Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cơ học lượng tử cơ bản

08-11-2019 - 17:37

 

Cơ học lượng tử

 

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.


Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

Hôm nay mình trình bày kĩ hơn định lý giao hoán tử (commutator theorem) và hệ quả của nó là nguyên lí bất định Heisenberg. Như hôm qua đã phát biểu qua, nguyên lí bất định nói rằng ta không thể đo chính xác cả vị trí lẫn xung lượng. Khi quan sát một hệ thì ta phải tác dụng vào hệ ít nhất một photon, do đó gây nên nhiễu loạn. Đối với hệ vĩ mô thì tác động là không đáng kể nhưng điều này có vai trò quan trọng với hệ vi mô. Chẳng hạn để xác định vị trí của một electron ta phải chiếu vào đó một photon: để có thể xác định vị trí electron ta phải dùng photon có bước sóng ngắn. Photon va vào electron gây nhiễu loạn, vì vậy nếu ta đo cả xung lượng thì phép đo sẽ kém chính xác: đo vị trí càng chính xác thì đo xung lượng càng kém chính xác. 

 

Nguyên lý bất định đã phát tín hiệu về sự cáo chung cho giấc mơ của Laplace về một lý thuyết khoa học, một mô hình của vũ trụ hoàn toàn có tính chất bất định: nếu như người ta không thể dù chỉ là đo trạng thái hiện thời của vũ trụ một cách chính xác thì người ta chắc chắn không thể tiên đoán những sự kiện tương lai một cách chính xác! 

 

Vẫn để cho đơn giản, ta xét một hạt chuyển động một chiều trên trục thực $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ không phụ thuộc thời gian. Một trạng thái của hệ gồm một hạt này là một không gian một chiều của không gian Hilbert các hàm giá trị phức $(\mathbb{R} \to \mathbb{C})$ $L^2(\mathbb{R})$ (như phát biểu trong tiên đề). Với mỗi trạng thái $\psi$ ta yêu cầu:

$$\left \| \psi \right \| = \int_{\mathbb{R}} \left | \psi \right |^2=1$$

Kỳ vọng, variance và standard deviation của trạng thái $\psi$

$$\left\{\begin{matrix} \mu_{\psi} = \int_{\mathbb{R}}q \left | \psi(q) \right|^2 dq \\ \text{var}\psi = \int_{\mathbb{R}}(q-\mu_{\psi})^2\left | \psi(q) \right|^2 dq  \\ \text{sd}_{\psi} = \sqrt{\text{var}\psi} \end{matrix}\right.$$

Thậm chí với mỗi trạng thái $\psi$ còn cảm sinh một "tích vô hướng":

$$\mu_{\psi}(G) = \left \langle  G\psi, \psi \right \rangle = \int_{\mathbb{R}}(G\psi)(q)\overline{\psi(q)}dq$$

và như vậy $\text{var}_{\psi}(G) = \left \langle  (G - \mu I)^2\psi,\psi \right \rangle$ và $\text{sd}_{\psi}(G) = \sqrt{\text{var}_{\psi}(G)}$. 

 

Một trạng thái $T$ gọi là observable nếu tồn tại không gian con $D(T) \subset L^2(\mathbb{R})$ trù mật trong $L^2$ mà $T:D(T) \to L^2(\mathbb{R})$ là một toán tử tuyến tính tự liên hợp. Trong số các toán tử ta quan tâm ở đây có toán tử động lượng:

$$G: D(G) \to L^2(\mathbb{R})$$

$$\psi \mapsto -i\hbar \frac{d\psi}{dq}$$

trong đó $D(G)$ là tập tất cả các hàm $\phi$ thuộc $L^2(\mathbb{R})$ mà liên tục tuyệt đối trên mọi tập compact của $\mathbb{R}$ đồng thời $G\phi \in L^2(\mathbb{R})$. Motivation cho định nghĩa này khá lằng nhằng nên mình sẽ bỏ qua, dẫu sao nó không thực sự quá quan trọng. 

 

Với hai toán tử tự liên hợp $S,T$ trong không gian trên cùng một không gian Hilbert phức ta định nghĩa được giao hoán tử $[S,T]=ST - TS$ xác định trên miền $D(ST) \cap D(TS)$. Định nghĩa toán tử $Q\psi(q) = q\psi(q)$ thì bằng biến đổi đơn giản ta có quan hệ Heisenberg:

$$[D,Q] = -i\hbar I$$

 

Định lý: (định lý giao hoán tử) Với hai toán tử $S,T$ tự liên hợp vói domain và range là không gian con của $L^2(\mathbb{R})$ thì ta luôn có:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right | \leq 2\text{sd}_{\psi}(S)\text{sd}_{\psi}(T)$$

Chứng minh:

Đặt $A = S - \mu_{\psi}(S)I, B= T-\mu_{\psi}T$ khi đó dễ thấy $[S,T]=[A,B]$ và $A,B$ cũng là các toán tử tự liên hợp:

$$\mu_{\psi}([S,T]) = \left \langle [A,B]\psi, \psi \right \rangle = \left \langle AB\psi,\psi \right \rangle - \left \langle BA\psi ,\psi \right \rangle =  \left \langle B\psi,A\psi  \right \rangle - \left \langle A\psi,B\psi \right \rangle$$

Như vậy theo bất đẳng thức Schwarz:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right| \leq 2\left \| A\psi \right \|\left \| B\psi \right \|=2\text{sd}_{\psi}(T)\text{sd}_{\psi}(S)$$

 

Hệ quả: (nguyên lý bất định Heisenberg) Trong định lý giao hoán tử nếu $S = G, T = Q$ ta có:

$$\text{sd}_{\psi}(G)\text{sd}_{\psi}(Q) \geq \frac{\hbar}{2\pi}$$

Trường hơp tổng quát và các dạng phát biểu khác có thể tham khảo ngay trên Wiki.( :D đành vậy)

 

Phát biểu chặt chẽ ba tiên đề của một hệ cơ học lượng tử:

 

Tiên đề $1$: (Trạng thái) Trạng thái của một hệ cơ học lượng tử được cho bởi một vector khác không $\psi$ trong một không gian Hilbert phức $\mathfrak{H}$ được trạng bị một tích Hermite.

