Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#727232 Cơ học lượng tử cơ bản

Gửi bởi bangbang1412 trong 08-11-2019 - 17:37

 

Cơ học lượng tử

 

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.


Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

Hôm nay mình trình bày kĩ hơn định lý giao hoán tử (commutator theorem) và hệ quả của nó là nguyên lí bất định Heisenberg. Như hôm qua đã phát biểu qua, nguyên lí bất định nói rằng ta không thể đo chính xác cả vị trí lẫn xung lượng. Khi quan sát một hệ thì ta phải tác dụng vào hệ ít nhất một photon, do đó gây nên nhiễu loạn. Đối với hệ vĩ mô thì tác động là không đáng kể nhưng điều này có vai trò quan trọng với hệ vi mô. Chẳng hạn để xác định vị trí của một electron ta phải chiếu vào đó một photon: để có thể xác định vị trí electron ta phải dùng photon có bước sóng ngắn. Photon va vào electron gây nhiễu loạn, vì vậy nếu ta đo cả xung lượng thì phép đo sẽ kém chính xác: đo vị trí càng chính xác thì đo xung lượng càng kém chính xác. 

 

Nguyên lý bất định đã phát tín hiệu về sự cáo chung cho giấc mơ của Laplace về một lý thuyết khoa học, một mô hình của vũ trụ hoàn toàn có tính chất bất định: nếu như người ta không thể dù chỉ là đo trạng thái hiện thời của vũ trụ một cách chính xác thì người ta chắc chắn không thể tiên đoán những sự kiện tương lai một cách chính xác! 

 

Vẫn để cho đơn giản, ta xét một hạt chuyển động một chiều trên trục thực $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ không phụ thuộc thời gian. Một trạng thái của hệ gồm một hạt này là một không gian một chiều của không gian Hilbert các hàm giá trị phức $(\mathbb{R} \to \mathbb{C})$ $L^2(\mathbb{R})$ (như phát biểu trong tiên đề). Với mỗi trạng thái $\psi$ ta yêu cầu:

$$\left \| \psi \right \| = \int_{\mathbb{R}} \left | \psi \right |^2=1$$

Kỳ vọng, variance và standard deviation của trạng thái $\psi$

$$\left\{\begin{matrix} \mu_{\psi} = \int_{\mathbb{R}}q \left | \psi(q) \right|^2 dq \\ \text{var}\psi = \int_{\mathbb{R}}(q-\mu_{\psi})^2\left | \psi(q) \right|^2 dq  \\ \text{sd}_{\psi} = \sqrt{\text{var}\psi} \end{matrix}\right.$$

Thậm chí với mỗi trạng thái $\psi$ còn cảm sinh một "tích vô hướng":

$$\mu_{\psi}(G) = \left \langle  G\psi, \psi \right \rangle = \int_{\mathbb{R}}(G\psi)(q)\overline{\psi(q)}dq$$

và như vậy $\text{var}_{\psi}(G) = \left \langle  (G - \mu I)^2\psi,\psi \right \rangle$ và $\text{sd}_{\psi}(G) = \sqrt{\text{var}_{\psi}(G)}$. 

 

Một trạng thái $T$ gọi là observable nếu tồn tại không gian con $D(T) \subset L^2(\mathbb{R})$ trù mật trong $L^2$ mà $T:D(T) \to L^2(\mathbb{R})$ là một toán tử tuyến tính tự liên hợp. Trong số các toán tử ta quan tâm ở đây có toán tử động lượng:

$$G: D(G) \to L^2(\mathbb{R})$$

$$\psi \mapsto -i\hbar \frac{d\psi}{dq}$$

trong đó $D(G)$ là tập tất cả các hàm $\phi$ thuộc $L^2(\mathbb{R})$ mà liên tục tuyệt đối trên mọi tập compact của $\mathbb{R}$ đồng thời $G\phi \in L^2(\mathbb{R})$. Motivation cho định nghĩa này khá lằng nhằng nên mình sẽ bỏ qua, dẫu sao nó không thực sự quá quan trọng. 

 

Với hai toán tử tự liên hợp $S,T$ trong không gian trên cùng một không gian Hilbert phức ta định nghĩa được giao hoán tử $[S,T]=ST - TS$ xác định trên miền $D(ST) \cap D(TS)$. Định nghĩa toán tử $Q\psi(q) = q\psi(q)$ thì bằng biến đổi đơn giản ta có quan hệ Heisenberg:

$$[D,Q] = -i\hbar I$$

 

Định lý: (định lý giao hoán tử) Với hai toán tử $S,T$ tự liên hợp vói domain và range là không gian con của $L^2(\mathbb{R})$ thì ta luôn có:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right | \leq 2\text{sd}_{\psi}(S)\text{sd}_{\psi}(T)$$

Chứng minh:

Đặt $A = S - \mu_{\psi}(S)I, B= T-\mu_{\psi}T$ khi đó dễ thấy $[S,T]=[A,B]$ và $A,B$ cũng là các toán tử tự liên hợp:

$$\mu_{\psi}([S,T]) = \left \langle [A,B]\psi, \psi \right \rangle = \left \langle AB\psi,\psi \right \rangle - \left \langle BA\psi ,\psi \right \rangle =  \left \langle B\psi,A\psi  \right \rangle - \left \langle A\psi,B\psi \right \rangle$$

Như vậy theo bất đẳng thức Schwarz:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right| \leq 2\left \| A\psi \right \|\left \| B\psi \right \|=2\text{sd}_{\psi}(T)\text{sd}_{\psi}(S)$$

 

Hệ quả: (nguyên lý bất định Heisenberg) Trong định lý giao hoán tử nếu $S = G, T = Q$ ta có:

$$\text{sd}_{\psi}(G)\text{sd}_{\psi}(Q) \geq \frac{\hbar}{2\pi}$$

Trường hơp tổng quát và các dạng phát biểu khác có thể tham khảo ngay trên Wiki.( :D đành vậy)

 

Phát biểu chặt chẽ ba tiên đề của một hệ cơ học lượng tử:

 

Tiên đề $1$: (Trạng thái) Trạng thái của một hệ cơ học lượng tử được cho bởi một vector khác không $\psi$ trong một không gian Hilbert phức $\mathfrak{H}$ được trạng bị một tích Hermite.

 

Tiên đề $2$: (Quan sát được) Các trạng thái quan sát được của một hệ cơ học lượng tử là các toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert $\mathfrak{H}$ của nó. 

 

Tiên đề $3$: (Động lực) Có một distinguished observable, Hamiltonian $H$ sao cho tiến hóa thời gian (time evolution) của hệ $\mid \psi(t) > \in \mathfrak{H}$ cho bởi phương trình Schrodinger:

$$i\hbar\frac{d}{dt} \mid \psi(t) > = H  \mid \psi(t)>$$




#727210 Cơ học lượng tử cơ bản

Gửi bởi bangbang1412 trong 08-11-2019 - 00:45

Cơ học lượng tử


Cơ học lượng tử có thể phát biểu bằng nhiều cách, cơ học sóng của Schrödinger, cơ học ma trận của Heisenberg hoặc tích phân đường Feymann. Ở đây hôm nay mình muốn trình bày cơ học lượng tử dựa vào phương trình sóng của Schrödinger. Quay lại với de Broglie với ý tưởng mỗi electron là một sóng và như vậy mọi vật chất đều có hai thuộc tính sóng hạt, không hiểu bằng cách nào mà Schrödinger lại thích thú với ý tưởng này và viết ra phương trình Schrödinger. Trong cơ học Newton ta có phương trình $\vec{F}=m\vec{a}$ thì trong cơ học sóng có phương trình Schrödinger, cho phép mô tả toàn bộ trạng thái vật lý của hệ. Ví dụ phương trình trạng thái lượng tử của hạt tự do với khối lượng $m$
$$i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}$$
ở đây $\hbar$ là hằng số Plank thu gọn $(=h/2\pi)$ hoặc phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian tổng quát
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\textbf{r},t) = \left [-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+ V(\textbf{r},t)\right]\psi(\textbf{r},t)$$
ở đây $\textbf{r}$ là vector vị trí (position vector) và $V(\textbf{r},t)$ là thế (potential) và $\Delta=\nabla^2$ là toán tử Laplace. Thông thường ta quan tâm đến thế không phụ thuộc thời gian thì phương trình Schrödinger sẽ là:
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\textbf{r},t) = \left [-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\textbf{r}) \right]\psi(\textbf{r},t)$$
Ở đây ta chưa tính đến các hiệu ứng tương đối. Bản thân hàm sóng $\psi$ không có ý nghĩa vật lý nhưng Born đã mang lại đột phá với ý tưởng bình phương module của nó có thể hiểu là xác suất tìm thấy hạt nên ta phải chuẩn hóa nó, ví dụ trường hợp một chiều
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \left | \psi(x,t) \right |^2 dx = 1$$
Trước khi đi sâu hơn vào lý thuyết này, ta nên tiên đề hóa nó bằng toán học, ở đây mình chỉ xin phép nêu ra một tiên đề trong số đó vì mình quan tâm hơn tới khía cạnh toán học của nó:

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.

