Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 19:12
****-

#672622 Cho P(x) là đa thức có bậc không vượt quá n

Gửi bởi bangbang1412 trong 24-02-2017 - 19:50

 

Cho P(x) là đa thức có bậc không vượt quá n chứng minh:

$\sum_{i=0}^{n+1}P(i).(-1)^{i}.C_{n+1}^{i}\textrm{}=0$

 

Sai chô chỉ số nhé , phải là từ $0 \to n$ , áp dụng nội suy Lagrange cho các điểm $x_{k}=k$ ta có:

$$P(x)=\sum_{k=0}^{n-1}P(k) \frac{(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n-1})}{(x_{k}-x_{0})...(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x-x_{n-1})}$$

$$P(n) = \sum_{k=0}^{n-1}P(k)\frac{(n-0)..(n-k+1)(n-k-1)...1}{k!.(-1)^{n-k-1}(n-k-1)!}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}C_{n}^{k}P(k)$$

$$=> \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k-1}C_{n}^{k}P(k)=(-1)^{n-1} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}P(k)=0$$




#672161 Vùng đất hỗn độn của những con số : bí mật của liên phân số

Gửi bởi bangbang1412 trong 20-02-2017 - 01:32

Cách nhìn khác về các con số

Hiện nay có rất nhiều cách để viết một con số . Chúng ta có thể sử dụng các hệ cơ số khác nhau , phân số , số thập phân , logarit , lũy thừa hoặc chỉ miêu tả bằng lời nói . Mỗi cách sẽ thuận tiện cho từng trường hợp và phục vụ cho một mục đích của mỗi người , thông thường họ sẽ quen với cách mà họ được học ở trường . Nhưng đáng ngạc nhiên , một cách viết số nổi bật và mạnh mẽ nhất lại hầu như không được dạy ở các trường học và hiếm khi xuất hiện ở cả đại học trừ khi bạn theo chuyên ngành Lý thuyết số . Tuy nhiên , liên phân số là một cách viết rõ ràng nhất cho một số . Số thập phân và phần thập phân khi kéo dài ra thật không đáng kể và không thể tiết lộ tính đối xứng phi thường cũng như mô hình ẩn sau bên trong các con số như là liên phân số . Liên phân số khiến ta có thể xấp xỉ hợp lý các số vô tỷ và khám phá ra những con số thú vị .

Mỗi số đều có một dạng biểu diễn liên phân số , chúng ta cứ kéo dài các con số và ta thấy mình sẽ phải đối mặt với một quá trình hỗn loạn , đơn giản mà vẫn sở hữu sự thống kê đáng ngạc nhiên . Chương trình thao tác toán học hiện đại Mathematica đã tiếp tục mở rộng , là một công cụ đơn giản để khám phá những tính chất đặc biệt , bí mật của những con số .

Cách tốt nhất để khám phá những con số

Giới thiệu về liên phân số

Xét phương trình bậc hai :

$$\begin{equation} x^{2}-bx-1=0            \end{equation}$$

Nó có thể viết dưới dạng

$$\begin{equation}x = b + \frac{1}{x}    \end{equation}$$

Chúng ta tiếp tục quá trình trên

$$\begin{equation}x = b + \frac{1}{b + \frac{1}{x}}  \end{equation}$$

Chúng ta có thể lặp lại vô hạn bước trên

$$\begin{equation}x = b + \frac{1}{b+\frac{1}{b+\frac{1}{b+\frac{1}{...}}}}  \end{equation}$$

Bây giờ quay lại với cách giải phương trình bậc hai thông thường ta sẽ thấy một cách mở rộng liên phân số cho nghiệm của phương trình $(1)$

$$\begin{equation} x = \frac{b+\sqrt{b^{2}+4}}{2}  \end{equation}$$

Chọn $b=1$ chúng ta có biểu diễn liên phân số của tỷ lệ vàng $\phi$

$$\begin{equation} \phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}  \end{equation}$$

Cách viết này tạo cảm hứng cho chúng ta xét các số dạng

$$\begin{equation}a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{3}+...+\frac{1}{a_{n}+...}}}  \end{equation}$$

Trong đó các số $a_{i}$ là các số nguyên dương , gọi một mở rộng liên phân số kí hiệu là cfe và để bớt cồng kênh ta kí hiệu $(7)$ như sau :

$$\begin{equation} [a_{0},a_{1},...a_{n},...]  \end{equation}$$

Liên phân số lần đầu tiên xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học Ấn Độ Aryabhata trong thế kỉ thứ $6$ . Ông đã sử dụng nó để giải các phương trình tuyến tính . Sau đó chúng xuất hiện ở thế kỉ $15$ và $16$ , Fibonacci đã cố gắng để xác định chúng một cách tổng quát . Thuật ngữ " liên phân số " lần đầu tiên xuất hiện trong năm $1653$ trong một ấn bản của cuốn sách Arithmetica infinitorum bởi nhà toán học ở Oxford , John Wallis . Công trình của họ cũng đã được nghiên cứu nhiều bởi William Brouncker , người cùng với Wallis là các thành viên sáng lập Hội hoàng gia . Vào thời gian đó , các nhà vật lý nổi tiếng toán học ở Hà Lan , Christiaan Huygens đã ứng dụng liên phân số trong việc xây dựng các công cụ khoa học . Sau đó trong các thế kỉ $18$ và đầu $19$ , Gauss và Euler đã khám phá ra sự sâu sắc của nó .

Liên phân số dài như thế nào ?

Liên phân số có thể hữu hạn hoặc vô hạn , ví dụ nếu liên phân số hữu hạn thì số cuối cùng trong biểu diễn $(8)$ không thể là $1$ , ví dụ nên viết $\frac{1}{2}$ là $[0,2]$ chứ không viết $[0,1,1]$ . Và như vậy thì cách biểu diễn này là duy nhất .

Các cfes infinite đại diện cho các số vô tỷ . Nếu chúng ta chọn các số $b$ khác nhau , ví dụ như $4,5$ thì chúng ta vẫn cho ra những liên phân số vô hạn là nghiệm của phương trình bậc hai . Trên thực tế tất cả các nghiệm của phương trình bậc hai hệ số nguyên thì đều là một liên phân số tuần hoàn . Ví dụ như $[2,2,2,2,3,2,3,2,...]$ hoặc $[2,1,1,4,1,1,4,1,1...]$ .Dưới đây là một vài cfe [ viết tắt của continued fractional expansion ] vô hạn mà ta hay gặp :

$$\begin{equation}e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,....] \end{equation}$$

$$\begin{equation}\sqrt{2} = [1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...] \end{equation}$$

$$\begin{equation}\sqrt{3} = [ 1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \pi=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,...] \end{equation}$$

Những ví dụ này cho thấy một số khả năng , hầu hết các mở rộng đều đơn giản ngoại trừ số $\pi$ . Nó lần đầu tiên được tính toán bởi Roger Cotes , giáo sư triết học tại Cambridge năm $1714$ . Nếu chúng ta biết cách viết thập phân của tỷ số vàng hoặc thậm chí trong hệ nhị phân , nó rất khó để chúng ta thấy sự đặc biệt , chỉ khi viết dưới dạng liên phân số thì cấu trúc độc đáo của nó mới xuất hiện .

Một số ứng dụng hữu ích

Tính xấp xỉ $\pi$

Nếu chúng ta cắt từ một cfe vô hạn tại một đoạn nào đó thì nó luôn cho ta một xấp xỉ cần thiết so với số ban đầu . Ví dụ trong trường hợp $\pi$ nếu chúng ta cắt ra đoạn $[3,7]$ chúng ta sẽ nhận được xấp xỉ hợp lý quen thuộc của $\pi$ là $\frac{22}{7}=3,1428571....$ . Nếu chúng ta cắt ra đoạn $[3,7,15,1]=\frac{355}{113}=3,1415929...$ . Một xấp xỉ tốt hơn là $3,14159265$ lần đầu tiên được biết đến bởi người Trung Quốc . Tám xấp xỉ tốt đầu tiên là

$$\frac{3}{1},\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{103993}{33102},\frac{104348}{33215},\frac{208341}{66317},\frac{312689}{99532}$$

Trên thực tế các cfe cho chúng ta các xấp xỉ đúng với mức độ tùy ý và đến mục lúc nào đó phần sau của các cfe gồm toàn các con số nhỏ cho dù ban đầu chúng lớn như thế nào ( càng về sau càng dễ xuất hiện các số $1,2$ ) . Do sự xuất hiện bất thường của số $292$ quá sớm trong số $\pi$ nên nó dẫn đến một xấp xỉ khá tốt là $\pi=[3,7,15,1,292]=\frac{103993}{33102}$

Thang âm nhạc của Pitago

Các trường phái Pitago cổ điển cho rằng việc phân chia các nhạc cụ bằng một chuỗi các số nguyên nhỏ dẫn đến một mối quan hệ hấp dẫn . Ví dụ một nửa chiều dài thì là $2 : 1$ , quãng tám âm và đoạn thứ ba là $3:2$ ... Nhạc lần $4$ là $5 : 4$ ( đoạn này khá khó dịch ). Vậy bây giờ câu hỏi là khi nào thì quy mô của Pitago phù hợp với nhau , có nghĩa là khi nào :

$$\begin{equation} (\frac{5}{4})^{b}=2^{a} ? \end{equation}$$

Lấy logarit cơ số $2$ thì nó sẽ tương đương với việc $log_{2}5=2+\frac{a}{b}$ . Do nó là logarit nên sẽ vô tỷ và không thể đưa ra tỷ lệ chính xác cho $a,b$ . Nhưng để đưa ra tỷ lệ gần đúng thì chúng ta tính cfe của $log_{2}5=[2,3,9,...]$ . Và ta có thể lấy xấp xỉ $log_{2}5=2+\frac{1}{3}$ , ví dụ $a=1,b=3$ . Khi đó

$$\begin{equation}(\frac{5}{4})^{3}=1,95... \sim 2  \end{equation}$$

Nếu chúng ta tiếp tục xấp xỉ tốt hơn thì có thể lấy các số $a=9,b=28$ nhưng càng về sau sẽ càng khó khăn trong việc tính toán .

