thỏa mãn ĐK: 3 điểm chung có hai điểm có hoành độ dương thì pt: $2x^2-3x-m=0$ có hai nghiệm dương  phân biệt 

Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & & \\ S> 0 & & \\ P> 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9+8m> 0 & & \\ \frac{-m}{2}> 0 & & \\ \frac{3}{2}> 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{-9}{8}< m< 0$

Vậy m cần tìm là: $\frac{-9}{8}< m< 0$

Tìm $m$ để đồ thị $y=x^3+2mx^2+\left(m+3\right)x+4$ cắt đồ thị $y=x+4$ tại ba điểm $A(0;\,4),\,B,\,C$ sao cho $K(1;\,3)$ và $B;\,C$ tạo thành tam giác có diện tích $S_{\Delta\,\text{BKC}}=8\sqrt{2}.$

TXĐ: D=R 

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đt $d: y=x+4$ là:

$x^3+2mx^2+\left(m+3\right)x+4=x+4$

$\Leftrightarrow x(x^2+2mx+m+2)=0$

Để (C) có chung với d 3 điểm  $A(0;4),B, C$  thì phương trình $x^2+2mx+m+2=0 (1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ khác 0

$\left\{\begin{matrix} \Delta '=m^2-(m+2)> 0 & \\ m+2\neq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m> 2 & \\ m< -1,m\neq -2 & \end{bmatrix}$ (*)

Theo vi-et ta có: $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2m & \\ x_1x_2=m+2 & \end{matrix}\right.$

$B(x_1;y_1) C(x_2;y_2)$

Ta có:  $BC^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=2(x_2-x_1)^2$

                     $=2[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=2[4m^2-4(m+2)]=8(m^2-m-2)$

$\Rightarrow BC=2\sqrt{2}.\sqrt{m^2-m-2}$

$d_{(K;d)}=\frac{\left | 1-3+4 \right |}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

Ta có:  $S_{\Delta KBC}=\frac{1}{2}.BC.d_{(K,d)}$

$\Leftrightarrow 8\sqrt{2}=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\sqrt{m^2-m-2}.\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow m^2-m-2=32\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{137}}{2}$  (thỏa ĐK(*))

Vậy giá trị m cần tìm là $ m=\frac{1\pm \sqrt{137}}{2}$

Viết phương trình tiếp tuyến với $(C):y=\dfrac{3-x}{x+2}$ biết tiếp cách đều $A(-1;\,-2),\,B(1;\,0)$

Phương trình tiếp tuyến d  tại điểm có hoành độ $x_0$ $x_0\neq -2$ là :

$y=\frac{-5}{(x_0+2)^2}(x-x_0)+\frac{3-x_0}{x_0+2}$

Vì tiếp tuyến cách đều hai điểm A,B nên có 2 TH xảy ra:

+) Tiếp tuyến là trung trực của AB, khi đó d qua trung điểm $I(0;-1)$ của AB. Ta có:

$-1=\frac{-5}{(x_0+2)^2}(0-x_0)+\frac{3-x_0}{x_0+2}\Leftrightarrow x_0=-3$

Khi đó: $d: y=-5x+9$

+) Tiếp tuyến song song hoặc đi qua A,B. Khi đó: hệ số góc $k$ của $d$ là :

$k=\frac{1-(-1)}{0-(-2)}=1\Leftrightarrow \frac{-5}{(x_0+2)^2}=1$ (ptvn)

Vậy chỉ có 1 đt thỏa ycbt là : $y=-5x+9$

Viết phương trình tiếp tuyến với $(C):y=\dfrac{2x+2}{x-1}$ biết tiếp tuyến tạo với $Ox,\,Oy$ một tam giác vuông cân.

TXĐ : D=R\{1}

Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm $(x_0;y_0)$ là;

$y=\frac{-4}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0+2}{x_0-1}$

Hay: $y=\frac{-4}{(x_0-1)^2}x+\frac{2(x_0^2+2x_0-1)}{(x_0-1)^2}$

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đt $d$ với $Oy$ và $Ox$. Ta có: $A(0;\frac{2(x_0^2+2x_0-1)}{(x_0-1)^2});B(\frac{2(x_0^2+2x_0-1)}{2};0)$

Để $OAB$ là tam giác vuông cân thì:

$OA=OB\Leftrightarrow \left | \frac{2(x_0+2x_0-1)}{(x_0-1)^2} \right |=\left | \frac{x_0^2+2x_0-1}{2} \right |$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0^2+2x_0-1=0 & \\ (x_0-1)^2=4 & \end{bmatrix}$

Tới đây dễ rồi

 

4) $15x^2+2(x+1)\sqrt{x+2}=2-5x$

ĐK:..

$pt\Leftrightarrow 16x^2+8x+1=(x+1)^2-2(x+1)\sqrt{x+2}+(x+2)$

$\Leftrightarrow (4x+1)^2=(x+1-\sqrt{x+2})^2$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3x=-\sqrt{x+2} & \\ 5x+2=\sqrt{x+2} & \end{bmatrix}$

$b,\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1& \end{matrix}\right.$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

 

 hệ pt : $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}=3^{y-1} & \\ y-1+\sqrt{(y-1)^2+1}=3^{x-1} & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=x-1; v=y-1$ hệ trở thành :

$\left\{\begin{matrix} u+\sqrt{u^2+1}=3^v & \\ v+\sqrt{v^2+1}=3^u & \end{matrix}\right.$

Xét hàm $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ trên R 

$f'(t)=1+ \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}> 0,\forall t \in R$

Hàm $f(t)$ liên tục đồng biến trên R. 

Giả sử $u> v\Rightarrow f(u)> f(v)\Rightarrow 3^v> 3^u\Rightarrow v> u$ (vô lí)

Tượng tự $v>u$ cũng dần đến vô lí.

Như vậy, chỉ có thể $u=v$ . Khi đó : $u+\sqrt{u^2+1}=3^u\Leftrightarrow 3^u(\sqrt{u^2+1}-1)=1$

Lại xét hàm : $g(u)= 3^u(\sqrt{u^2+1}-u)$ trên R

$g'(u)= 3^u.\ln3(\sqrt{u^2+1}-u)+3^u(\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}-1)$

$=3^u(\sqrt{u^2+1}-u)(\ln3-\frac{1}{\sqrt{u^2+1}})> 0,\forall u\in R$

Hàm $g(u)$ liên tục đồng biến trên R

Lại có: $g(0)=1$ nên $u=0$ là nghiệm duy nhất.

Khi đó $x=y=1$ Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm $(x;y)=(1;1)$

 

$c,\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2  - 2x + 9}}}} = x^2  + y \\ y + \frac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2  - 2y + 9}}}} = y^2  + x \\ \end{array} \right.$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé 

Ta có : $\sqrt[3]{x^2-2x+9}=\sqrt[3]{(x-1)^2+8}\geq \sqrt[3]{8}=2$

$\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}\leq \frac{2xy}{2}=xy$

Tương tự : $\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}\leq \frac{2xy}{2}=xy$

Cộng  vế theo vế 2 pt, ta được : 

$\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=x^2+y^2\geq xy+xy=2xy$

Dấu $ "="$ xảy ra khi $x=y=1$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$