Như vậy tiền đề cho cơ học lượng tử sẽ là đại số tuyến tính và giải tích hàm. Từ đây về sau mình chỉ quan tâm trường hợp một chiều, trường hợp chiều cao hơn "khá tương tự". Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian có thể thu được từ phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian bằng phương pháp tách biến $\psi(x,t)=\phi(x) \sigma(t)$
$$\frac{1}{\sigma(t)} i\hbar \frac{d\sigma(t)}{dt} = \frac{1}{\phi(x)}\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x) \right] \phi(x)=E$$
hằng số $E$ gọi là mức năng lượng của hệ, với phương trình $i\hbar\sigma'(t)=E\sigma(t)$ ta có nghiệm $\sigma(t)=e^{-iEt/\hbar}$ nên việc của ta là giải phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m} + V(x) \right] \phi(x) = E \phi(x)$$
Thông thường trong Vật lý người ta hay viết các toán tử phụ thuộc vào không gian, ví dụ với toán tử động lượng trong trường hợp một chiều $\widehat{p}= -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$
$$\widehat{x} = x, \widehat{p_x} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \ \text{trong không gian tọa độ}$$
$$\widehat{p_x}=p_x, \widehat{x} = i\hbar \frac{\partial}{\partial p_x} \ \text{trong không gian động lượng}$$

Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$
Tiếp theo mình bàn đến hai bài toán cơ bản của cơ học lượng tử, là giếng thế(hữu hạn hoặc vô hạn nhưng ở đây mình quan tâm tới hữu hạn) hữu hạn (finite potential well) và dao động tử điều hòa (harmonic oscillation). Ngoài ra còn có hiện tượng chui hầm - tunnelling effect.

Giếng thế hữu hạn
Xét hố thế hình chữ nhật:


images.png

trong đó $V(x) = 0$ khi $\left | x \right | > a$ và $V(x) = -V_0 < 0$ khi $\left | x \right | < a$ (latex diễn đàn lỗi không chia trường hợp được). Tùy vào mức năng lượng $E$ âm hay dương mà ta tfm được hàm sống ở các khu vực khác nhau, để đơn giản khu vực $x < -a, -a < x < a, a < x$ sẽ được kí hiệu là $(1),(2),(3)$ và hàm sóng tương ứng $\psi_1, \psi_2, \psi_3$, số sóng $k = \sqrt{2mE}{\hbar}, k'=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar^2$. Mình tổng kết các kết quả
Khi $E > 0$:
$$\psi_1(x) = e^{ikx} + Re^{-ikx}, x < -a$$
$$\psi_2(x) = Ae^{ik'x} + Be^{-ik'x}, -a < x < a$$
$$\psi_3(x) = Te^{ikx}, x > a$$
trong đó ta cần các điều kiện tương thích ở các vị trí $x = a, x= -a$ để giải hệ số:
$$e^{-ika} + Re^{ika} = Ae^{-ik'a} + Be^{ik'a}$$
$$ik(e^{-ika} - Re^{ika}) = ik'(Ae^{-ik'a} - Be^{ik'a})$$
$$Ae^{ik'a} + Be^{-ik'a} = Te^{ika}$$
$$ik'(Ae^{ik'a} - Be^{-ik'a}) = ikTe^{ika}$$
và ta giải được hai hệ số:
$$R = ie^{-2ika} \frac{(k'^2 - k^2)\sin(2k'a)}{2kk'\cos(2k'a) - i(k'^2+k^2)\sin(2k'a)}$$
$$T = e^{-2ika}\frac{2k'k}{2kk'\cos(2k'a) - i(k'^2+k^2)\sin(2k'a)}$$
Khi $E<0$ ta có hệ tương tự nên bỏ qua, điểm cốt yếu ở đây là $E > 0$ và $E < 0$ đại diện cho hai bài toán Sturn-Liouville khác nhau của phương trình vi phân thường cấp hai.

Dao động tử điều hòa
Có thể hiểu dao động vật khối lượng $m$ gắn vào lò xo với thế $V(x) = kx^2/2$ với $k$ là hằng số đàn hồi và dao động trên khoảng $[-A,A]$. Tình huống tương tự xảy ra trong cơ học lượng tử, nếu đặt $\omega = \sqrt{k/m}$ ta có phương trình Schrödinger (vẫn là một chiều):
$$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}(\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 - E)\psi(x)$$
khác với cơ học cổ điển, vật chỉ dao động trong vùng bị chặn bởi hai vị trí tường $x = -A, x= A$ và xác suất tìm thấy dao động điều hòa cao nhất ở cạnh hai vị trí này và thấp nhất ở $x = 0$. Năng lượng thấp nhất có thể là $0$ thì trong cơ học lượng tử năng lượng không là không và xác suất tìm thấy hạt (do đặc trưng xác suất của hàm sóng) có thể bên ngoài vùng $[-A,A]$
 

CNX_UPhysics_40_05_well.jpg


bằng cách dùng hai toán tử nâng vào hạ (rising and lowing operators)
$$a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\widehat{x}+\frac{i}{m\omega}\widehat{p})$$
$$a^{\dagger} =\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\widehat{x}-\frac{i}{m\omega}\widehat{p})$$
ta có thể tìm các mức năng lượng của phương trình này (xem thêm ở đây):
$$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar \omega$$
và hàm sóng tương ứng:
$$\psi_n(x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2}H_n(\beta x)$$
trong đó $\beta = \sqrt{m\omega/\hbar}$, $N_n$ là hằng số chuẩn hóa tích phân và $H_n$ là đa thức Hermite thứ $n$

Mình sẽ kết thúc bài này bằng một ví dụ:

Ví dụ: Chứng minh rằng với dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản $(n=0)$, xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển (classically forbidden region) là xấp xỉ $15,8 \%$.

Chứng minh:
Trước tiên ta phải tìm $A$, ở đây ta sẽ dùng trực giác cổ điển, trước tiên hàm sóng ở trạng thái cơ bản:
$$\psi_0(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar}$$
ở các vị trí $A,-A$ (turning points) thì không có động năng nên thế năng bằng năng lượng
$$E_0 = \frac{\hbar\omega}{2} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$
$$\Rightarrow A = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$$
xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển:
$$P = \int_{A}^{+\infty} \left |\psi_0(x) \right|^2 dx + \int_{-\infty}^{-A} \left |\psi_0(x) \right|^2 dx = 2 \int_A^{\infty} \left | \psi_0(x) \right |^2 dx = \frac{1}{A\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}(A - \text{Erf}(A)) \sim 2 \times 7.9 \sim 15.8 \%$$
Ta có đpcm.




#726966 Với lý thuyết phạm trù: Toán học thoát khỏi các đẳng thức

Gửi bởi bangbang1412 trong 29-10-2019 - 23:33

Với lý thuyết phạm trù: Toán học thoát khỏi các đẳng thức

 

Bài dịch rất tâm huyết của bạn Nguyễn Hoàng Khang - lớp K19 tài năng Toán học - Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP.HCM.

 

Nguồn: Tạp chí Quantamagazine.

 

Dấu bằng là nền tảng của toán học. Nó dường như phát biểu một điều hết sức cơ bản và được chấp nhận một cách không phải bàn cãi: những đối tượng này đều giống nhau, đều là một cả mà thôi. 

 

Nhưng càng ngày, càng có một cộng đồng lớn hơn của những nhà toán học coi dấu bằng là một sai lầm cơ bản của toán học. Họ coi nó chỉ là một lớp vỏ bọc dùng để che đậy những thứ phức tạp hơn trong quan hệ định lượng giữa các đối tượng – những thứ phức tạp mang sức mạnh để có thể giải quyết được một số lượng khổng lồ các bài toán. Họ muốn tái xây dựng toán học theo một ngôn ngữ lỏng hơn của sự tương đương.

 

“Chúng ta đã sáng tạo nên khái niệm về sự bằng nhau”, Jonathan Campbell của đại học Duke nói, “đáng lẽ nó đã phải là sự tương đương từ đầu thì tốt hơn”

 

Nhân vật nổi bật nhất trong cộng  đồng này là Jacob Lurie. Trong tháng $7$ vừa rồi, Lurie, $41$, rời khỏi biên chế giáo sư ở đại học Harvard để tới với một vị trí tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study) ở Princeton, New Jersey, nhà của nhiều trong số những nhà toán học được kính nể nhất thế giới.

 

Ý tưởng của Lurie mang tính cách mạng ở một mức độ hiếm thấy trong bất kì ngành nào. Thông qua những cuốn sách mà anh đã phát hành, gồm hàng ngàn trang đặc và đầy tính kĩ thuật, anh đã xây dựng nên một cách tiếp cận mới lạ một cách đáng ngạc nhiên để hiểu một số những khái niệm căn bản nhất trong toán học bằng cách đi vượt lên trên dấu bằng. “Tôi nghĩ anh ấy cảm thấy đây là cách đúng để xem xét toán học,” Michael Hopkins, một nhà toán học tại Harvard và người hướng dẫn của Lurie ở bậc sau đại học, đã nói.