Một trong những thủ thuật mà Ramanujan tiết lộ

Thiên tài toán học người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan ( $1887-1920$ ) nổi tiếng với khả năng trực giác kì lạ của ông về những con số và mối liên hệ của chúng . Giống như những nhà toán học trong nhiều thế kỉ qua , ông đặc biệt thích các xấp xỉ cực kì chính xác ( bạn có thể thấy rằng $2^{10} \sim 10^{3}$ ) . Ramanujan đặc biệt thích các cfes và đã tích lũy được một kiến thức sâu rộng về chúng . Điều này được biết đến vì nhiều xấp xỉ rất bât thường được ông đưa ra . Ông biết rằng một số vô tỷ viết dưới dạng cfe mà lấy một đoạn đủ lớn thì luôn cho một xấp xỉ cực kì chính xác . Một ví dụ được Ramanujan đưa ra :

$$\begin{equation}\pi^{4} \sim (\frac{2143}{22})^{\frac{1}{4}}   \end{equation}$$

Làm sao ông ấy biết được điều này ? Nếu ta có một chút kiến thức về liên phân số chúng ta có thể đoán ra một cái gì đó thú vị trong cfe của $\pi^{4}$ , thật vậy , mở rộng liên phân số của $\pi^{4}$ là khá lớn :

$$\begin{equation}\pi^{4} = [ 97,2,2,3,1,16539,1,...]  \end{equation}$$

Bằng cách ngắt từ đoạn $16539$ bạn sẽ thu được xấp xỉ của Ramanujan cho $\pi^{4}$ . Ramanujan cũng quan tâm đến việc mở rộng căn thức lồng nhau vô hạn . Năm $1911$ một câu hỏi được người ta hỏi trên tạp chí toán học Ấn Độ giá trị của biểu thức sau là gì :

$$ \begin{equation} ? = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+....}}}  \end{equation}$$

Một vài tháng trôi qua không có ai trả lời và Ramanujan tiết lộ câu trả lời là $3$ và còn đưa ra một công thức tổng quát :

$$\begin{equation}x + 1 = \sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+....}}}  \end{equation}$$

Các nhà toán học ứng dụng đã tìm cách xấp xỉ các hàm số liên tục bởi cfe , gọi là xấp xỉ Pade . Nhưng họ thường nhận được các xấp xỉ kém chính xác hơn việc sử dụng chuỗi Taylor . Bằng cách cắt một đoạn hữu hạn và họ thu được xấp xỉ là thương của hai đa thức .

Các xấp xỉ hợp lý - làm thế nào để có được ?

Liên phân số tiếp tục hướng chúng ta đến việc thăm dò một trật tự khác ẩn sau các con số . Như việc bạn viết tỷ số vàng dưới các hệ sơ số khác nhau chưa thể diễn tả chính xác tại sao nó gọi là tỷ số vàng . Chỉ khi viết dưới dạng liên phân số thì sự đẹp đẽ mới xuất hiện .

Phân số hữu tỷ thu được bằng cách ngắt đoạn thứ $n$ của một cfe gọi là một hội tụ thứ $n$ của cfe . Và thường kí hiệu là $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ . Như vậy khi $n$ tăng ta có :

$$\begin{equation}|x - \frac{p_{n}}{q_{n}}| \to 0  \end{equation}$$

Nhưng ta cũng thấy rằng chính con số $\phi - 1= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ là con số bất thường nhất vì mở rộng liên phân số của nó gồm toàn số $1$ và vì vậy nó hội tụ yếu nhất . Trên thực tế Lagrange đã chứng minh với mọi số vô tỷ $x$ có vô hạn các đại lượng xấp xỉ hữu tỷ hợp lý :

$$\begin{equation} |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{2}\sqrt{5}}  \end{equation}$$

Nhưng mà nó sẽ sai nếu thay $5$ bởi một số lớn hơn . Trong trường hợp xấp xỉ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ lấy từ cfe , $\frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{0}{1},\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8},..$ có tỷ lệ hội tụ yếu nhất đối với phương trình $(21)$

$$\begin{equation}| x - \frac{p_{n}}{q_{n}}| < \frac{1}{q^{2}\sqrt{5}}  \end{equation}$$

Với $k \geq 2$ bất kì mẫu số $q_{n}$ có thể tính so sánh bằng bất đẳng thức sau :

$$\begin{equation}q_{k} \geq 2^{\frac{k-1}{2}}  \end{equation}$$

Nếu cfe hữu hạn thì $k$ chạy đến cuối cùng . Trên thực tế có thể đánh giá xấp xỉ bằng các mẫu số $q_{n}$ từ cả hai phía

$$\begin{equation}\frac{1}{q_{k}(q_{k+1}+q_{k})} < | x - \frac{p_{n}}{q_{n}} | < \frac{1}{q_{k}q_{k+1}}  \end{equation}$$

Có rất nhiều tính chất thú vị của các cfe nhưng hầu như không có một tính chất mạnh hoặc chung nào vì nó còn tùy thuộc vào cách mà bạn mở rộng các số . Lấy một hữu hạn hay vô hạn các số nguyên mà bạn muốn thì no chỉ tạo ra một số mở rộng duy nhất , bạn có thể đặt tên cho nó . Ngược lại với một số cho trước có thể có rất nhiều cfe đại diện cho nó . Để tìm kiếm điều đặc biệt đôi khi là vô vọng . Tuy nhiên trong khi điều này đúng , nếu ta hạn chế tìm kiếm tính chất các cfe của hầu hết các số thực - chúng ta bỏ qua một lớp các số " đặc biệt " mà có một xác xuất không bị chọn ngẫu nhiên bởi các cfe - các tính chất cơ bản đáng chú ý của chúng được biết bởi các cfe của chúng .

Khuôn mẫu đằng sau hầu hết các con số

Phân số xác xuất của Gauss

Các tính chất chung của các cfe lần đầu tiên được phát hiện năm $1812$ bởi nhà toán học vĩ đại người Đức Carl Fiedrich Gauss ($1777-1855$) , ông đã không công bố các phát hiện của mình . Thay vào đó , ông chỉ viết thư cho Pierre Laplace ở Paris những gì ông tìm thấy , cho những tính chất của cfe , xác xuất $P([0,a_{1},a_{2},....] < x)$ tiến đến $log_{2}(1+x)$ khi $n \to \infty$ . Năm $1928$ , tính chất của Gauss xuất hiện lại và được tổng quát bởi nhà toán học người Nga R.O. Kuzmin và ( theo một cách khác ) cũng là một năm sau đó bởi nhà toán học người Pháp Paul Levy ( $1886-1971$ ) .

Nếu ta xem xét các cfe vô hạn của các số thực khi mà $n$ đủ lớn xác xuất để các $a_{n}$ bằng số nguyên $k$ nào đó tiến tới

$$\begin{equation}P(k) = \frac{ln(1+\frac{1}{k(k+2)}}{ln2}  \end{equation}$$

Điều này là một tính chất quan trọng . Trước tiên , nó là một xác xuất phân phối ,nêu chúng ta lấy tổng trên tất cả các giá trị nguyên của $k$ từ $1 \to \infty$ thì thu được $1$ . Và cho thấy khi cho $k$ rất lớn thì xác xuất rất nhỏ để xuất hiện $k$ ( gần như bằng $0$ ) . Các đánh giá cho thấy $P(1)$ và $P(2)$ chiếm khoảng $41$% và $17$%. Nhìn lại vào $(9)$ bạn sẽ thấy số $e$ đặc biệt trong hầu hết các số , không bị chi phối bởi xác xuất này . Nhưng có vẻ $\pi$ lại không như vậy , nhìn lại xấp xỉ của $\pi$ tạo bởi phương trình $(17)$ chúng ta thấy xác xuất một số lớn như $16539$ chỉ chiếm $5$ trong $10^{9}$ .

