ranna

Theo hệ thức Vi-et có: $x_1+x_2=-2m; x_1.x_2=4$

Ta có: $x_1^4+x_2^4=[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2]^2-2(x_1.x_2)^2=(4m^2-8)^2-32\leq 32 \leftrightarrow (4m^2-8)^2\leqslant 64 \leftrightarrow -8\leqslant 4m^2-8\leqslant 8 \leftrightarrow -2\leqslant m\leqslant 2$

$x+y+z=0$ $\Rightarrow -x=y+z \Rightarrow -x^5=(y+z)^5 \Rightarrow y^5+5y^4z+10y^3z^2+10y^2z^3+5yz^4+z^5=-x^5 \Rightarrow (x^5+y^5+z^5)+5xyz(y^3+z^3+2z^2y+2y^2z)=0 \Rightarrow (x^5+y^5+z^5)+5yz(y+z)(y^2+yz+z^2)=0 \Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)-5xyz((y+z)^2+y^2+z^2)=0 \Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^)$

Vậy bạn có thể viết t/c đó ra được không?

------------------------------------------------------------

Cách này của mình chắc ngắn hơn 

 

Ta có (*) $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2xy= 2x^{2}y^{2}+2xy \Leftrightarrow (x+y)^2=2xy(xy+1)$ (1)

 

Có $x; y \in Z$ nên $(x+y)^2$ là scp và $xy;xy+1$ là 2 số nguyên liên tiếp, vì vậy từ (1) $\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy+1=0$

 

Xét từng T.h ra để tìm x; y. (bước này chắc bạn tự làm được )

Tớ nghĩ là không suy ra được như vậy

Nếu ${(x+y)^2}=xy(xy+1)$ thì suy ra như vậy mới đúng

Đặt ${x^2}=a$; ${y^2}=b$ (a;b là số nguyên không âm)

PT trở thành:

$a+b=2ab$

$\Leftrightarrow a-2ab=-b \Leftrightarrow a(1-2b)=-b \Leftrightarrow a=\frac{-b}{1-2b}=\frac{b}{2b-1}\epsilon  \mathbb{N}$

$\Rightarrow \frac{2b}{2b-1}=1+\frac{1}{2b-1}\epsilon \mathbb{N} \Rightarrow 2b-1 \epsilon {1;-1}$

Suy ra b=1 hoặc b=0

Suy ra y=1 hoặc y=-1 hoặc y=0

Thay vào tìm x