 

Lurie xuất bản cuốn sách đầu tiền của anh, Higher Topos Theory, vào năm $2009$. Cuốn sách dày $994$ trang này được xem như là một cuốn giáo trình về cách xem xét các mảng toán học kinh điển trong ngôn ngữ của “infinity categories” (phạm trù vô hạn). Trong những năm sau đó đến nay, ý tưởng của Lurie đã được đưa vào một số lượng ngày càng rộng các ngành toán học. Nhiều nhà toán học coi nó như một thứ gì không thể thiếu cho tương lai của ngành. “Không ai quay lại một khi họ đã học infinity categories,” John Francis của đại học Northwestern đã nói.

 

lurie-macarthur_15001-1291x1720.jpg

Jacob Lurie, nhà toán học tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study, đã được trao giải thưởng đột phá trong toán học (Breakthrough Prize in Mathematics) trị giá 3 triệu $ vào năm 2014.

 

Nhưng sự lan tỏa của infinity categories cũng đã cho chúng ta thấy những khó khan mà một ngành khoa học đáng tôn kính như toán học phải trải qua mỗi khi nó cố gắng thu nhập một ý tưởng lớn, đặc biệt khi ý tưởng ấy thách thức đến ý nghĩa của những khái niệm quan trọng nhất của nó. “Có một mức độ bảo thủ nhất định trong cộng đồng toán học,” Clark Barwick của đại học Edinburgh nói. “Tôi chỉ không nghĩ có thể mong chờ rằng bất kì một số lượng nhà toán học nào có thể chấp nhận bất kì công cụ gì từ bất cứ đâu trong một thời gian rất ngắn nếu không cho họ được những lí do thuyết phục để nghĩ về chuyện đó.”

 

Dù nhiều nhà toán học đã tiếp nhận infinity categories, một số lượng tương đối ít trong họ đã thực sự đọc công trình dài và cực kì trừu tượng của Lurie một cách hoàn chỉnh. Và cũng vì vậy, một số những công trình dựa trên ý tưởng của anh ấy không được tỉ mỉ và chính xác như chuẩn mực thường thấy trong toán học.

 

“Tôi đã thấy có người nói, ‘Nó ở đâu đó trong công trình của Lurie,’ ” Inna Zakharevich, một nhà toán học ở đại học Cornell, đã nói. “Và tôi nói, ‘Thật à? Cậu đang trích dẫn tới $8,000$ trang chữ.’ Đó không phải là một sự trích dẫn, đó là một sự ngụy biện.”

 

Các nhà toán học vẫn đang vật lộn với cả tầm quan trọng của những ý tưởng của Lurie và cả cái cách khác thường mà nó đã được đề ra. Họ vẫn đang chắt lọc và sắp xếp lại cách trình bày của infinity categories để làm nó dễ tiếp cận với nhiều nhà toán học hơn. Họ đang thực hiện, theo một nghĩa nào đó, việc dịch một văn bản giáo điều thành những luật lệ thông thường hơn. Và trong việc làm như thế, họ đang xây dựng một tương laic ho toán học được xây dựng không phải dựa trên quan hệ bằng, mà dựa trên quan hệ tương đương.

 

Tháp vô hạn của sự tương đương

 

Sự bằng nhau toán học có vẻ như là một ý tưởng gì đó khó phải bàn cãi. Hai hạt đậu cộng một hạt đậu bằng ba hạt đậu. Còn gì để nói về điều ấy nữa đâu? Nhưng những ý tưởng đơn giản nhất có thể là những thứ kém đáng tin cậy nhất.

 

Từ cuối thế kỉ $19$, nền tảng của toán học đã được xây dựng dựa trên những tập hợp của các phần tử đối tượng. Lí thuyết tập hợp cung cấp cho ta những luật, hay tiên đề, để xây dựng và biến đổi những tập hợp này. Một trong những tiền đề, để ví dụ, nói rằng ta có thể thêm vào một tập hợp có hai phần tử với một tập hợp có một phần tử để tạo thành một tập hợp mới có ba phần tử: $2 + 1 = 3$.

 

Nói một cách chính xác, cách mà ta có thể cho thấy hai lượng đối tượng bằng nhau là ghép đôi chúng lại: ghép một hạt đậu ở bên phải dấu bằng với một hạt đậu bên trái dấu bằng. Nhận xét thấy rằng sau khi tất cả các sự ghép đôi đều đã được hoàn tất, không còn có hạt đậu nào đơn lẻ nữa.

 

Lí thuyết tập hợp quan sát được rằng hai tập hợp, mỗi tập hợp có ba phần tử, có thể ghép đôi vừa đủ với nhau, nhưng nó không thể dễ dàng nhận thức được những cách khác nhau mà các phần tử trong chúng có thể ghép đôi. Ta có thể ghép đôi hạt đậu đầu tiên bên phải với hạt đầu tiên bên trái, hoặc ta cũng có thể ghép đôi hạt đậu đầu tiên bên phải với hạt đậu thứ hai sang, và cứ tiếp tục như thế (có tổng cộng sáu cách ghép đôi như vậy). Khi ta nói rằng hai cộng một bằng ba và dừng lại ở đó, ta đang lờ đi những cách khác nhau mà chúng bằng nhau. “Vấn đề là, có nhiều cách để ghép đôi,” Campbell nói. “Chúng ta đã quên mất những cách ấy khi chúng ta nói về sự bằng nhau.”

 

Category_Theory-fig1.jpg

 

Đây là lúc mà quan hệ tương đương lẻn đi vào. Trong khi bằng là một quan hệ cứng nhắc – hai vật chỉ có thể bằng hoặc không bằng nhau – tương đương có thể có nhiều dạng.

 

Khi ta có thể ghép đôi chính xác mỗi phần tử thuộc tập hợp này với một phần tử của tập hợp kia, đó là dạng mạnh của quan hệ tương đương. Nhưng trong một mảng của toán học gọi là lí thuyết đồng luân, hai hình dạng (hoặc không gian hình học) tương đương với nhau nếu ta có thể kéo giãn hoặc nén ép cái này thành cái kia mà không cắt hoặc làm đứt nó.

 

Từ một góc nhìn của lí thuyết đồng luân, một cái đĩa dẹt và một điểm duy nhất trong không gian là tương đương – ta có thể nén ép cái đĩa xuongs thành một điểm duy nhất. Tuy nhiên ta không thể ghép đôi những điểm ở trong cái đĩa với những điểm ở trong điểm. Vì hiển nhiên, có vô số điểm ở trong cái đĩa, nhưng chỉ có một điểm ở trong mỗi điểm.

 

Category_Theory-fig3.gif

 

Kể từ giữa thế kỉ $20$, các nhà toán học đã cố gắng thiết lập một sự thay thế cho lí thuyết tập hợp sao cho ở trong đó, phép toán tương đương sẽ có thể được áp dụng một cách tự nhiên hơn. Vào năm $1945$, các nhà toán học Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane giới thiệu một đối tượng cơ bản mới với quan hệ tương đương được cấy sẵn trong nó. Họ gọi nó là một phạm trù.

 

Các phạm trù có thể chứa bởi bất cứ thứ gì mà ta muốn. Chúng ta có thể có một phạm trù gồm những động vật lớp thú, phạm trù này sẽ chứa tất cả những động vật có long, máu nóng, tiết sữa của thế giới. Hoặc ta có thể tạo phạm trù của những vật thể toán học: tập hợp, không gian hình học hoặc hệ thống số.

 

Một phạm trù là một tập hợp với thêm một thông tin: một sự mô tả tất cả những cách mà hai đối tượng có quan hệ với nhau, gồm mô tả của tất cả những cách mà hai vật thể có thể coi là tương đương với nhau. Ta cũng có thể nghĩ về phạm trù như những vật thể hình học mà mỗi phần tử trong nó được đại diện bởi một điểm.

 

Để lấy ví dụ, bạn hãy tưởng tượng tới bề mặt của một hình cầu. Mỗi điểm trên bề mặt này có thể được thể hiện bởi một hình tam giác nhất định. Đường đi giữa những điểm này thể hiện mối quan hệ tương đương giữa chúng. Dưới góc nhìn của lí thuyết phạm trù, ta quên đi cái cách mà mỗi vật thể được định nghĩa một cách cụ thể và thay vào đó tập trung hơn tới việc một vật thể được đặt trong mối quan hệ như thế nào đối với những vật thể khác cùng loại với nó.

 

Category_Theory-fig2a.jpg

 

“Có nhiều thứ ta coi như là sự vật trong khi thực ra chúng là mối quan hệ giữa các đối tượng,” Zakhaverich nói. “Cụm từ ‘chồng của tôi,’ chúng ta nghĩ tới nó như là một đối tượng, nhưng ta cũng có thể nghĩ tới nó như là một mối quan hệ với tôi. Có một phần nào đó của anh ấy được định nghĩa bởi mối quan hệ của anh ấy với tôi.”