Nếu ta lấy $k$ đủ lớn và xấp xỉ bằng định lý nhị thức ($k(k+2) \sim k^{2}$) thì khi đó $P(k) \sim k^{-2} , k \to \infty$ . Điều này cho thấy nếu ta cố gắng tìm trung bình ( hoặc trùng bình cộng ) các giá trị $k$ trong cfe chúng ta sẽ có câu vô hạn câu trả lời . Câu trả lời là tổng vô hạn $\sum kP(k)$ chính bằng chuỗi điều hòa , và ta đã biết chuỗi này phân kì .

Hằng số Levy

Paul Levy cho chúng ta thấy việc mở rộng liên phân số , một điều gì đó đáng ngạc nhiên và tổng quát về một sự hội tụ đủ mạnh . Chúng ta thấy trong các phương trình $(21)-(24)$ các xấp xỉ mạnh với các số thực được cải thiện liên tục theo mẫu số $q_{n}^{-2}$ khi $n$ tăng . Nó nói rằng , số $q_{n}$ không thể phát triển theo các số nhân khi $n$ tăng ( tức $q_{n} < e^{An}$ khi $n \to \infty$ với $A$ là hằng số nào đó hợp lý ) . Levy đã tính được , phân lập tốc độ tăng trưởng bằng một hằng số cơ bản cho các mẫu số $q_{n}$

$$\begin{equation}q_{n}^{\frac{1}{n}} \to L , n \to \infty  \end{equation}$$

Trong đó hằng số Levy được tính theo công thức :

$$ \begin{equation}L  = exp(\frac{\pi^{2}}{12ln2})=3,27538229187...   \end{equation}$$

Hằng số Khinchin

Sau đó , nhà toán học Nga Aleksandr Khinchin ( $1894 - 1959$ ) chứng minh kết quả nổi bật thứ ba về các cfe . Mặc dù số học , hoặc trung bình cộng của số $k_{i}$ không có một giá trị hữu hạn,  như hình học có . Thật vậy , nó có một giá trị hữu hạn mà là tổng quát cho hầu hết các cfe của số thưc . Ông thấy rằng khi $n \to \infty$

$$\begin{equation} (k_{1}k_{2}....k_{n})^{\frac{1}{n}} \to k  \end{equation}$$

Trong đó hằng số Khinchin được cho bởi một công thức hội tụ chậm

$$\begin{equation} k = \prod_{i=1}^{\infty} (1 + \frac{1}{k(k+1)})^{\frac{lnk}{ln2}} = 2,68545....  \end{equation}$$

Như vậy giá trị trung bình về hình học là $2,68$ . Phản ánh sự chi phối của các giá trị nhỏ mà ta thấy trong các phân phối xác suất . Một lần nữa , thật thú vị  để xem xét cách tiếp cận xấp xỉ cho $\pi$

Nếu chúng tôi liệt kê sự xuất hiện các giá trị khác nhau $k=1,2,3,...$ trong số $100$ số đầu tiên trong cfe của $\pi$ , thì các giá trị $k$ và tần số của nó $N(k)$ trong thứ tự , sẽ giảm , cụ thể như sau : 

 

CodeCogsEqn (1).gif

 

Chúng ta thấy nó sẽ hội tụ khá tốt với $P(k)$ khi $k$ nhỏ , nếu ta tính giá trị trung bình chúng ta sẽ thấy sự hội tụ tốt của Khinchin ,

$$\begin{equation}(k_{1}k_{2}....k_{100})^{\frac{1}{100}} = 2,6831468   \end{equation}$$

Một ngoại lệ đáng chú ý

Hằng số đáng quan trọng nhất không là thành viên của " hầu hết các số " mà giá trị trung bình tiến tới hằng số Khinchin là $e=2,71828....$ . Từ phương trình $(9)$ , rất dễ để kiếm tra những gì xảy ra với giá trị trung bình hình học của $e$ khi $n \to \infty$  , chúng ta đưa ra một xấp xỉ tốt cho nó , như Stirling , khi $n \to \infty$

$$\begin{equation}(k_{1}(e)k_{2}(e)...k_{n}(e))^{\frac{1}{n}} \to (\frac{2n}{3e})^{\frac{1}{3}} = 0,62595n^{\frac{1}{3}}  \end{equation}$$

Những số hỗn độn

Các số là quá trình hỗn độn

Các phương pháp tạo ra các số vô hạn từ cfe là một quá trình hỗn loạn . Với một số thực tế , mong muốn mở rộng của ta là $u_{1}$ và ta tách nó làm phần nguyên ( kí hiệu $k_{1}$) và phần lẻ của nó ( kí hiệu là $x$ ) , vậy ta có

$$\begin{equation} u_{1}  = x + k_{1}  \end{equation}$$

Đôi khi ta viết $k = [u]$ để chỉ phần nguyên ; ví dụ $[\pi]=3,[e] = 2$ . Bây giờ ta bắt đầu với số $\pi$ thì số đầu tiên $k_{1}=[\pi]=3$ và phẩn lẻ $x = 0,141592$ . Các phần nguyên tiếp theo là $k_{2} = [\frac{1}{x}] = [ \frac{1}{0,141592...}]  = [7,0625459...]= 7$ . Và tiếp tục $x_{2} = 0,0625459...$ và như vậy $k_{3}=15$ . Phương pháp đơn giản này mang lại những thương số đầu tiên trong cfe của $\pi$ mà ta liệt kê ở phương trình $(12)$ . Phần lẻ luôn nằm giữa $0$ và $1$ . Nó không thể bằng $0$ hoặc $1$ vì khi đó nó sẽ phải là một số hữu tỷ và quá trình mở rộng số sẽ là hữu hạn . Các quá trình tạo ra các phân đoạn liên tiếp được cho bởi phương trình phi tuyến :

$$\begin{equation}x_{n+1} = T(x_{n}) = \frac{1}{x_{n}} - [ \frac{1}{x_{n}} ]  \end{equation}$$

Trong đó $T(x)$ đại diện như một số lượng vô hạn của nhánh Hyperbolic .

plot1.jpg

 

Nếu ta áp dụng đồ thị này và bắt đầu từ hầu hết các giá trị khởi đầu cho bởi các số thực với các cfe vô hạn thì giá trị đầu ra của $x$ sẽ tiến tới một phân phối xác xuất đặc biệt , lần đầu tiên được tìm ra bởi Gauss :

$$\begin{equation}p(x) = \frac{1}{(x+1)ln2}  \end{equation}$$

Một lần nữa với phân số này ta có thể kiểm tra

$$\int_{0}^{1} p(x)dx = 1$$

plot2.jpg


Hỗn độn  là gì ? 

Trong đồ thị của $T$ là hỗn độn khuyếch đại sự khác biệt nhỏ trong giá trị của $x$ khi ánh xạ tiếp tục áp dụng . Điều này cần thiết cho tầm quan trọng của đạo hàm của nó $|\frac{dT}{dx}|$ ở các điểm có tọa độ lớn hơn $1$ . Ta thấy $\frac{dT}{dx} = \frac{-1}{x^{2}}$ và $0 < x < 1$ thì hiển nhiên . Sự khuyếch đại này rõ ràng phụ thuộc vào $x$ - càng gần $x=0$ thì đạo hàm càng lớn . Một sự thay đổi nhỏ $\delta x$ tạo ra một sự khếch đại của $|\frac{dT}{dx}|$ theo như sơ đồ của $T$ , một sự tăng trưởng nhanh chóng theo cấp số nhân $exp{\epsilon\delta x}$ .

Chúng ta sẽ lấy giá trị trung bình $\epsilon = |\frac{dT}{dx}|$ , số mũ nhạy cảm , trung bình đối với các phân bố xác suất , phương trình $(34)$ , điều chỉnh đầu ra của $x$ trong đồ thị của $T$ , độ nhạy cảm  , kí hiệu là $h$ đôi khi gọi là Kolmogorov hoặc số liệu , dữ liệu ngẫu nhiên của đồ thị , được cho bởi

$$\begin{equation}h = \int_{0}^{1} ln|\frac{dT}{dx}|p(x)dx \end{equation}$$

Đối với đồ thị của $T$ thì nó là :

$$\begin{equation}h = \int_{0}^{1} \frac{-2ln(x)}{(1+x)ln2}dx = \frac{\pi^{2}}{6ln2}  \end{equation}$$

Nếu $h$ khác $0$ thì một đồ thị được gọi là hỗn độn , sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu ban đầu sẽ được khuếch đại bởi ánh xạ . Trong trường hợp của cfe chúng ta thấy rằng điều này có nghĩa là cfes của hai số thực rất gần nhau cuối cùng sẽ tách ra theo cấp số nhân với $n$ , và các số phương cắt từ cfe được tạo ra .

Các cfe của một số thực có thể tổng quát một cách tự nhiên bởi $F$ gọi là $F-$ mở rộng của một số thực $x$ ( $0<x<1$ ) bằng cách viết

$$\begin{equation}x = F(a_{1}+F(a_{2}+F(a_{3}+....)))  \end{equation}$$

Ở đây $F$ là một hàm số đơn điệu tăng hoặc giảm . Các $a_{i}(x)$ là các chữ số không âm xác định thương số của $F-$ mở rộng . Các cfe là trường hợp đặc biệt của $F(x) = x^{-1}$ .

