jaydison

1) cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}$

2) giả sử x,y là 2 số dương thay đổi thoả mãn điều kiện $x+y=54$. tìm GTNN của biểu thức $S=4x+14y$

3) cho x,y,z thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. tìm GTLN, GTNN của $R=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xy$

4) cho x,y z thuộc khoảng (0,1) và thoả mãn$ xyz=(x-1)(y-1)(z-1)$. tìm GTNN của biểu thức$ N=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

5)cho x,y,z>0 và$x+y+z\leq \frac{3}{2}$ . tìm GTNN của $M=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
6)cho x,y khác 0. tìm GTNN của biểu thức $T=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

 

@MOD : Học cách đặt tiêu đề đúng quy định tại đây

Ta có $cos^2 2x-2cos(x+\frac{3\pi }{4})sin(3x-\frac{\pi }{4})=2$
$\Leftrightarrow cos^2 2x-2(cosxcos\frac{3\pi }{4}-sinxsin\frac{3\pi }{4}) (sin3xcos\frac{\pi }{4}-cos3xsin\frac{\pi }{4})=2$
$\Leftrightarrow cos^2 2x+(cosx+sinx)(sin3x-cos3x)=2$
$\Leftrightarrow cos^2 2x+(sin2x+1)(2sin2x-1)=2$
$\Leftrightarrow sin^2 2x+sin2x-2=0$
$\Leftrightarrow sin2x=1=sin\frac{\pi }{2}(n)$ hoặc $sin2x=-2(l)$
Vậy $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $
hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi $

Ta có $\frac{1}{2}\sqrt{16\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )}=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 9+7 \right )\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )}\geq \frac{1}{2}\left | 3+\frac{7}{x} \right |\geq \frac{3}{2}+\frac{7}{2x}$
Do đó
$y\geq x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq \frac{15}{2}$

Bài này bạn sử dụng 2 bđt là B.C.S và AM-GM nhưng chưa đưa nêu đẳng thức xảy ra khi nào.
Bài này 2 bđt của bạn đẳng thức xảy ra đều là x=3 . Nếu đẳng thức xảy ra không trùng nhau thì bạn sẽ làm thế nào?
PS: có tí góp ý cho bạn là những bài toán bđt và cực trị thì điều kiện đẳng thức xảy ra chiếm 1 nửa số điểm đấy

Cho $a\geq b\geq 0$
Chứng minh $\frac{(a-b)^2}{8a}\leq \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8b}$

Cho $\left\{\begin{matrix}
x,y> 0 \\
y(y^{2}+1)+x(x^{2}-1)=0
\end{matrix}\right.$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}< 1$

Cho $a,b,c> 0$ và $a= b+c$.
Chứng minh $\sqrt[3]{a^{2}}< \sqrt[3]{b^{2}}+\sqrt[3]{c^{2}}$.