 

Phiên bản của Ellenberg và Mac Lane về lí thuyết phạm trù đã đủ tốt để xem xét những phiên bản mạnh của sự tương đương. Nhưng ở nửa cuối của thế kỉ $20$, nhiều nhà toán học dần bắt đầu nghiên cứu toán bằng những phiên bản yếu hơn của sự tương đương, chẳng hạn sự đồng luân. “Khi toán học trở nên tinh vi hơn, chúng ta không thể tránh khỏi đi đến việc cần những phiên bản yếu hơn của sự giống nhau,” Emily Riehl, một nhà toán học ở đại học Johns Hopkins đã nói. Ở những phiên bản yếu hơn của sự tương đương này, lượng thông tin về các cách mà hai vật được xem là có liên hệ với nhau tăng một cách đáng kể. Phiên bản phạm trù thô sơ của Eilenberg và Maclane không được thiết kế để xử lí vấn đề này.

 

Để thấy cách mà lượng thông tin được tăng lên, đầu tiên ta hãy gợi nhớ rằng hình cầu của chúng ta được biểu diễn bởi nhiều hình tam giác. Hai tam giác là tương đương đồng luân nếu ta có thể kéo dãn hoặc biến dạng hình này thành hình kia. Hai điểm trên một bề mặt là tương đương đồng luân nếu có một đường đi nối giữa chúng. Bằng việc nghiên cứu các đường đi đồng luân giữa các điểm trên một bề mặt, chúng ta thực chết đang nghiên cứu những cách khác nhau mà các tam giác biểu diễn bởi các điểm ấy liên hệ với nhau.

 

CategoryTheory-fig2b.jpg

 

Tuy nhiên, chỉ nói rằng hai điểm được nối với nhau bằng các đường đi như nhau là chưa đủ. Ta cần xem xét sự tương đương giữa những đường đi đó nữa. Tức là ngoài việc xét xem hai điểm có tương đương nhau hay không, ta giờ đây cần đặt câu hỏi hai đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một cặp điểm có tương đương với nhau không – có đường đi nào nối giữa những đường đi đó không. Đường đi nối những đường đi này chính là hình có dạng đĩa được giới hạn bởi hai đường đi ban đầu. 

 

CategoryTheory-fig2c.jpg

 

Ta có thể tiếp tục cứ như thế, hai đĩa được coi là tương đương nếu có một đường đi giữa chúng – và đường đi đó sẽ có hình dạng là một vật thể ba chiều. Những vật thể ba chiều này tiếp tục có thể được nối bởi những đường đi bốn chiều (đường đi nối giữa hai vật thể luôn có chiều cao hơn một so với chính những vật thể).

 

Cuối cùng, ta sẽ tạo được một tháp vô hạn những quan hệ tương đương giữa những quan hệ tương đương. Bằng cách xem xét toàn bộ cấu trúc này, ta tạo ra được một cái nhìn hoàn chỉnh về hai vật thể bất kì mà ban đầu ta chọn biểu diễn bằng điểm trên mặt cầu.

 

“Nó chỉ là một hình cầu thôi, nhưng thật ra thì, để hiểu được hình dạng của hình cầu, theo một nghĩa nào đó ta cần phải xét ra xa đến tận vô cùng,” David Ben-Zvi của đại học Texas, Austin đã nói.

 

Trong những thập kỉ cuối của thế kỉ 2$0$, nhiều nhà toán học nghiên cứu một lí thuyết về “infinity categories” – một thứ gì đó có thể theo dõi được tháp vô hạn các sự tương đương giữa những sự tương đương. Một vài trong số họ đã đạt được những bước tiến đáng kể. Chỉ một người trong số đó đến được đích cuối cùng.

 

Xây dựng lại Toán học

 

Bài báo đầu tiên của Lurie về infinity category không cho thấy nhiều khả quan. Vào ngày $5$ tháng $6$ năm $2003$, năm Lurie $25$ tuổi, anh đăng một bài viết $60$ trang tên “On Infinity Topoi” (về các infinity topo) lên trang web tiền ấn bản arxiv.org. Ở đấy, anh bắt đầu phác thảo những quy tắc mà các nhà toán học có thể sử dụng trong infinity categories.

 

Bài báo đầu tiên này không nhận được sự công nhận rộng rãi. Ít lâu sau khi đọc bài báo, Peter May, một nhà toán học ở đại học Chicago, đã gửi email cho người hướng dẫn của Lurie, Michael Hopkins, để nói rằng bài viết của Lurie có một số ý tưởng thú vị, nhưng nó có vẻ sơ sài và cần thêm tính chính xác.

 

“Tôi trình bày sự e dè của chúng tôi cho Mike, và Mike truyền đạt lại thông điệp đó cho Jacon,” May nói.

 
“Tôi không thể tưởng tượng viết được cuốn Higher Topos Theory, điều mà anh ta thực hiện trong hai hay ba năm, trong cả một đời người.”
Charles Rezk
 
Không rõ rằng Lurie đã coi email của May như là một thách thức hay anh đã có bước đi tiếp theo sẵn trong đầu. (Lurie từ chối nhiều lời thỉnh cầu phỏng vấn về câu chuyện này.) Nhưng có một điều rõ rang rằng sau khi nhận được sự phê bình, Lurie lao vào một quãng thời gian dài nhiều năm với năng suất cao mà giờ đây đã trở thành huyền thoại.
 
“Tôi không sống ở trong bộ não của Jacob, tôi không thể nói chính xác anh ta đã nghĩ gì trong quãng thời gian đó,” May nói. “Nhưng chắc chắn rằng đã có một sự khác biệt lớn giữa bản phác thảo chúng tôi đã phản hồi về và phiên bản cuối cùng, thứ ở một chiều không gian toán học cao hơn hẳn.”
 
Năm $2006$, Lurie công bố draft của cuốn Higher Topos Theory trên arxiv.org. Trong công trình khổng lồ này, anh ta tạo ra hệ thống công cụ cần thiết để thay thế lí thuyết tập hợp với một nền tảng toán học mới, một nền tảng dựa trên infinity categories. “Anh ấy đã tạo ra hàng ngàn trang giấy của thứ nền tảng công cụ mà giờ tất cả chúng ta đều đang dùng này,” Charles Rezk, một nhà toán học ở đại học Illinois, Urbana-Champaign, người hoàn thành những công trình sớm nhất trong lĩnh vực infinity categories, nói. “Tôi không thể tưởng tượng viết được cuốn Higher Topos Theory, điều mà anh ta thực hiện trong hai hay ba năm, trong cả một đời người.”
 
Rồi đến năm $2011$, Lurie tiếp tục công bố một công trình còn dài hơn. Với công trình này, anh ấy phát minh lại đại số.
 
Đại số cung cấp cho ta một bộ quy tắc chính thống đẹp để thao tác với các phương trình. Các nhà toán học rất thường xuyên dùng những quy tắc này để chứng minh những định lý mới. Nhưng đại số thực hiện chức năng của nó qua tiêu chuẩn của dấu bằng. Nếu ta loại bỏ tiêu chuẩn đó và thay nó bằng một thứ gì đó lỏng hơn, một số phép biến đổi trở nên khó hơn rất nhiều.
 
Lấy ví dụ một trong những quy tắc đầu tiên của đại số mà trẻ em học ở trường: tính kết hợp, nói rằng tổng hoặc tích của ba hay bốn số không phụ thuộc vào cách chúng được ghép cặp với nhau: $2 x (3 x 4) = (2 x 3) x 4$.
 
Chứng minh tính kết hợp đúng với một dãy bất kì gồm ba hay nhiều hơn phần tử là dễ khi chúng ta làm việc với quan hệ bằng. Nó là phức tạp thậm chí khi ta làm việc với những phiên bản mạnh của quan hệ tương đương. Khi ta đưa nó về những phiên bản yếu của sự tương đương, với tháp vô hạn đường đi giữa các đường đi của chúng, thậm chí một quy tắc đơn giản như quy tắc giao hoán cũng biến thành một mớ mịt mù.
 
CategoryTheory-fig4.jpg
 
‘Điều này phức tạp hóa mọi thứ một cách đáng kể, theo một góc nhìn nào đó, ta dường như không thể làm việc với phiên bản mới của toán học này mà ta đang hình dung ra,” David Ayala, một nhà toán học ở đại học bang Montana đã nói.
 
Trong Higher Algebra, phiên bản mới nhất của cuốn sách dài tới $1,553$ trang giấy, Lurie phát triển một phiên bản của quy tắc giao hoán cho infinity cantegories – cùng với nhiều những định lý đại số khác, chúng định ra một nền tảng cho toán học của sự tương đương.
 
Hợp tất cả lại, hai công trình của anh đã trở thành những cơn địa chấn, với mức độ ảnh hưởng đủ để bắt đầu cách mạng khoa học. “Tầm vóc của nó lớn khủng khiếp,” Riehl nói. “Nó là một thành tích ngang tầm với cuộc cách mạng trong hình học đại số của Grothendieck.”
 