Các liên phân số trong vũ trụ 

Liên phân số xuất hiện nhiều trong những nghiên cứu về sự hỗn độn . Nếu một vấn đề về động lực làm giảm sự chuyển động của một điểm nảy ra cách biên của một vùng không tròn , trong đó trò chơi billiards là một ví dụ điển hình , sau đó các cfe của một số cố định với điều kiện ban đầu sẽ mô tả nhiều khía cạnh động lực của một chuỗi các vụ va chạm xảy ra . Một ví dụ nổi bật của điều này được nghiên cứu trong thuyết tương đối tổng quát , mô tả chuyển động của vũ trụ của chúng ta hoặc điểm kì dị của các hố đen . Trong trường hợp này , một chuỗi vô hạn các dao động thủy triều xảy ra , các thống kê được mô tả chính xác bằng việc mở rộng liên phân số với điều kiện ban đầu . Mặc dù quỹ đạo riêng của một hạt rơi vào điểm kì dị của hố đen là hỗn độn không thể đoán trước được , nó có những quy luật thống kê xác định bởi thuộc tính chung của các cfe . Các hằng số Khinchin và Levy tạo ra để mô tả những chuyển động của vũ trụ và các hố đen trong vật lý học .

 

ss.jpg

 

Liên phân số cũng rất nổi bật ưa chuộng trong các vấn đề hỗn loạn khác . Các số kết thúc bằng một chuỗi vô hạn các số $1$ từ một lúc nào đó , như tỷ số vàng , được gọi là các số cao quý . Tỷ số vàng là cao quý nhất vì nó gồm toàn số $1$ . Như ta đã đã nói trước đó , nó tạo ra sự xấp xỉ kém nhất bằng các số hữu tỷ . Do đó những con số này đặc trưng cho các tần số của chuyển động thấp dễ bị nhiễu loạn và bất ổn . Thông thường , một hệ thống có thể hoạt động theo hai cách , giống như một ngôi sao đang quay quanh thiên hà và lắc lư lên xuống qua mặt cắt của thiên hà , sẽ có hai tần số xác định định những dao động khác nhau . Nếu tần số là số hữu tỷ thì chuyển động sẽ có chu kì nhưng nếu là số vô tỷ thì sẽ không có chu kì , xem xét tất cả các khả năng tương thích với việc bảo tồn năng lượng và xung lượng góc . Nếu ta xáo trộn một hệ với một tần số hợp lý thì nó sẽ rất dễ rơi vào một tình huống hỗn độn với tần số không hợp lý . Trên thực tế , sự ổn định của hệ thống năng lượng mặt trời của chúng tôi trong thời gian dài phụ thuộc vào tỷ lệ tần số nhất định nằm rất gần với các số cao quý .

Liên phân số đã bị giáo dục lãng quên , như một phần bỏ rơi của toán học . Nhưng tính chất của nó là những hướng dẫn quan trọng để xấp xỉ và thăm dò sự hỗn độn phức tạp của các hệ động lực . Nó xuất hiện trong một số lớn các vấn đề của vật lý . Tôi hy vọng bài viết này sẽ đưa mọi người đến một sự bất ngờ .

" Trong mọi sự hỗn loạn của tự nhiên luôn tồn tại một trật tự nào đó " 

Nguồn : plus.maths.org

Người dịch : bangbang1412

 




#672036 Cho f(x),g(x) là các đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn: $P(x)=f(x^{3...

Gửi bởi bangbang1412 trong 18-02-2017 - 23:42

Cái chỗ nghiệm nguyên thủy là sao nhỉ

Nói nghiệm nguyên thủy của phương trình $x^{n}=1$ tức là chỉ các số phức khác $1$ thỏa mãn phương trình đó khi đó bạn có thể thấy nghiệm nguyên thủy tương đương nghiệm của $x^{n-1}+...+x+1=\frac{x^{n}-1}{x-1}=0$ 




#671840 Andrew Wiles: Cảm giác làm toán như thế nào?

Gửi bởi bangbang1412 trong 16-02-2017 - 23:18

Andrew Wiles là một nhà toán học huyền thoại . Ông đặc biệt nổi tiếng vì đã chứng minh định lý lớn Fermat , một vấn đề gây khó cho các nhà toán học trong nhiều thế kỷ . Trong cuộc phỏng vấn này , Wiles sẽ nói cho chúng ta về một kết quả quan trọng và việc làm toán nói chung

Ông cảm thấy như thế nào sau khi tìm kiếm một chứng minh cho định lý lớn Fermat trong thời gian quá lâu như vậy ?

Nó thật tuyệt vời . Đây là điều đáng để chúng ta sống , nó tạo nên những tia sáng và sự hứng thú . Nó thật sự khó để nghiên cứu hoặc cố gắng làm gì đó - bạn sống trên chín tầng mây trong một hoặc hai ngày . Một chút khó khăn để trở lại với cuộc sống , công việc bình thường . Và tôi nghĩ thật khó để tôi có thể trở lại làm việc với một vấn đề bình thường .

Ông có nghĩ chứng minh định lý lớn Fermat của mình không phải là sự kết thúc của một cái gì đó mà có khi lại mở ra một điều gì mới không ?

Tôi nghĩ là cả hai . Việc chứng minh định lý lớn Fermat là sự kết thúc của một vấn đề cổ điển trong toán học nói riêng , đặc biệt tôi đến với toán học là vì nó từ khi tôi còn rất trẻ . Nó như một sự kết thúc thời thơ ấu lãng mạn trong toán học đối với tôi .

Nhưng cũng từ đó nó hé lộ một chút về chương trình Langlands , một chút gì đó để có thể tiến vào chương trình Langlands . Khi mở cánh cửa đó , [ cho phép ] rất nhiều người đi vào và phát triển nó , đó cũng là những gì tôi đã cố gắng làm .

Tại sao ông lại cố gắng chứng minh định lý lớn Fermat một cách thầm lặng , bí mật ?

Tôi không thật sự làm việc trong bí mật . Tôi đã nói chuyện này với một hai người và sau đó nhận ra tôi không thể nói nó thêm với ai nữa , như vậy không thoải mái . Mọi người muốn biết tôi đã làm những gì trong thời gian đó và những kết quả mà tôi đạt được . Tôi khá chắc rằng nó nhiều người đang làm việc với giả thuyết Riemann ( một vấn đề mở khác cũng rất nổi tiếng ) cũng không nói với ai rằng họ đang làm gì . Bởi vì khi bạn có ý tưởng , bạn chỉ muốn làm việc với nó . Nhưng chắc chắn rằng khi làm việc với các vấn đề như vậy , bạn hầu như không có ý tưởng ...

Ông cảm thấy như thế nào trong lần đầu tiên công bố chứng minh của mình trong một loạt các bài giảng ở đại học Cambridge . Và về việc phát hiện ra lỗi trong chứng minh ?

Khám phá là điều thú vị nhất. Có một điều gì đó nho nhỏ khi bạn chia sẻ nó ( chứng minh ) . Đây là một cuộc chiến của bản thân tôi . Người bạn tôi đã phát hiện ra lỗi và tôi đã có một chút cảm xúc hỗn loạn khi đó , thỉnh thoảng người ta còn nói xấu tôi . Nhưng nó chỉ là một lỗi nhỏ và tôi đã khắc phục được .

Ông thường nói chuyện với những người có chuyên môn còn nếu ông phát biểu trước công chúng thì ông sẽ nhấn mạnh điều gì ? 

Tôi nghĩ rằng nhiều người không quan tâm đến toán học , ví dụ như giới trẻ . Nhưng thật sự điều bạn thấy ở trẻ em là họ thật sự thích nó trước khi họ có vài trải nghiệm xấu về nó . Hầu như là ai cũng sẽ có trải nghiệm xấu , và nó được sinh ra khi bạn sống trong một môi trường mà mọi người đều sợ nó hoặc bạn được giảng dạy không đúng cách . Nhưng một cách tự nhiên tôi thấy trẻ em rất thú vị . Trẻ em tò mò , và có quyền khám phá thế giới bên ngoài . Tôi cố gắng giải thích cho họ rằng những người làm toán , việc làm toán là một trải nghiệm rất thú vị .

Bạn có thể làm toán như một đứa trẻ hoặc một người trưởng thành . Người dân không cần sử dụng đến nó . Một số người thấy việc làm toán rất căng thẳng . Ngay cả những người rất giỏi toán đôi khi cũng cảm thấy khó khăn và họ cảm giác mình đang thất bại . Nhưng đó là một phần của quá trình , bạn phải chấp nhận để hiểu và tận hưởng quá trình đó . Vâng , khi bạn không hiểu một cái gì đó [ hiện tại ] nhưng bạn hãy có niềm tin rằng trong tương lai bạn sẽ vượt qua được nó .