 

Tiên đề $2$: (Quan sát được) Các trạng thái quan sát được của một hệ cơ học lượng tử là các toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert $\mathfrak{H}$ của nó. 

 

Tiên đề $3$: (Động lực) Có một distinguished observable, Hamiltonian $H$ sao cho tiến hóa thời gian (time evolution) của hệ $\mid \psi(t) > \in \mathfrak{H}$ cho bởi phương trình Schrodinger:

$$i\hbar\frac{d}{dt} \mid \psi(t) > = H  \mid \psi(t)>$$


Trong chủ đề: Tại sao nhiều bài toán BĐT thế ?

05-08-2019 - 22:54

Mấy bạn phản bác chuyện làm bất đẳng thức là do chưa thấy được ứng dụng của nó vào thực tế, chứ nếu mình cho vài thí dụ thấy rồi thì lại đâm mê

Cố học cho giỏi rồi tìm được nhiều ứng dụng rồi hãy phát biểu câu này.


Trong chủ đề: Bài tập về Commutative Noetherian Rings

27-06-2019 - 19:24

Cảm ơn rất nhiều !!!. Tiện có thể xem giùm bài này:

Let R be the polynomial ring $K\left \lfloor X_{1},..., X_{n} \right \rfloor$  over the field K in the indeterminates $X_{1},..., X_{n}$, and let $\alpha _{1},..., \alpha _{n}\epsilon K$. Let $r\epsilon \mathbb{N}$with $1\leq r\leq n$. Show that, for all choices of$t_{1},..., t_{r}\epsilon \mathbb{N}$, the ideal $\left ( \left ( X_{1}-\alpha _{1} \right )^{t_{1}},...,( \left ( X_{r}-\alpha _{r} \right )^{t_{r}} \right )$ of R is primary.

Bài này dùng trực tiếp định nghĩa thôi.


Trong chủ đề: Bài tập về Commutative Noetherian Rings

26-06-2019 - 00:05

Let Q be a P - primary ideal of the commutative Noetherian ring R. Show that there exists $n\epsilon \mathbb{N}$such that  $P^{(n)}\subseteq Q$

Trong vành Noether thì mọi ideal $\mathfrak{q}$ đều chứa một lũy thừa căn của chính nó. Thật vậy gọi $x_1, ... , x_n$ là một hệ sinh hữu hạn của $\sqrt{\mathfrak{q}}$ (có điều này do vành Noether) và $x_i^{n_i} \in \mathfrak{q}$, lấy $n = 1 + \sum (n_i - 1) $. Khi đó $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n$ sinh bởi các phần tử có dạng $\prod x_i^{r_i}, \sum r_i = n$; từ định nghĩa của $n$ có ít nhất một số $r_i \geq n_i$ nên $\prod x_i^{r_i} \in \mathfrak{q}$. Như vậy $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n \subset \mathfrak{q}$. Trường hợp $\mathfrak{q}$ là $\mathfrak{p}$ - nguyên sơ là trường hợp đặc biệt do $\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{p}$. 


Trong chủ đề: Hư Trúc Truyền Kì

28-05-2019 - 19:17

 

Kết : Sự nghiệp toán học của June Huh khiến cho người viết có cảm hứng dựa trên motip của Hư Trúc trong Thiên Long Bát Bộ… Nhiều người cứ nghĩ là muốn trở thành nhà toán học giỏi thì cần phải qua trường chuyên, lớp chọn, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, thi đại học thủ khoa hay học trường top đầu đúng chuyên ngành thì nhìn vào June Huh như một minh chứng bạn sẽ thấy điều đó không đúng… Thành công nhất thiết đến từ đam mê và nếu may mắn gặp được chân sư chỉ điểm thì còn gì bằng…
 
Ps : Trong quá trình viết bài này thì chợt thấy trên báo Tia Sáng cũng có bài đề cập tới June Huh, và  tình cờ nhận ra người viết bài là đồng môn trong giới lâu năm chưa gặp. Chúc bạn sức khỏe dồi dào, luôn vui vẻ sống với đam mê của mình.
 
Tham Khảo
1. June Huh trên tia sáng http://tiasang.com.v...c-no-muon-10817
2. Lời giải giả thuyết Read https://arxiv.org/abs/1104.2519
3. Tiểu sủ June Hud https://fr.wikipedia.org/wiki/June_Huh
4. Tiểu sử Heisuke Hironakahttps://fr.wikipedia...eisuke_Hironaka

 

Toán học có dòng chính, gặp thầy khủng và bản thân có khả năng tiềm tàng thì không còn gì bằng.

 

Có một ví dụ khác không đến mức như June Huh, đó là Wieslawa Niziol, giảm đốc nghiên cứu ở CNRS tại ENS de Lyon. Bà này lúc đầu làm khoa học máy tính, nhưng "có vẻ" sau khi gặp Falting thì chuyển hẳn sang làm Toán và lấy Phd ở Princeton. Bà này năm $2006$ là invited speaker ở ICM Madrid về "đối đồng điều động lực p-adic trong số học". (dịch vậy không chuẩn lắm nhưng tạm vậy)