Tuy thế, các cuộc cách mạng cần thời gian, và như nhiều nhà toán học đã quan sát được sau khi những cuốn sách của Lurie được công bố, những năm tiếp sau đó có thể trở nên hỗn độn.
 
Tiêu hóa con bò
 
Các nhà toán học nổi tiếng là những người suy nghĩ sáng suốt: một chứng minh là đúng hoặc sai, một ý tưởng là hợp lý hoặc không. Nhưng họ cũng là con người, và họ phản ứng với những ý tưởng mới bằng cái cách mà con người thường làm: với ý niệm chủ quan, xúc cảm, và một cảm giác về rủi ro cho bản thân.
 
“Tôi nghĩ nhiều bài viết trong toán học được viết trong ý tưởng rằng các nhà toán học đang tìm kiếm những sự thật trong sáng và rõ ràng,” Campbell nói. “Đó không phải thực sự những gì diễn ra. Họ là những con người với khẩu vị riêng và vùng mà họ cảm thấy thoải mái riêng, và họ sẽ gạt bỏ những thứ họ không thích vì lí do về mặt thẩm mĩ hay lí do cá nhân.”
 
“Nó kiểu giống như một con trăn khổng lồ đang muốn tiêu hóa hết một con bò ấy. Có một khối lượng lớn này đang trôi qua cả cộng đồng.”
Jonathan Campbell
 
Ở phương diện đó, công trình của Lurie đặt lên một thách thức lớn. Về cơ bản, nó là một sự khiêu khích: Đây là một cách tốt hơn để làm toán. Thông điệp này được đặc biệt chĩa thẳng tới những nhà toán học nào đã dành cả sự nghiệp của mình phát triển những phương pháp mà công trình của Lurie biến trở thành lạc hậu.
 
“Có một sự căng thẳng nhất định ở đây khi người ta thường không vui vẻ cho mấy khi thấy thế hệ tiếp theo viết lại công trình của họ,” Francis nói. “Đây là một đặc điểm có ảnh hưởng tới lí thuyết infinity categories, đó là nhiều những công trình trước đó sẽ phải được viết lại.”
 
Công trình của Lurie khó nuốt theo những cách khác. Khối lượng lớn của nó dẫn đến việc các nhà toàn học sẽ cần đầu tư nhiều năm để đọc sách của anh. Đó là một yêu cầu gần như bất khả thi cho những nhà toán học bận rộn ở chặng giữa sự nghiệp của họ, và nó là một thứ mang rủi ro cao đối với sinh viên sau đại học, những người chỉ có một vài năm để đúc kết được những kết quả mà đem lại được cho họ việc làm.
 
Công trình của Lurie cũng mang tính trừu tượng cao, kể cả khi so sánh với bản chất trừu tượng cao của tất cả mọi thứ khác trong toán học cao cấp. Xét theo khẩu vị, nó không phải dành cho tất cả mọi người. “Nhiều người đã coi công trình của Lurie như điều trừu tượng vô nghĩa, và nhiều người hoàn toàn thích thú với nó và làm quen với nó,” Campbell nói. “Và rồi có những phản ứng nửa mùa, bao gồm cả phản ứng hoàn toàn không hiểu gì về nó cả”
 
Cộng đồng khoa học đầy những khi tiếp thu ý tưởng mới, nhưng thường bằng một cách chậm chạp, và theo một hướng cả cộng đồng thực hiện bước tiến cùng nhau. Khi những ý tưởng mới được hình thành, chúng đặt ra một vấn đề cho bộ máy trí thức của cộng đồng. Nhiều thứ được trình bày mới cùng lúc, nó kiểu giống như một con trăn khổng lồ đang muốn tiêu hóa hết một con bò ấy,” Campbell nói. “Có một khối lượng lớn này đang trôi qua cả cộng đồng.”
 
Riehl-Kirk-JohnsHopkins_2000x15001-1720x1290.jpg
Emily Riehl, một nhà toán học tại đại học Johns Hopkins, đang giúp đỡ để định hướng sự phát triển của lý thuyết phạm trù bậc cao.
 
Nếu bạn là một nhà toán học và xem cách tiếp cận của Lurie là một cách tốt hơn để làm toán, một con đường đơn độc nằm ở phía trước bạn. Ít người đã đọc công trình của Lurie, và không có cuốn giáo trình nào chắt lọc nó, và không seminar nào bạn có thể tham dự để có bước đà. “Cái cách mà bạn học về thứ này không gì khác là phải ngồi xuống và tự thân làm lấy,” Peter Haine, một sinh viên sau đại học của MIT, người đã dành một năm để đọc công trình của Lurie, nói. “Tôi nghĩ đó là cái khó. Không những bạn phải ngồi xuống và tự thân làm lấy – mà bạn phải ngồi xuống và tự làm lấy bằng cách đọc $800$ trang sách của Higher Topos Theory.”
 
Như nhiều phát minh mới, Higher Topos Theory yêu cầu các nhà toán học tương tác nhiều với bộ máy đã xây dựng nên nó. Nó giống như việc yêu cầu người muốn có bằng lái xe trước tiên phải học cách tạo ra động cơ xe đã. “Nếu có một phiên bản thân thiện hơn với người đọc, nó sẽ ngay lập tức trở nên dễ tiếp cận hơn cho một cộng đồng toán học rộng lớn hơn.” Dennis Gaitsgory, một nhà toán học ở Harvard, người đã từng cộng tác với Lurie, nói.
 
Khi mọi người bắt đầu đọc công trình của Lurie và dùng infinity categories cho chính việc nghiên cứu của họ, những vấn đề khác nảy lên. Nhiều nhà toán học sẽ viết bài của họ dùng infinity categories. Những người kiểm duyệt ở các tờ báo sẽ nhận chúng và hỏi: Đây là cái gì?
 
“Bạn gặp phải tình huống khi mà [các bài viết] hoặc được gửi lại từ các tờ báo với sự phê bình sai sót đến mức nặng nề và thể hiện một sự hiểu lầm sâu sắc, hoặc chúng mất vài năm để được công bố,” Barwick nói. “Nó có thể khiến cuộc sống của nhiều người trở nên phiền phức vì một bài viết không được công bố và nằm mãi trên website của bạn nhiều năm liền nhìn hơi hài hước.”
 
Nhưng vấn đề lớn nhất không phải là những bài viết không được công bố, mà là bài viết dùng infinity categories và được công bố - nhưng có lỗi sai.
 
Toán học không phải là một cuốn kinh thánh mà chỉ các tu sĩ mới có thể đọc được. Nó cần những tờ rơi cũng như những tàng sách, nó cần những công trình diễn dịch bên cạnh sự phát hiện đầu tiên.
 
Những cuốn sách của Lurie là những văn bản duy nhất và tối cao về infinity categories. Chúng hoàn toàn chuẩn xác, nhưng khó để nắm bắt một cách hoàn toàn. Chúng đặc biệt không phù hợp để dùng làm một cuốn sách hướng dẫn – khó để tìm được những định lý cụ thể, hoặc để kiểm tra một ứng dụng cụ thể của infinity categories mà ta có thể gặp phải trong bài viết của ai đó khác có đúng hay không.
 
“Hầu hết những người làm việc trong ngành chưa đọc công trình của Lurie một cách có hệ thống, “ André Joyal, một nhà toán học ở đại học Quebec ở Montreal, công trình trước đây của ông là một thành phần quan trọng trong sách của Lurie, nói. “Nó tốn nhiều thời gian và công sức, vậy nên chúng tôi kiểu như thừa nhận những thứ trong sách của anh ta là chính xác vì hầu hết những lúc chúng tôi kiểm tra thứ gì đó thì nó đều chính xác. Thật ra là tất cả mọi lúc.”
 
Sự khó tiếp cận của sách của Lurie đã dẫn tới sự sai sót trong một số những nghiên cứu dựa trên nó sau này. Những cuốn sách của Lurie khó đọc, khó để viện dẫn, và khó có thể được dùng để kiểm tra công trình của người khác.
 
“Có thể cảm nhận được một sự bất cẩn trong các bài viết xung quanh chủ đề infinity categories.” Zakharevich nói.
 
Dù tính chuẩn xác của nó, Toán học không phải là một cuốn kinh thánh mà chỉ các tu sĩ mới có thể đọc được. Nó cần những tờ rơi cũng như những tàng sách, nó cần những công trình diễn dịch bên cạnh sự phát hiện đầu tiên. Và ở thời điểm hiện tại, lí thuyết infinity categories vẫn đang tồn tại chủ yếu dưới dạng vài cuốn sách lớn trên kệ sách.
 
“Bạn có thể lấy thái độ rặng ‘Jacob sẽ nói chúng ta phải làm gì, mọi chuyện đều đang ổn,’” Rezk nói. “Hoặc bạn có thể có thái độ rằng ‘Chúng ta chưa biết cách thể hiện vấn đề của chúng ta một cách đủ tốt để người khác có thể tiếp nhận và áp dụng nó.’”
 