Giống như trong thể thao , muốn chạy nhanh , muốn giỏi ở bất cứ điều gì , bạn phải tập luyện . Để đạt được những thành tựu mới mẻ , bạn phải cố gắng vượt qua những khó khăn hiện tại . Đó không phải là điều gì đó quá sợ hãi , nó là điều mà ai cũng phải cố gắng vượt qua .

Tôi cố gắng chống lại một số điều , một thông điệp , ví dụ như trong bộ phim Good Will Hunting , rằng khi bạn sinh ra bạn có hoặc không có một điều gì đó trong bản thân mình . Đó không phải là quan điểm của các nhà toán học . Chúng ta đều cảm thấy khó khăn , chúng tôi không khác biệt với những đứa trẻ đang cố gắng giải một bài toán lớp ba . Quá trình làm việc là tương tự , chúng tôi chỉ khác là chuẩn bị để xử lý và giải quyết những điều lớn hơn và sẵn sàng đối mặt với thất bại .

Có một số người có khả năng bẩm sinh về toán học nhưng tôi tin rằng ai cũng có thể học tốt toán nếu họ đã chuẩn bị để đối phó với những vấn đề tâm lý mà họ hay mắc phải .

Ông sẽ làm gì khi gặp phải khó khăn ?

Quá trình nghiên cứu toán học đối với tôi như là cố gắng tìm hiểu mọi vấn đề liên quan , nghĩ về nó mọi lúc mọi nơi , sử dụng tất cả các kĩ thuật mà mình có . Nhưng thông thường vẫn có điều gì đó khiến ta mắc kẹt - đó là khó khăn .

Sau đó bạn nên dừng lại , bỏ nó ở đó , thư giãn một chút rồi lại trở lại với nó . Bằng một cách nào đó , tiềm thức của bạn đã liên kết lại và bạn có thể trở lại với nó , có thể vào chiều hôm sau , ngày hôm sau , các hôm sau đó , các tuần tiếp theo hoặc đôi khi là vài phút và lại làm việc với nó . Đôi khi tôi bỏ một vấn đề trong vài tháng và khi trở lại thì lúc này nó lại trở thành hiển nhiên . Tôi không thể giải thích tại sao như vậy , nhưng bạn nên làm như vậy [ trở lại ] .

Một số người thường làm theo cách này , họ làm việc với rất nhiều vấn đề , họ bỏ một vấn đề một chỗ rồi chuyển sang làm việc với vấn đề khác khi họ gặp khó khăn . Nhưng tôi không làm như vậy được . Tôi mắc kẹt với một vấn đề và tôi không thể nghĩ về điều gì khác . Vì vậy tôi chỉ thư giãn một thời gian và lại quay lại làm việc với nó .

Tôi thật sự nghĩ rằng nó rất tệ để có một trí nhớ , kí ức tốt nếu bạn muốn trở thành một nhà toán học . Bạn cần một trí nhớ hơi tệ bởi vì bạn cần phải quên đi cách tiếp cận vấn đề thời gian trước đó mà bạn đã làm việc để chuyển sang một hướng khác , giống như là tiến hóa. Bạn cần phải gặp vài lỗi nhỏ trong cách mà bạn đã làm trước đó để có một hướng đi khác đối với vấn đề của bạn .

Vì vậy , nếu bạn nhớ tất cả những lần thất bại trước , bạn sẽ không thử chúng lần nữa . Nhưng ví tôi nhớ hơi kém nên tôi thử lại chúng lần nữa và tôi nhận ra tôi chỉ gặp vài lỗi nhỏ , chỉ thiếu một chút nữa để đạt đến những gì tôi muốn .

Ngày nghỉ của ông như thế nào ?

Tôi thích đi nghỉ ở những nơi có phong cảnh đẹp gần Oxford . Ý tôi Oxford là một nơi khá đẹp , có rất nhiều nơi để đi .

Có những nơi rất đẹp , để đi bộ và ngắm cảnh , những nơi được tạo ra bởi những con người của thế kỉ trước - những người đã từng sống ở đó . Khi đó , tôi cảm thấy rất thư giãn .

Sáng tạo trong toán học quan trọng như thế nào ?

 

Filesharing.jpg

 

Sáng tạo là tất cả những gì có thể và cần thiết . Tôi nghĩ người ta có nhiều phản ứng với toán học , kiểu như là " các vấn đề đã được biết hết , giải quyết hết chưa? " hoặc như kiểu một cái máy [ toán học ]

Nhưng không , điều đó là cực kì sáng tạo  . Chúng tôi đang tiến đến những điều hoàn toàn mới mẻ và bất ngờ . Để giảng giải cho người khác , chúng tôi phải làm cho nó rất quan trọng và hợp lý . Nhưng chúng tôi không tạo ra nó theo cách đó, chúng tôi không nghĩa vậy . Chúng tôi nghĩ mình rất sáng tạo , đôi khi người ta bực về các nhà toán học khi cứ nghĩ mình là sáng tạo bởi vì chúng tôi đang suy nghĩ về vẻ đẹp và sự sáng tạo và dĩ nhiên thế giới bên ngoài nghĩ chúng tôi không khác gì một cái máy . Đó không phải cách chúng tôi nghĩ về bản thân

Nó có thể hơi giống âm nhạc . Theo một cách nào đó , âm nhạc , bạn có thể viết nó ra . Ý tôi là , họ chỉ ghi nhận . Nó lên , xuống , lên xuống , đặt một nhịp điệu . Nó cũng có thể viết hoàn toàn bằng kĩ thuật số . Nhưng khi nghe Bach hay Beethoven , đó không phải là một loạt các nốt nhạc , có cái gì đó rất khác trong đó . Cũng giống như chúng tôi , có gì đó rất sáng tạo trong cái đam mê của chúng tôi .

Ông nghĩa rằng toán học được phát hiện hay phát minh ra ?

 

Để nói về điều này , tôi nghĩ không một nhà toán học nào không nghĩ rằng nó được phát hiện ra . Trong một nghĩa nào đó nó có thể là được tạo ra vì có những sai lầm và lựa chọn , nhưng chắc chắn những điều ta thấy trong thực tế chúng ta đều nghĩ rằng chúng ta phát hiện ra nó .

Đó có phải là một sự ảo tưởng cần thiết khi mà là một nhà toán học , để làm công việc này  , ông cần phải tin rằng mình phát hiện ra nó chứ không phải phát minh ra nó ?

 

snowflake2.jpg

 

Tôi không muốn nói đó là sự khiêm tốn , nhưng bằng cách nào đó bạn tìm thấy nó và đột nhiên nhìn thấy vẻ đẹp và bạn cảm giác nó đã ở đó . Nó giống như là khi bạn nhắm và mở mắt ra để nhìn thế giới vậy .

Ai tạo ra hững điều này ?

Vâng , chắc chắn là các nhà toán học chứ không phải các nhà triết học . [ cười ] Chúng tôi là những nghệ sĩ , tận hưởng nó và rời khỏi nó . Có những nhà triết học và những người học nhiều về toán học, nhiều người lo lắng về điều này , nhưng chúng tôi không phải Bertrand Russells , thật sự không phải . [ cười ] Chúng tôi thực sự muốn làm toán  , chúng tôi là những nhà toán học .

 

Dịch từ : plus.math.org 

Người dịch : bangbang1412




#671742 Thuật ngữ tiếng anh của điểm trong của một tập

Gửi bởi bangbang1412 trong 15-02-2017 - 21:50

Thực ra khi bạn đọc sách TA thì thấy nhiều cái dịch ra nó rất chuối nên có thể dùng luôn từ relative interior nói mà ksao . Ví dụ cái bạn hỏi là " phần trong tương hỗ " hay theo một cách khá tương đối mình nhìn qua thì nó cũng giống biên mà nhỉ ?


#671361 Toán học lý thú

Gửi bởi bangbang1412 trong 12-02-2017 - 21:44

Có lẽ tôi nên viết một bài giúp tất cả các bạn học từ bậc THPT trở xuống hiểu thế nào là toán học , tuy tôi chưa có gì nhưng cái nhận thức nó cũng khác so với nhiều bạn  . Các bạn nên có nhận thức từ sớm chứ bây giờ toàn tìm học mấy cái vớ vẩn .




#671323 Classification theorem

Gửi bởi bangbang1412 trong 12-02-2017 - 20:37

I have some basic exercises about proper scheme laballing for polygonal region which useful in classification theorem and construct compact surface . Suppose $\omega_{1},...\omega_{n}$ is a labelling scheme for polygonal region $P_{1},P_{2}....P_{n}$ . If each labelling appears exactly twice in this scheme , we call it a proper . 

