chetdi

ô tô có vận tốc biến đổi với gia tốc biến đổi có đồ thị là: a=$\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}$

hỏi vận tốc ban đầu của ô tô và vận tốc tại cột mốc x0y

với a là gia tốc

t là thời gian

năm nay KHTN lấy bao nhiêu lớp, bao nhiêu điểm vào lớp 1(chuyên toán)

 

Em chỉ biết cách không dùng SOS thôi, anh coi xem sao
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$
Vậy ta sẽ chứng minh một bất đẳng thức "chặt hơn"
$\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2} \geq \frac{2}{(x+z)(y+z)} + \frac{1}{4xy} \geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
* C/m : $\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2} \geq \frac{2}{(x+z)(y+z)} + \frac{1}{4xy}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} - \frac{2}{(x+z)(y+z)} \geq \frac{1}{4xy}-\frac{1}{(x+y)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2}{(x+z)^2(y+z)^2} \geq \frac{(x-y)^2}{4xy(x+y)^2}$ ~ Bđt này chuẩn men.
* C/m $\frac{2}{(x+z)(y+z)} + \frac{1}{4xy} \geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)[\frac{2}{(x+z)(y+z)} + \frac{1}{4xy}] \geq \frac{9}{4}$
Mặt khác ta cũng có
$\frac{xy+yz+xz}{4xy} = \frac{1}{4} + \frac{z(x+y)}{4xy}$
$\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+z)(y+z)} = 2-\frac{2z^2}{(x+z)(y+z)}$
Vậy bđt cần chứng minh
$\Leftrightarrow \frac{z(x+y)}{4xy} \geq \frac{2z^2}{(x+z)(y+z)}$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z) \geq 8xyz$, bất đẳng thức này cũng chuẩn men theo $AM-GM$
Vậy ta có $Q.E.D$

 

chỗ đấy sai rồi

Đây là BĐT Iran 1996 rất nổi tiếng bạn ạ. Bạn có thể tìm chứng minh (hơn chục cách) cho bài toán này ở trên mạng hoặc trong rất nhiều sách BĐT (vì nó quá nổi tiếng và có nhiều ứng dụng)

bạn chỉ cho mình 1 cách đi

Bác Juliel để em làm bài 2 nhé
Cách của em hơi trâu bò 1 tẹo
BĐT đã cho tương đương với $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(y^2+yz+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(z^2+zx+x^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)\leq (\frac{x^2+xy+y^2+xy+yz+zx}{2})^2=\frac{(x+y)^2(x+y+z)^2}{4}$
Suy ra $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)}{(x+y)^2(x+y+z)^2}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
BĐT này chính là BĐT Iran 1996
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

chỗ đó có đẳng thức xảy ra khi x=y=z chứ

Bác Juliel để em làm bài 2 nhé
Cách của em hơi trâu bò 1 tẹo
BĐT đã cho tương đương với $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(y^2+yz+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(z^2+zx+x^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)\leq (\frac{x^2+xy+y^2+xy+yz+zx}{2})^2=\frac{(x+y)^2(x+y+z)^2}{4}$
Suy ra $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)}{(x+y)^2(x+y+z)^2}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
BĐT này chính là BĐT Iran 1996
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

bạn chứng minh chỗ đó như thế nào