Nhưng một số nhà toán học đã thực sự chấp nhận thử thách biến infinity categories thành một kĩ thuật mà nhiều người hơn trong ngành có thể sử dụng.
 
Một lí thuyết thân thiện với người sử dụng
 
Để dịch infinity categories thành những thứ có thể thực sự làm toán, Lurie phải chứng minh các định lý về chúng. Và để làm điều đó, anh phải chọn một môi trường nào đó để tạo ra những chứng minh này, giống như việc ai đó nghiên cứu hình học phải chọn hệ tọa độ để làm việc trong. Các nhà toán học gọi đây là chọn một mô hình.
 
Lurie xây dựng infinity categories trong mô hình quasi-categories. Các nhà toán học trước đây đã từng xây dựng infinity categories ở trong những mô hình khác. Tuy những công trình đó kém đầy đủ hơn của Lurie nhiều, chúng dễ được sử dụng hơn trong một số trường hợp. “Jacob chọn một mô hình và kiểm tra rằng mọi thứ đều đúng trong mô hình đó, nhưng thường đó không phải là mô hình dễ làm việc với nhất,” Zakharevich nói.
 
Lí thuyết phạm trù kiểu như đang tự tạo ra chính nó.
Emily Riehl
 
Trong hình học, các nhà toán học hiểu được chính xác cách chuyển giữa hai hệ tọa độ. Họ cũng đã chứng minh rằng các định lí ở trong hệ này cũng đúng ở trong hệ khác.
 
Với infinity categories, ta không có được sự bảo đảm như vậy. Thế nhưng khi các nhà toán học viết bài dùng infinity categories, họ thường thay đổi giữa các mô hình, thừa nhận (nhưng không chứng minh) rằng các kết quả của họ vẫn giữ tính đúng đắn. “Họ không xác định cụ thể họ đang làm gì, và họ thay đổi giữa toàn bộ các mô hình này và nói, ‘Ồ, như nhau cả,’” Haine nói. “Nhưng đó không phải là một chứng minh.”
 
Trong vòng sáu năm qua, một đội hai nhà toán học đã và đang cố gắng để chứng minh các sự bảo đảm đó. Reihl và Dominic Verity, của đại học Macquarie ở Australia, đang thiết lập một cách mô tả infinity categories vượt lên những khó khăn tạo ra bởi những khuôn mẫu mang tính đặc thù với mỗi mô hình trước đây. Công trình của họ, được xây dựng dựa trên thành quả từ trước bởi Barwick và nhiều người khác, đã chứng minh nhiều trong số những định lý trong Higher Topos Theory là đúng bất kể ta dùng chúng trong mô hình nào. Họ chứng minh tính tương thích này bằng một cách khá phù hợp: “Chúng tôi đang nghiên cứu infinity categories với đối tượng là chính những infinity categories này đây,” Riehl nói. “Lí thuyết phạm trù kiểu như đang tự tạo ra chính nó.” 
 
Riehl và Verity còn hi vọng đưa lí thuyết infinity categories phát triển hơn bằng một cách nữa. Họ đang xác định những mặt nào của lí thuyết infinity categories đúng với bất kì mô hình nào ta đang sử dụng. Cách tiếp cận “độc lập về mô hình” này có tính chất “ăn liền” mà họ mong sẽ hấp dẫn được các nhà toán học tới với ngành, những người có thể đã chọn tránh khi Higher Topos Theory là con đường đi vào duy nhất.
 
“Có một cái hào bạn phải vượt qua để đến với thế giới này,” Hopkins nói, “và họ đang dần hạ chiếc cầu vượt qua nó.”
 
Riehl và Verity mong hoàn thành công trình của họ vào năm sau. Trong khi đó, Lurie gần đây đã bắt đầu một dự án tên Kerodon mà anh muốn như là một giáo trình theo phong cách Wikipedia cho lí thuyết phạm trù cấp cao. Mười ba năm sau khi Higher Topos Theory chuẩn hóa toán học của sự tương đương, những bước đi mới này là một nỗ lực để tinh lọc và khuyến khích những ý tưởng ấy – để làm toán học của sự tương đương được tiếp cận rộng rãi hơn.
 
“Thiên tài có một vị trí quan trọng trong việc phát triển toán học, nhưng thực ra tri thức chính nó lại là thành quả của công sức cả một cộng đồng,” Joyal nói. “Đó là mục tiêu đích thực của tri thức để trở thành tri thức của cả cộng đồng, không phải tri thức của một hay hai người.”



#726131 Shiing-Shen Chern: cha đẻ của hình học vi phân hiện đại

Gửi bởi bangbang1412 trong 04-10-2019 - 22:01

Viết về Shiing-Shen Chern
 
72112955_1738608169617397_71696878589643
Ảnh: Shiing-Shen Chern (trái) và Eugenio Calabi (phải).
 
Lần đầu tiên mình tìm tới wiki giáo sư Chern và khá ngạc nhiên vì một cái wiki đồ sộ như thế, không hề thua kém bất cứ một nhà Toán học được giải Fields nào. Mình với bạn mình khá ngạc nhiên vì một người như thế không được phổ biến rộng rãi lắm (ít nhất mình thấy vậy ở Việt Nam) nên mình mới viết cái này.
 
Để nói về Chern thì ta có thể nói về học trò của ông. Mình kể ba người nổi tiếng là Shing-Tung Yau (giải Fields năm $1982$), Chen Ning Yang (giải Nobel Vật lý năm $1957$) và tỷ phú James Harris Simons ($21,5$ tỷ $). Riêng James Simons đã từng nhắc tới Chern xong bài TED talk của mình và cùng Chern xây dựng lý thuyết Chern-Simons có tiền thân là dạng Chern-Simons và ứng dụng trong lý thuyết Gauge, lý thuyết nút, lý thuyết dây và lý thuyết trường lượng tử topo. (Cái này mình chịu, hỏi mấy ông Vật lý) Trong khi đó Chen Ning Yang đặt thầy mình ngang hàng với Euclide, Gauss, Riemann và Cartan. Chern là học trò của Blaschke và thường xuyên ăn tối với Kahler (nổi tiếng với đa tạp Kahler), dĩ nhiên ông còn có quan hệ với nhiều nhà Toán học lớn khác.
 
Chern bản thân là một nhà Toán học người Mỹ gốc Hoa đã từng làm việc ở nhiều viện nghiên cứu cao cấp trong đó có đại học Chicago (ông từng hợp tác với Andre Weil ở đây) và UC Berkeley. Ông là phó chủ tịch hội Toán học Mỹ, giám đốc và sáng lập viện nghiên cứu Toán Berkeley, sau đó ông sáng lập và làm giám đốc viện nghiên cứu Nam Khai ở Thiên tân. Riêng về giải thưởng ông từng lập giải Wolf và giải Lobachevsky cùng hằng hà xa số các giải khác. Ông cũng là thành viên của vô số hội Toán học và nghê thuật trên khắp nước Mỹ và Trung Quốc. Về mục thành viên và giải thưởng nếu so sánh thô thiển về số lượng chắc chỉ có Terence Tao mới đọ được Chern mục này. Thậm chỉ người ta còn làm thơ ca và phim tài liệu về Chern, thậm giải cả huy chương Chern. Và rằng không biết có ngụ ý gì không khi người ta gọi ông là cha đẻ của hình học vi phân hiện đại, một trong các nhà Toán học lớn nhất thế kỷ $20$ - song song với Grothendieck là cha đẻ của hình học đại số hiện đại và cũng là một trong các nhà Toán học lớn nhất thế kỷ $20$. (Trên wiki thì Grothendieck được ghi là the greatest còn Chern là one of the greatest)
 
Ngoài làm Toán ông còn là nhà thơ và quan tâm tới Triết học (cần nói rằng ông còn là thành viên hội khoa học nghệ thuật). Ông còn là một polyglot, nói được $6-7$ thứ tiếng.
 
Thực sự là trước đó mình đã biết Chern nhưng chưa bao giờ tìm hiểu, do mình học Topo đại số mà đụng đến thể nào cũng dính tới lớp đặc trưng (một trong bốn lớp đặc trưng kinh điển là lớp Chern, lớp Stiefel-Whitney, lớp Pontryagin và lớp Euler mà trong đó lớp Chern có thể coi là "phức hóa" của lớp Potryagin). Hồi đó góc tiếp cận của mình với lý thuyết phân thớ và lớp đặc trưng khá thô thiển, chỉ để tính mấy cái vành đối đồng điều của không gian phân loại của phân thớ chính nào đó (principal bundle) mà hoàn toàn thiếu đi khía cạnh vi phân - vốn nên được học đầu tiên vì khi đi vào đại số thì nó đã bị tiên đề hóa.
 