$1)$ Show that Klein bottle equals sum connected of two project planes and state basic operations we can use in scheme 

$2)$ $ [y_{0}]a[y_{1}]a[y_{2}] \sim aa[y_{0}y_{1}^{-1}y_{2}]$

$3)$ $ \omega_{0}(cc)(aba^{-1}b^{-1})\omega_{1} \sim \omega_{0}(aabbcc)\omega_{1}$

$4)$ $\omega_{0}[y_{1}]a[y_{2}]b[y_{3}]a^{-1}[y_{4}]b^{-1}[y_{5}] \sim \omega_{0}aba^{-1}b^{-1}[y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}]$

$5)$ Use that lemmas to reduce each of the following schemes to standard forms : 

$a)$ $abacb^{-1}c^{-1}$

$b)$ $abca^{-1}cb$

$c)$ $abbca^{-1}ddc^{-1}$

$d)$ $abcd(dcba)^{-1}$

$e)$ $abcd(dbca)^{-1}$

$f)$ $aabcdc^{-1}b^{-1}d^{-1}$

$g)$ $abcdabdc$

$h)$ $abcdabcd$ 

$6)$ State the classification theorem for polygonal region with cutting and pasting edges in pairs .

$7)$ Show that every compact surface can be triangulable and the reserve 




#671297 $C_{bp}^{ap}\equiv C_{b}^{a...

Gửi bởi bangbang1412 trong 12-02-2017 - 17:19

Theo mình biết cái này là định lý wolstenholmes , bạn cứ search là ra . Cả 2 trường hợp đều đúng


#670554 Topo đại cương

Gửi bởi bangbang1412 trong 06-02-2017 - 18:25

Câu $1$: Cho $X = \left \{ a,b,c,d,e \right \},A = \left \{ b,c,d \right \}$

a. Xây dựng trên $X$ một tôpô gồm tập mở.

b. Với tôpô đó tìm $int A$, $\bar{A}$

Câu $2$: Cho $(X,t)$ là không gian tôpô, $f : X \to R$ là ánh xạ liên tục ( với topo tự nhiên trên $R$ ).CMR ánh xạ $ |f| :X \to R$ được cho bởi $|f|(x)=|f(x)| \forall x \in X$ là ánh xạ liên tục.

Mình không hiểu ý bạn là gì khi xây dựng một topo gồm " tập mở " nên mình cứ làm đại như sau 

Câu $1$ : $a)$ Xét topo gòm tất cả các tập con của $X$ 

$b)$ Hiên nhiên với cách xây dựng này thì bản thân mỗi tập một phần tử sẽ là tập mở nên $A$ mở , tương tự tập bốn phần tử là tập mở nên phần bù nó là tập đóng , tức là $A$ đóng , do đó $A= int A = \overline{A}$

Câu $2$ : Ánh xạ $g=|f| : X \to R$ liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh mọi tập mở của nó sẽ là mở trong $X$ , tương đương với việc $S=|f|^{-1}((a,b))=\left \{ x \in X , |f(x)| \in (a,b) \right \}$ là mở trong  $X$ dĩ nhiên chỉ cần xét $a \geq 0$ , thật vậy $S = \left \{x \in X , a < f(x) < b \right \} \cup \left \{ x \in X , f(x) < -a \right \}$ là hợp hai tập mở do $f$ liên tục , do đó $S$ mở , ta có đpcm




#670456 Xem xét đồng cấu tự nhiên

Gửi bởi bangbang1412 trong 30-01-2017 - 12:51

Cho $X$ là không gian Hausdorff nào đó và $A$ là tập con đóng liên thông đường của $X$ . Nếu có ánh xạ $h : B^{n} \to X$ liên tục sao khi thác triển thì ta được 

$$h_{1} : S^{n} \to A $$

$$h_{2} : int B^{n} \to X - A$$

Là hai song ánh , giả sử  $a \in h(S^{n-1})$ . Hãy xem xét đồng cấu giữa hai nhóm cơ bản $\pi_{1}(A,a)$ và $\pi_{1}(X,a)$ cảm sinh bởi ánh xạ tự nhiên ( inclusion map ) với mọi số tự nhiên $n>0$ 




#670313 $x^{2}+y^{2}=n$

Gửi bởi bangbang1412 trong 29-01-2017 - 10:43

Một câu hỏi khó hơn: Với mỗi $n$ như JUV nhắc đến, phương trình $x^2+y^2=n$ có bao nhiêu nghiệm nguyên $(x,y)$ ?


Gọi $S(n)$ là tổng các $v_{p}$ thì số nghiệm là $2^{S(n)-1}$ dĩ nhiên là các lũy thừa không tính các số $4k+3$


#670192 Giới thiệu về đường cong và đa tạp

Gửi bởi bangbang1412 trong 27-01-2017 - 23:40

Đường cong và đa tạp 

 

 

Một chủ đề đổi gió và đưa các bạn trôi nổi trong toán học ngày đầu năm là ý nghĩ của mình khi viết bài này , chúc toàn thể anh em VMF năm mới mạnh khỏe , may mắn , hạnh phúc , thành công . 

Trong khuôn khổ từ vựng và kiến thức của tôi chỉ có thể giúp các bạn tìm hiểu một phần đến đây , bài viết không hoàn toàn là dịch vì tôi chưa đủ khả năng . Nhưng tôi đã cố gắng hết sức có thể để giúp chúng ta gần gũi với toán học . Xin cảm ơn các bạn và rất cảm ơn một thành viên giấu tên đã giúp tôi hoàn thành công việc này vì lúc nãy xem táo quân xong mới lên tìm bài dịch . :D

Đường cong

Như tiêu đề , đường cong , cong mà lại mịn , khi nói về đường cong là chúng ta sẽ xét đến các đối tượng xoắn xoắn ,tròn tròn , cong cong mà không nói đến mặt phẳng , đường thẳng , hay đường gấp khúc . 

Tính thú vị của đường cong là nó liên tục ( vì vậy mà nhìn mịn ) đa số là mọi điểm có tiếp tuyến . Tôi ví dụ đồ thị $y=|x|$ không phải là đường cong , vì nhìn như sau chắc bạn hiểu ngay :

absval.jpg

tải xuống (3).png

 

Một ví dụ khác là parabol , giống là khi chúng ta nhìn goku bắn chưởng ra vậy , đồ thị của nó có tiếp tuyến tại mọi điểm . Khi $|x|$ càng lớn thì nhìn rất giống tiếp tuyến của nó nhưng không phải , đó là tiệm cận . Độ cong của một đường cong phụ thuộc vào vị trí ta đang xét , nói riêng hơn là tiếp tuyến . Nhưng parabol cong nhất ở điểm chính giữa , ra càng ra tiếp tuyến có vẻ càng nhanh thành " tiệm cận " .

 

osculating_circle.png

 

Một cách khác để xét độ cong là ta nhét các hình tròn bán kính $R$ nào đó vào các khu vực điểm đang xét sao cho đủ lớn và không cắt đường cong . Khi đó $\frac{1}{R}$ là độ cong , bán kính đường tròn càng lớn độ cong càng nhỏ ( dễ tưởng tượng ) . Vấn đề cuối cùng là cái hình tròn ta vừa nhét nằm cùng phía hay khác phía với tiếp tuyến . Nằm trên thì là độ cong âm , bên dưới sẽ là độ cong dương .

Đa tạp 

Thật không khó để tưởng tượng thê nào là đường cong . Tôi tin rằng trong đầu bạn khi nói đến đường cong sẽ nghĩ ngay đến một dòng chảy uống lượn trên mặt giấy màu trắng , nó có thể là đường tròn , hoặc uốn éo như đồ thị hình sin vậy . Vậy một lần nữa chắc sẽ không khó để bạn nghĩ ngay đến một vật thể , có thể là cái cốc , cái bát , .... cũng có thể toán học hơn là hình trụ hoặc hình cầu . Hơn một chút thì là một quả bóng vị lõm , lá cờ bay trong gió , con chuột bạn đang lăn để đọc những dòng này . 

Các nhà toán học và vật lý đang quan tâm đến độ cong của các đối tượng ở chiều cao . Chúng ta đang bị ảnh hưởng bởi : lực hấp dẫn , nó như là độ cong của không thời gian bốn chiều mà chúng ta đang sống ( các chiều còn lại quá nhỏ ) . Nhưng làm thế nào để bạn mô tả độ cong của một cái gì đó lớn hơn hai chiều ? Chúng ta sẽ đến với khái niệm " đa tạp " .

 

250px-Triangles_(spherical_geometry).jpg

 

 

Chúng ta sống trên trái đất và chúng ta biết nó là hình tương đối " cầu " . Nếu trong toán học có thể coi là cầu hẳn , nhưng đa số chúng ta chắc chưa bao giờ tự hỏi có một khái niệm nào giúp ta mô tả phần lớn các vật thể từ không gian thấp đến nhiều không . Về cơ bản não bộ của chúng ta không cho phép ta tưởng tượng ra các vật thể số chiều cao hơn ba , nó không như là hình trụ , cầu hay là đường cong nên có thể ta sẽ cần một khái niệm chính xác hơn để diễn tả chúng . Đó là đa tạp , những ví dụ như đường tròn , trái đất là các đa tạp một và hai chiều . Bạn hãy tưởng tượng này : khi bạn đứng trên bề mặt trái đất bạn cảm thấy nó bằng phẳng , tức là về mặt địa phương nó là hai chiều , nhưng thực tế là ba . Vậy đa tạp có thể coi là các đối tượng về mặt địa phương thì là $n$ chiều nhưng thực chất lại là $n+1$ .