Ngoài ra công hiến lớn nhất của Chern theo bản thân ông là định lý Chern-Gauss-Bonnet là mở rộng cho đa tạp chiều cao của định lý Gauss-Bonnet. Chính nhờ việc cố gắng mở rộng định lý Gauss-Bonnet mà Chern hợp tác với Weil, từ đó xây dựng lý thuyết Chern-Weil có tiền thân từ đồng cấu Chern-Weil (có ảnh hưởng tới định lý chỉ số Atiyah-Singer). Đồng cấu từ đại số bất biến các đa thức dưới tác động liên hợp tự nhiên của đại số Lie của một nhóm Lie vào vành đối đồng điều De Rham của một phân thớ G-principal. Trong trường hợp G là compact hoặc nửa đơn thì có thể tính vành đối đồng điều không gian phân loại của G (Riêng cái này có vẻ dính ráng tới group cohomology và equivariant cohomology). Hơn nữa dựa vào đồng cấu Chern-Weil có thể đưa ra một cách định nghĩa "vi phân" và practical cho lớp Chern và lớp Pontryagin (hệ số của một đa thức với hệ số là curvature form). Lớp Chern còn có ứng dụng trong hình học đại số và hình học phức - lần đầu khi mình đụng cuốn Hình học phức của David Huybrechts mà tầm $20$ trang đầu đã có đối đồng điều bó và lớp Chern thứ nhất làm mình xây xẩm mặt mày. Ở khía cạnh Vật lý mình thấy người ta đáo nhau nó có ứng dụng trong bất biến Gromov-Witten, đa tạp Calabi-Yau và lý thuyết nút. Again, mình mù mấy cái đao to búa lớn bên Vật lý.
 
Nói dễ hơn thôi, cùng Elie Joseph Cartan thì Chern được coi là master dạng vi phân, đã góp công phổ biến dạng vi phân vào Toán học và Vật lý. Bây giờ thử hỏi ai học hình học vi phân mà không biết dạng vi phân hoặc đối đồng điều de Rham? Ngay từ cấp 3 đã biết dạng vi phân và công thức Stoke rồi nhưng chưa rõ thôi ( :P). 
 
Chern mất năm 2004 sau một cơn đau tim tại nhà ở Thiên Tân ở tuổi $93$ sau cả một cuộc đời cống hiến và đạt được những thành tựu đột phá trong vô số các lý thuyết Toán học, đặc biệt là đặt một trang sử mới cho hình học vi phân hiện đại.
 
Tác giả: Phạm Khoa Bằng - bangbang1412. 
Sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội. 



#724351 $\text{supp}s$ trong lược đồ $\text{S...

Gửi bởi bangbang1412 trong 30-07-2019 - 19:35

Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.


#723368 Bài tập về Commutative Noetherian Rings

Gửi bởi bangbang1412 trong 27-06-2019 - 19:24

Cảm ơn rất nhiều !!!. Tiện có thể xem giùm bài này:

Let R be the polynomial ring $K\left \lfloor X_{1},..., X_{n} \right \rfloor$  over the field K in the indeterminates $X_{1},..., X_{n}$, and let $\alpha _{1},..., \alpha _{n}\epsilon K$. Let $r\epsilon \mathbb{N}$with $1\leq r\leq n$. Show that, for all choices of$t_{1},..., t_{r}\epsilon \mathbb{N}$, the ideal $\left ( \left ( X_{1}-\alpha _{1} \right )^{t_{1}},...,( \left ( X_{r}-\alpha _{r} \right )^{t_{r}} \right )$ of R is primary.

Bài này dùng trực tiếp định nghĩa thôi.




#723322 Bài tập về Commutative Noetherian Rings

Gửi bởi bangbang1412 trong 26-06-2019 - 00:05

Let Q be a P - primary ideal of the commutative Noetherian ring R. Show that there exists $n\epsilon \mathbb{N}$such that  $P^{(n)}\subseteq Q$

Trong vành Noether thì mọi ideal $\mathfrak{q}$ đều chứa một lũy thừa căn của chính nó. Thật vậy gọi $x_1, ... , x_n$ là một hệ sinh hữu hạn của $\sqrt{\mathfrak{q}}$ (có điều này do vành Noether) và $x_i^{n_i} \in \mathfrak{q}$, lấy $n = 1 + \sum (n_i - 1) $. Khi đó $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n$ sinh bởi các phần tử có dạng $\prod x_i^{r_i}, \sum r_i = n$; từ định nghĩa của $n$ có ít nhất một số $r_i \geq n_i$ nên $\prod x_i^{r_i} \in \mathfrak{q}$. Như vậy $(\sqrt{\mathfrak{q}})^n \subset \mathfrak{q}$. Trường hợp $\mathfrak{q}$ là $\mathfrak{p}$ - nguyên sơ là trường hợp đặc biệt do $\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{p}$. 




#722583 Hư Trúc Truyền Kì

Gửi bởi bangbang1412 trong 28-05-2019 - 19:17

 

Kết : Sự nghiệp toán học của June Huh khiến cho người viết có cảm hứng dựa trên motip của Hư Trúc trong Thiên Long Bát Bộ… Nhiều người cứ nghĩ là muốn trở thành nhà toán học giỏi thì cần phải qua trường chuyên, lớp chọn, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, thi đại học thủ khoa hay học trường top đầu đúng chuyên ngành thì nhìn vào June Huh như một minh chứng bạn sẽ thấy điều đó không đúng… Thành công nhất thiết đến từ đam mê và nếu may mắn gặp được chân sư chỉ điểm thì còn gì bằng…
 
Ps : Trong quá trình viết bài này thì chợt thấy trên báo Tia Sáng cũng có bài đề cập tới June Huh, và  tình cờ nhận ra người viết bài là đồng môn trong giới lâu năm chưa gặp. Chúc bạn sức khỏe dồi dào, luôn vui vẻ sống với đam mê của mình.
 
Tham Khảo
1. June Huh trên tia sáng http://tiasang.com.v...c-no-muon-10817
2. Lời giải giả thuyết Read https://arxiv.org/abs/1104.2519
3. Tiểu sủ June Hud https://fr.wikipedia.org/wiki/June_Huh
4. Tiểu sử Heisuke Hironakahttps://fr.wikipedia...eisuke_Hironaka

 

Toán học có dòng chính, gặp thầy khủng và bản thân có khả năng tiềm tàng thì không còn gì bằng.

 

Có một ví dụ khác không đến mức như June Huh, đó là Wieslawa Niziol, giảm đốc nghiên cứu ở CNRS tại ENS de Lyon. Bà này lúc đầu làm khoa học máy tính, nhưng "có vẻ" sau khi gặp Falting thì chuyển hẳn sang làm Toán và lấy Phd ở Princeton. Bà này năm $2006$ là invited speaker ở ICM Madrid về "đối đồng điều động lực p-adic trong số học". (dịch vậy không chuẩn lắm nhưng tạm vậy)




#722565 Chiều của vành đa thức

Gửi bởi bangbang1412 trong 27-05-2019 - 23:14

Với một vành giao hoán có đơn vị $R$ cho trước, kí hiệu $\dim R$ là chiều Krull của $R$. Mình muốn chứng minh rằng khi $R$ là Noether thì $\dim R[x] = 1 + \dim R$ $(*)$

 

Nói chung với bài này mà sử dụng các kĩ thuật của đại số giao hoán (như trong sách Atiyah-McDonald) thì sẽ rất mệt mỏi nên mình lên hỏi vì mong có một cách luồn lách qua đại số đồng điều. Sau đây là hai trường hợp mình biết:

 

+ Khi chiều đồng điều toàn cục $\text{gl.}\dim R < \infty$ và $R$ là vành địa phương khi đó theo một kết quả của Serre thì $R$ là vành địa phương chính quy (regular) hơn nữa khi đó $\dim R =  \text{gl.}\dim R$, khi này theo Hilbert's syzygy (bước sử dụng Hilbert syzygy làm yếu bài toán rất nhiều vì nó không cần điều kiện Noether) thì bài toán được xử lý.

 

+ Lấy giả dụ nữa, khi vành $R$ là chính quy, vành mà địa phương hóa tại mọi ideal nguyên tố là địa phương chính quy, khi đó chiều Krull với chiều đồng điều vẫn trùng nhau và dạng mạnh của Hilbert syzygy vẫn cho ta đpcm. 

 

(Lớp vành chính quy thì mình cũng không biết nhiều, điển hình là trường và miền Dedekind và vành đa thức của vành chính quy thì vẫn chính quy)

 

Vậy nên mình thử đề xuất một câu hỏi:

 

Giả sử $R$ có chiều đồng điều toàn cục là hữu hạn (TH vô hạn cứ xem sau) nhưng "chưa chắc" địa phương liêu có suy ra được $(*)$ bằng một liên hệ nào đó giữa chiều Krull và chiều đồng điều không? 




#722314 Ideal trong vanh giáo hoán

Gửi bởi bangbang1412 trong 17-05-2019 - 14:04

Chứng minh ideal bất khả quy thì nguyên sơ ,ngoài định nghĩa bất khả quy ra thì mình không biết được những tính chất của nó ,có cao thủ nào giúp với

Cái này nói chung không đúng trong vành bất kì, nhưng đúng trong vành Noether. Gọi $R$ là một vành Noether và $\alpha$ là một ideal bất khả quy (tức là $\alpha = \beta \cap \gamma \Rightarrow \alpha = \beta$ hoặc $\alpha = \gamma$). Nói $\alpha$ nguyên sơ (hoặc bất khả quy) tức là nói $(0)$ là nguyên sơ (bất khả quy) trong $R/\alpha$ nên xét một đẳng thức $xy = 0,y \neq 0$ trong $R/\alpha$. Xét dãy annihilator của $x$ thì nó là xích tăng $\text{Ann}(x) \subset \text{Ann}(x^2) \subset ...$; do tính Noetherian nên tồn tại $n$ mà $\text{Ann}(x^n) = \text{Ann}(x^{n+1})$. Bây giờ ta thấy $(x^{n})\cap (y) = 0$ do nếu tồn tại $z \in (x^n) \cap (y)$ thì $z = ay = bx^n \Rightarrow zx = axy = bx^{n+1} = 0 \Rightarrow b \in \text{Ann}(x^{n+1}) = \text{Ann}(x^n) \Rightarrow z = bx^n = 0$. Từ đây do $(0)$ là bất khả quy (giả thiết) và $(y) \neq 0$ nên $x^n = 0$. Nói cách khác $(0)$ là nguyên sơ trong $R/\alpha$.




#722309 Một tài liệu về phạm trù

Gửi bởi bangbang1412 trong 16-05-2019 - 23:30

Mình viết note này về lý thuyết phạm trù ở mức độ cơ bản, sinh viên năm 2 ngành Toán trở lên có thể đọc được.
 
Trong tài liệu này mình chủ yếu đưa ra định nghĩa và ví dụ (rất nhiều ví dụ). Mình chỉ chứng minh đúng ba định lý đó là mọi tiền bó của các tập hợp có thể xem như colimit trong một phạm trù mảnh (slice category) hợp lý, sự liên hợp của vật đơn hình kì dị và hình học hóa, cuối cùng là vật đơn hình kì dị là một phức Kan.
 
Ngoài ra, trong tài liệu có nêu lại những khái niệm cơ bản của các tập đơn hình. Khái niệm phức Kan và đồng điều, đồng luân theo nghĩa đơn hình cũng được trình bày. Hơn thế nữa, mình cũng viết sơ qua về định lý tương ứng Dold-Kan nói rằng phạm trù các vật đơn hình trên một phạm trù abel là tương đương với phạm trù các xích phức trên nó; cặp định lý A,B của Quillen cũng được trình bày.
 
Riêng về phần địa phương hóa và lý thuyết đơn hình thì bản thân mình cũng chưa đi sâu được, nó cần một trực giác rất mạnh để có thể làm việc được. Tuy nhiên mình nghĩ những phần mình viết là ngưỡng cửa đầu tiên nếu ai định học về lý thuyết phạm trù bậc cao và lý thuyết phạm trù mô hình.
 
Vì mới viết xong, nên tài liệu tham khảo và lỗi chính tả chưa được mình chỉnh sửa kĩ lắm (lại đang ôn thi học kì) nên mong mọi người có thấy thì inb lại cho mình. Có cả một số định nghĩa, ví dụ chưa cần thiết mình mới chỉ note lại chứ chưa viết, ví dụ phần giới hạn chưa có nhiều ví dụ lắm trong khi phải là phần nhiều ví dụ nhất.
 
Tài liêu sẽ còn cập nhật thêm. Xin cảm ơn!

File gửi kèm  Basic_category_theory___A_short_note.pdf   350.63K   29 Số lần tải




#720636 Tính số ma trận có rank bằng m?

Gửi bởi bangbang1412 trong 04-03-2019 - 16:44

Gọi $\mathbb{F}_q$ là trường hữu hạn có $q$ phần tử, trong đó $q=p^r$ với $p$ là một số nguyên tố và $r$ là một số tự nhiên.

Tính số ma trận $A$ trong $M_n(\mathbb{F}_q)$ thỏa mãn $rank(A)=m.$

http://www.math.clem...nkRMatrices.pdf




#720325 Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$ Ch...

Gửi bởi bangbang1412 trong 18-02-2019 - 23:56

Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$

Chứng minh: $A^{2}=0$

Gỉa sử các ma trận bạn đang xét là trong trường số phức. Trước tiên ta lấy vết hai vế $tr(A) = tr(AB)-tr(BA) = 0$. Theo định lý Cayley-Hamilton ta có:

$$A^2 + det(A) = 0$$

Như vậy ta cần chứng minh $det(A) = 0$. Giả sử ngược lại $c=  det(A) \neq 0$. Tiếp đó từ $A = AB - BA \Rightarrow A(E - B) = -BA \Rightarrow det(B - E) = det(B)$ tiếp tục như vậy ta có $det(B) = det(B-E)=det(B-2E)=...$ như giả sử $B$ có bốn entries là $a,b,c,d$ thì $(a-n)(d-n)-bc = ad - bc \forall n > 0 \Rightarrow a+d = n \forall n > 0$ đây là điều vô lý. Tức là $det(A) = 0$ nên $A^2 = 0$.




#719057 Cuộc thi Toán học do công ty Dytechlab tài trợ

Gửi bởi bangbang1412 trong 03-01-2019 - 21:36

Chào các bạn đây là một cuộc thi toán học do công ty dytechlab tài trợ và kỳ thi warmup trước cuộc thi chính thức sắp bắt đầu, các bạn theo dõi tại https://contest.dytechlab.com/ nhé. 
 
Giới thiệu chung:
- Đúng như cái tên của nó đây là cuộc thi thử trước sự kiện chính thức với tổng giải thưởng $16$ triệu đồng và nhiều phần quà đặc biệt hấp dẫn sẽ chỉ được công bố trước khi kỳ thi chính thức diễn ra.
- Contest warmup cũng khá quan trọng vì kết quả sẽ được tính vào kỳ thi chính thức.
 
Luật:
- Mỗi câu hỏi chỉ được trả lời tối đa $10$ lần.
- Với mỗi câu hỏi lần trả lời cuối sẽ được coi là chính thức và được chấm sau khi cuộc thi kết thúc.
- Đề thi là đề chuẩn bằng tiếng Anh nhưng các bạn có thể viết bằng tiếng Việt để giảm thiểu thời gian trình bày cũng như tránh sai sót trong câu chữ.
- Nếu bạn chỉ ghi đáp số sẽ được $0$ điểm, nếu cách làm đúng mà sai đáp số sẽ chỉ được $10-20$ phần trăm số điểm.
- Những bài thi được coi là phạm luật như viết bậy, $2$ user submit giống nhau sẽ bị xử phạt như không tính điểm, trừ điểm, ban user tùy vào hình thức vi phạm.
 
Giải thưởng:
-Top $50$ của cuộc thi này sẽ được cộng $5$ điểm trực tiếp trong kỳ thi chính thức ngoài ra $2$ người có số điểm bằng nhau trong kỳ thi chính thức sẽ phân hạng bằng cuộc thi warm up này.
 
Thời gian:
Bắt đầu $13$ giờ (giờ Việt Nam - GMT+$7$) Chủ Nhật ngày $6$ tháng $1$ năm $2019$.
Kết thúc $17$ giờ (giờ Việt Nam - GMT+$7$) Chủ Nhật ngày $6$ tháng $1$ năm $2019$.
 
Đăng ký:
 
Bắt đầu $13$ giờ (giờ Việt Nam GMT+$7$) thứ Năm ngày $3$ tháng $1$ năm $2019$.
Kết thúc $17$ giờ (giờ Việt Nam - GMT+$7$) Chủ Nhật ngày $6$ tháng $1$ năm $2019$.
 



#718488 Biểu đồ Ven về định hướng nghề nghiệp.

Gửi bởi bangbang1412 trong 17-12-2018 - 22:39

Trước tiên em phải xác định em sẽ theo đuổi đam mê hay theo tiền nhiều hơn, về ví dụ bản thân anh thì anh không hứng thủ kiếm tiền nhiều lắm mà tập trung đam mê hơn. Em học tốt toán và đam mê hình học mà định chọn nghề theo kiểu này anh có hai gợi ý. Một là em tiếp tục học Toán ở tầm cao hơn và nghiên cứu + giảng dạy ở các đại học hoặc ra nước ngoài. Hai là em dùng khả năng hình học của mình cống hiến cho nền luyện thi olympic nước nhà và thu về bộn tiền. (dĩ nhiên cách đầu tiên khả năng cao là em nghèo hơn vì học tốt chưa chắc nghiên cứu tốt)

 

Bản thân anh (cá nhân thôi) không thích mấy người chuyên Toán mà học y, vì nếu muốn vào y sao không học chuyên Hóa, chuyên Sinh đi? Hơn nữa cái từ chuyên bây giờ nó cũng lạm dụng, chuyên nào giờ cũng tà tà chung chung như nhau, việc mấy thằng chuyên Toán học dốt toán hơn chuyên Hóa là bình thường