Như đường cong và các mặt , mọi đa tạp đều có độ cong của nó . Tức là cái gì đó liên quan đến tiếp tuyến . Để hiểu hơn về độ cong của nó mà không gặp phải rắc rối nào , người ta nghiên cứu các đa tạp Riemann nơi mà khoảng cách và góc của không gian tiếp tuyến là trơn trên đa tạp . 

Độ cong

 Chúng ta có khái niệm độ cong Gauss . Nó là một khái niệm mang tính nội tại , tức là địa phương . Để xem xét vấn đề đó hãy để một người sống ở khu vực chúng ta cần xem xét độ cong rồi nhờ họ tính tổng ba góc trong một tam giác sau đó so sánh với $180$ . Độ cong dương nếu tổng ba góc một tam giác lớn hơn $180$ độ , độ cong âm và độ cong - không cũng tương tự vậy . Đây là cơ sở phân ra ba loại hình học Hyperbolic , Elliptic và Euclide . 

 

curvature.jpg

 

Tương tự bạn có thể hiểu được độ cong của đa tạp Riemann với số chiều cao , và cách chúng ta nhúng chúng vào các chiều cao hơn . ( một phép nhúng là một đơn ánh từ không gian này vào không gian kia , tôi có thể nói với bạn rằng một số thứ không thể tồn tại ở một số chiều nào đó nhưng lại luôn tồn tại ở chiều cao hơn ) . Có một giải pháp là xét độ cong tại mỗi điểm $x$ , gọi là $R_{x}$ ( na ná như bán kính đường tròn tại một điểm ) . 

Để hiêu được điều này chúng ta cùng đi đến một thứ dễ hình dùng hơn . Một cái bánh đô-nút , có thể gọi là xuyến , hoặc toán học hơn thì là $S^{1} \times S^{1}$ . Nhìn vào hình vẽ dưới đây , khu vực màu xám có độ cong không , màu xanh có độ cong dương , màu đỏ có độ cong âm . Tại các điểm độ cong dương người ta có thể chứa vừa các quả cầu có thể tích lớn hơn các điểm độ cong âm . 

toruscurvaturemap.png

paralleltransport.jpg

Độ cong vô hướng , trường vô hướng là thứ người ta gắn cho đa tạp hai chiều ( tức là một mặt ) . Tuy nhiên trong hai chiều , người ta cần một thứ tương tự nhưng phức tạp hơn nó là tập hợp các vector quanh khu vực điểm đó( bật mí thêm nó là khái niệm đưa ta đến chứng minh định lý điểm bất động Brouwer : mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu vào chính nó phải có điểm bất động ) . 

Nguồn : plus.math.org




#670076 Dãy số Hailstone

Gửi bởi bangbang1412 trong 26-01-2017 - 23:08

Thập niên $1950$ , giới toán học thế giới lưu truyền một hiện tượng toán học kì lạ mà thú vị sau đây : Lấy một số tự nhiên $x$ , nếu là số chẵn thì chia đôi $\frac{x}{2}$ , nếu lẻ thì nhân $3$ rồi cộng $1$ tức là $3x+1$ , cứ tiếp tục như vậy bao giờ cũng sẽ thu được số $1$ .

Chẳng hạn : lấy $x=6$ làm như trên thì $\frac{6}{2}=3,3.3+1=10,\frac{10}{2}=5,5.3+1=16,\frac{16}{2}=8,\frac{8}{2}=4,\frac{4}{2}=2,\frac{2}{2}=1$

Hiện tượng toán học thú vị này gây cảm hứng cho rất nhiều người yêu thích toán học . Một nhá toán học Mĩ nói : "có một thời trong các trường đại học Mĩ , hiện tượng này trở thành hấp dẫn nhất , sinh viên khoa Toán và khoa Máy tính gần như ai cũng nghiên cứu nó . "

Có người hình dung quá trình tính toán là các giọt nước trong mây , dưới tác dụng của luồng không khí trên cao , gặp lạnh nước sẽ đóng băng , thể tích ngày càng lớn , cuối cùng biến thành mưa đá . Rồi cuối cùng biến thành $1$ . Ví vậy người ta đặt cho quá trình này cái tên trừu tượng : ý tưởng " mưa đá " hoặc số " mưa đó " .

Các nhà nghiên cứu phát hiện một cách vừa kinh ngạc vừa mừng vui dù phải thực hiện bao nhiêu phép tính thì cuối cùng vẫn về $ 4 \to 2 \to 1$ . Để kiểm tra nên bắt đầu từ $1.3+1=4,\frac{4}{2}=2,\frac{2}{2}=1$ tức là phải qua $4$ đến $2$ rồi mới đến $1$ .

Giáo viên và sinh viên ở đại học Tokyo ( Nhật Bản ) đã kiểm tra từng số của tất cả các số tự nhiên đến $2^{40}$ vẫn không tìm thấy ngoại lệ , đều kết thúc bằng $4 \to 2 \to 1$ .

Như vậy đây là sự ngẫu nhiên hay một quy luật tất yếu ? Vấn đề này vẫn chưa có câu trả lời thuyết phục .

Sư biến đổi các số tự nhiên ở trên trong thực tế là lặp lại hàm số

$$C(x)=\begin{cases} & \frac{x}{2}\text{ if } x= 2k \\ & 3x+1 \text{ if } x= 2k+1 \end{cases}$$

Vấn dề là , bắt đầu từ một số tự nhiên $x$ bất kì , trải qua phép lặp hàm số $C(x)$ một số lần hữu hạn ( sau đây gọi tắt là lặp $C$ ) , cuối cùng có một nhóm số tuần hoàn $(4,2,1)$ không ?Hoặc nói cách khác là cuối cùng có được $1$ không ?

Có người cho rằng ý tưởng này do L.Collatz đưa ra tại Hội nghị Toán học thế giới năm $1950$ nhưng có người lại nói do B.Thwaiter ( Anh ) , R.V.Andree ( Nga ) , Hans , Neolamu ( Mỹ ), ... đưa ra , chưa ai xác nhận chính xác người đưa ra đầu tiên , do vậy nhiều tài liệu gọi nó là vấn đề $3x+1$ .

Điều lôi cuốn người ta là ở chỗ trong quá trình lặp $C$ hễ gặp lũy thừa của $2$ là bài giải kết thúc , mà lũy thừa của $2$ thì nhiều vô cùng , do vậy người ta cho rằng chỉ cần quá trình lặp $C$ đủ dài nhất định sẽ gặp lũy thừa của $2$ .

Năm $1992$ , G.T.Leavens và M.Vermulen đã kiểm tra các số tự nhiên đến $5,6.10^{13}$ vẫn thấy đúng quy luật .

Vấn đề $3x+1$ thật đơn giản , ngay cả học sinh tiểu học cũng hiểu được , thế mà các nhà toán học , ngay cả các nhà toán học nổi tiếng cũng chưa giải quyết được . Học giả R.K.Guy gọi đây là " Đề toán khó thế giới " và khuyên mọi người không nên toan tính giải quyết vấn đề này . Người ta đưa ra nhiều giải thưởng , số tiền thưởng ngày càng tăng cao hơn nhưng vẫn chưa ai giải quyết được . Đến nay ta tạm chấp nhân cách nói của nhà toán học nổi tiếng Paul Erdos : " Toán học còn chưa đủ chính chắn để giải quyết vấn đề 3x+1" . Có người đề nghị lấy vấn đề $3x+1$ làm bài toán sau định lý lớn Fermat .

Cái khó của vấn đề $3x+1$ là tính phức tạp được biểu hiện ra trong quá trình lặp nhiều lần C . Để thuận tiện khi trình bày ta gọi dãy số khi thu được lặp nhiều lần $C$ đối với số $x$ là dãy số $C$ của số $x$ .

Tính phức tạp của vấn đề trước tiên là tính không quy tắc của độ lớn các chữ trong trong dãy số $C$ . Chẳng hạn , lặp $111$ lần đối với số $x=27$ cuối cùng vẫn được $1$ nhưng dao động lên xuống $42$ lần , Tuy vậy người ta vẫn tìm thấy một " cái gì đó " có tính quy luật trong sự hỗn loạn mất trật tự này .

Nhằm nghiên cứu quy luật dãy số $C$ , người ta đã làm thống kê như sau : Đặt $u,v$ là hai số lẻ thu được liên tiếp trong quá trình lặp $C$ , hiển nhiên $\frac{1}{2}(3u+1)$ vừa có thể là số lẻ vừa có thể là chẵn , hai khả năng này mỗi cái chiếm một nửa $\frac{1}{2}$  . Do đó $u$ qua một lần lặp $C$ thì được số lẻ $v$ , tức là khả năng của $\frac{3u+1}{2}=v$ là $\frac{1}{2}$ , cũng tức là khả năng của $u$ qua một lần thay đổi tăng dần bằng khoảng $\frac{3}{2}(\frac{u}{v} \approx \frac{3}{2})$ ban đầu là $\frac{1}{2}$ . Nhưng khả năng của $\frac{1}{2}(3u+1)$ là số chẵn cũng là $\frac{1}{2}$ . Lúc này thay một lần nữa sẽ được $\frac{1}{4}(3u+1)$ nó vừa là số lẻ cũng có thể là số chẵn . Từ đó $\frac{1}{4}(3u+1)=v$ , tức là khả năng của sự tăng dần bằng khoảng $\frac{3}{4}(\frac{u}{v} \approx \frac{3}{4})$ ban đầu là $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ . Cũng vây , khả năng của $\frac{1}{4}(3u+1)$ là số chẵn cũng là $\frac{1}{4}$ . Thay một lần nữa được $\frac{1}{8}(3u+1)$ nó vừa có thể là lẻ cũng có thể là chẵn . Từ đó $\frac{1}{8}(3u+1)=v$ khả năng của sư tăng dần bằng khoảng $\frac{3}{8}$ ban đầu $\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ . Cứ tiếp tục như vậy , khả năng tăng dần bình quân từ một số lẻ $u$ để được số lẻ $v$ là :

$$r = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}}.(\frac{3}{4})^{\frac{1}{4}}.(\frac{3}{8})^{\frac{1}{8}}...=\frac{3}{4}$$

Điều này chứng tỏ trong quá trình lặp $C$ , khả năng tăng dần bình quân độ lớn của hai số lẻ liên tiếp là $\frac{3}{4}$ , tức là xu thế bình quân tổng thể hạ thấp xuống , do vậy sự lặp $C$ sớm muộn sẽ dẫn đến $1$ . Đây là quy luật mang tính thống kê nhưng quan trọng trong việc chứng minh vấn đề $3x+1$ .

Còn một điều thú vị nữa là : Rất nhiều số tự nhiên liên tiêp có cùng một chiều dài đoạn lặp $C$ như nhau . Chẳng hạn $N = 8s+4,8s+5$ ( $s$ là số tự nhiên túy ý) qua ba lần lặp $C$ đều được $6s+4$ , do đó chiều dài đoạn lặp $C$ của hai số tự nhiên liên tiếp là như nhau . Chẳng hạn $17$ số tự nhiên liên tiếp từ $7083$ đến $7099$ đều có chiều dài đoạn lặp $C$ là như nhau . Năm $1976$ nhà toán học Colunborge người Mỹ lại phát hiện được $52$ số tự nhiên liên tiếp có cùng một chiều dài đoạn lặp $C$ như nhau .

Qua nghiên cứu người ta đã tìm được

+ Khi $x$ là số nguyên dương sẽ xuất hiện tuần hoàn $(4,2,1)$

+ Khi $x=0$ sẽ xuất hiện tuần hoàn $(0)$

+ Khi $x=-1,-2,-3,-4$ sẽ xuất hiện tuần hoàn $(-1,-2)$

+ Khi $x=-5$ sẽ xuất hiện tuần hoàn $(-5,-14,-7,-20,-10)$

+ Khi $x=-6,-7,...-16$ sẽ xuất hiện tuần hoàn $(-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-138,-68,-34)$

+ Khi $x=-17$ sẽ xuất hiện tuần hoàn ( blo bla mọi người tính nhé )

+ Khi $x < -17$ sẽ không xuất hiện tuần hoàn .

Năm $1978$ có người phỏng đoán : Nếu lặp $C$ cho tất cả số nguyên thì chỉ có thể nhận được $5$ loại tuần hoàn nói trên. Người ta kiểm tra cho các số nguyên âm đến $-10^{8}$ thì phỏng đoán này vẫn đúng . Tuy vậy vẫn chưa có một chứng minh cho trường hợp tổng quát .

Người ta lại đưa ra hàm số đơn giản hơn :

$$C(x)=\frac{3x+1}{2^{e(x)}}$$

Trong đó $e(x)$ là các lũy thừa của ước nguyên tố $2$ trong phân tích thành các ước nguyên tố của $3x+1$ .

Trường hợp tổng quát đặt $a,b$ là các số nguyên dương lẻ $a>1$ thì

$$C(x)=\frac{ax+b}{2^{e(x)}}$$

Trong đó $x$ lấy số lẻ dương , nếu lấy $a=3,b=1$ thì về vấn đề $3x+1$ , điều đặc biệt là nếu $(a,b)$ mà khác $(3,1)$ thì lặp $C$ sẽ không xuất hiện số $1$ ( thần kì ! )

Nếu lấy $r= bt$ ( $t$ là số lẻ dương bất kì )

$$C(r).2^{e(r)}=ar+b=(at+1)b$$

Nếu $b>1$ thì tất cả $C(r)$ đều chia hết cho $b$ và như vậy không bao giờ xuất hiên $1$ .

Nếu $b=1$ thi khi $a$ là số chẵn , $C(x)=ax+1$ luôn lẻ và dãy $C$ tăng dần , lặp $C$ không thể có $1$ được . Còn khi $a$ là số lẻ , sẽ tồn tại một số lẻ dương $r$ nào đó mà $C(r)=\frac{ar+1}{2^{e(r)}}$ không xuất hiện $1$

Năm $1978$ , R.E.Crandall đã chứng minh $a=5,181,1093$ thì phỏng đoán nếu trên đúng .

+ Khi $a=5$ thì $C(r)=\frac{5r+1}{2^{e(r)}}$ , lấy $r=13$ thì dãy xuất hiện tuần hoàn $(33,83,13)$ không xuất hiện $1$

+ Khi $a=181$ thì $C(r)=\frac{181r+1}{2^{e(r)}}$ , lấy $r=27$ thì xuất hiện tuần hoàn $(611,27)$ không xuát hiện $1$

+ Khi $a=1093$ thì $C(s) = \frac{1093s+1}{2^{e(s)}}$ , lấy $s= \frac{2^{364p}-1}{1093}$ trong đó $p$ là số tự nhiên bất kì thì $1093s+1=2^{364p}$ vì vậy $e(s)=364p,C(s)=1$

Như vậy đây là nhóm số duy nhất xuất hiện $1$ , còn đối với bất cứ số lẻ dương $s$ khác , lặp $C$ có thể kéo dài vô hạn mà không đạt được $1$ .

Có người đã lấy $a=7$ và thực hiện việc lặp $r=3$ vượt qua số $10^{2000}$ mà vẫn chưa thấy dấu hiệu lặp lại ( tuần hoàn) nào . Xem ra phỏng đoán $7x+1$ rất có thể là chính xác nhưng chưa ai chứng minh được bằng lý thuyết ,

Thập niên $1930$ , khi L.Collatz đang học đại học , ông đã say mê nghiên cứu vấn đề $3x+1$ . Trong cuốn số ghi chép để ngày $1-7-1932$ ông đã nghiên cứu hàm số $F(x)=\frac{2x}{3},\frac{4x-1}{3},\frac{4x+1}{3}$ lần lượt tương ứng với $x$ chia $3$ dư $0,1,2$

Các kết quả tính được cho thấy rằng với $x$ bằng $2,3$ thì sinh ra tuần hoàn $(2,3)$ , với $x=4,5,6,7,9$ thì sinh ra tuần hoàn $(5,7,9,6,4)$ còn $x=8$ thì ông chưa thấy xuất hiên tuần hoàn , mặc dù đã thực hiện khá nhiều phép tính . Vấn đề này được coi là " vấn đề Collatz nguyên thủy " .

Vấn đề ngược lại với vấn đề Collatz nguyên thủy là hàm $G(x)$ xác định

$$G(x) = \frac{3x}{2}$$ khi $x$ chẵn

$$G(x)=\frac{3x-1}{4}$$ khi $x$ chia $4$ dư $3$

$$G(x)=\frac{3x+1}{4}$$ khi $x$ chia $4$ dư $1$ ,

Đang làm nhiều người quan tâm . Tính toán như hàm $F(x)$ ta được bốn nhóm số tuần hoàn $(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59)$ tuy vậy nhóm tuần hoàn còn nữa hay không thì vẫn chưa ai trả lời được .

Trích từ : Tuyển tập những vấn chưa toán học chưa có lời giải - Nguyễn Bá Đô




#670031 KẾT QUẢ KỲ THI VMO 2017

Gửi bởi bangbang1412 trong 26-01-2017 - 19:54

Trần Minh Tiến (chemphymath) khtn được giải ba

Cuối cùng thì thần tượng của tôi cũng chịu chui ra khỏi phòng sau khi luyện đủ vài trăm bí kíp toán 




#669994 Có ai có file hay sách gì về các bài số học về việc chứng minh tồn tại không

Gửi bởi bangbang1412 trong 26-01-2017 - 11:38

Có ai có file hay sách gì về các bài số học về việc chứng minh tồn tại không

Cái này rất khó bạn , không ai đi tổng hợp cái này .