Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

#718024 Topo học và lý thuyết đồng luân

Gửi bởi bangbang1412 trong 01-12-2018 - 00:16

Mình post thêm phần này riêng, hai bài viết mình từng đăng trên facebook về trực giác topo, nói chung không hay nhưng tạm tạm:

+ https://www.facebook...76202615857959/

+ https://www.facebook...71615622983325/

Bạn nào muốn học topo có thể email mình chúng ta có thể trao đổi, tuy mình không giỏi nhưng nếu đi trước thì mình có thể giúp đỡ, đồng thời có hai bài viết của mình trên blog cá nhân:

+ Một số topic bắt đầu.

+ Sách topo mình sử dụng.

Email: [email protected]


#718013 Topo học và lý thuyết đồng luân

Gửi bởi bangbang1412 trong 30-11-2018 - 19:42

Mình đã rất đắn đo không biết nên viết bài viết này vì nó khá trừu tượng nhưng mong bạn đọc hãy kiên nhẫn để khám phá những mô tả sơ khai đầu tiên của một trong những lý thuyết lớn nhất thế kỉ $20$, Topo đại số.

 

Topology

 

Konigsberg_bridges.png

Bản đồ khu vực cầu Königsberg.

 

Thế kỉ $18$, cụ thể vào năm $1736$ thì Leonhard Euler đưa ra một bài báo về bài toán bảy cây cầu ở Königsberg. Sau đó năm $1750$ ông phát hiện ra công thức $V - E + F = 2$ cho các đa diện lồi. Đánh dấu sự bắt đầu của ngành topo. Các thế hệ nhà Toán học tiếp theo như Riemann, Betti, Cauchy, Noether, ... cũng đã có những đóng góp rất đáng kể.

 

Nhưng phải thật sự tới bài báo Analysis Situs của Henri Poincare năm $1895$ thì topo đại số mới chính thức trở thành một ngành nghiên cứu sống động và trở thành một trong các chủ đề chính của Toán học thế kỉ $20$. Trong bài báo này ông giới thiệu nhóm cơ bản, đồng luân, đồng điều, đồng thời đưa ra những mô tả đầu tiên về đối ngẫu Poincare và giả thuyết Poincare (một trong bảy giả thuyết thiên nhiên kỉ, được giải bởi Griogi Perelman năm $2006$). 

 

Sau này người ta phát triển thành hai hướng làm topo chính là: topo đại số và topo vi phân. Như hai cái tên thì một bên sử dụng công cụ của đại số và một bên sử dụng các công cụ của giải tích để tấn công những vấn đề khác nhau. (trong bài viết này mình viết chính về topo đại số)

 

Nền tảng của bất kì loại topo là topo đại cương, nhưng được xây dựng hoàn toàn bởi lý thuyết tập hợp dựa trên cơ sở là tổng quát hóa không gian metric cho những nhà giải tích. (có lẽ vậy mà Grothendieck từng muốn tìm kiếm một lý thuyết topo khác) vậy nên nếu bạn muốn học nó thì chỉ cần một chút giải tích là được. 

 

Khái niệm đồng phôi và phân loại không gian

 

Các khái niệm của topo như đã nói dựa hoàn toàn vào lý thuyết tập hợp, một trong các khái niệm quan trọng nhất của nó là khái niệm ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo $f: X \to Y$ (bạn đừng quá quan trọng từ không gian, và ánh xạ liên tục về cơ bản nó giống khái niệm ánh xạ liên tục ở bậc THPT), nói nôm na ánh xạ liên tục là một cách co dãn vật thể một cách liên tục nhưng không cắt, rách, thủng nó. Khi bạn có hai không gian $X,Y$ và hai ánh xạ liên tục $f:X \to Y$ và $g: Y \to X$ sao cho $f(g(y))=y,g(f(x))=x \forall x \in X, y \in Y$ thì ta gọi $X,Y$ là đồng phôi. Tức là bạn có thể gọi chúng bằng cùng một cái tên, chúng có thể biến đổi liên tục về nhau như hình sau:

 

Mug_and_Torus_morph.gif

Cốc có quai và bánh vòng.

 

Vì lẽ đó người ta hay gọi các nhà topo học - topologists là những người không phân biệt được cái cốc có quai với một cái bánh vòng. Hình sau thì lại đồng phôi với hình cầu mặc cho việc bạn có thể tưởng tượng được được không: ( chứa phần đặc bên trong)

 

download.png images.jpg

Cầu sừng Alexandre và quả cầu thông thường.

 

Bài toán quan trọng và khó nhất trong topo có lẽ là bài toán phân loại không gian topo chính xác tới một đồng phôi, tức là cho trước hai không gian $X,Y$ người ta hỏi liệu rằng hai không gian này có đồng phôi với nhau không? Nhưng như bạn đã biết và có thể cảm nhận, việc chỉ dựa vào lý thuyết tập hợp mà làm việc này thì gần như là bất khả thi vì vậy người ta đưa các bất biến đại số hoặc bất biến giải tích vào. Nếu ở cấp THPT khi bạn làm toán tổ hợp chắc từng gặp bất biến - vậy bất biến ở đây hiểu theo một nghĩa giống hệt. Tức là những thứ, những tính chất không thay đổi sau một phép đồng phôi. 

 

Một số ví dụ về các bất biến đơn giản:

 

- Giống của không gian, nói nom na bạn có thể hiểu là số lỗ thủng trên bề mặt không gian, một hình có hai lỗ thủng thì không thể đồng phôi với một hình có ba lỗ thủng, ví dụ như sau:

 

download (1).jpg download.jpg

$2$-torus và $3$-torus.

 

- Tính định hướng được, ví dụ quá nổi tiếng mà các bạn học sinh thường thấy là dải Mobius thì không đồng phôi với mặt cầu:

 

download (2).jpg 220px-Sphere-wireframe.png

Dải Mobius và mặt cầu.

 

- Đặc trưng Euler cho đa diện là một loại bất biến.

 

 Giả thuyết nổi tiếng Poincare phát biểu một điều kiện để một đa tạp (một loại không gian topo khá đẹp đẽ) đồng phôi với mặt cầu ba chiều. Nó dựa vào một bất biến đại số là nhóm cơ bản - một trong các khái niệm cơ bản của ngành topo đại số.

 

Đi vào các bất biến của topo đại số

 

Bạn đọc có lẽ đừng vội hoảng sợ với các thuật ngữ, cứ bình tĩnh đọc tiếp nhé!

 

Việc phân loại không gian topo chính xác tới một đồng phôi có vẻ là điều bất khả thi nên người ta muốn làm yếu nó đi một chút, lúc này ta có một kiểu định nghĩa khác gọi là cùng kiểu đồng luân, và đưa ra các bất biến cho đồng luân. Lý thuyết đồng luân tập trung vào việc phân loại không gian chính xác tới một đồng luân, tức là xem xét khi nào hai không gian đồng luân với nhau.

 

- Có vài bất biến trong topo theo nghĩa sơ khai như: tính liên thông, liên thông đường; tính compact. 

 

- Một số bất biến đại số:

 

+ Các nhóm đồng điều $H_{0},H_{1},H_{2},...$ đo độ thủng ở một số chiều nhất định của không gian.

 

+ Các nhóm đối đồng điều $H^{0},H^{1},H^{2},...$ là một phiên bản khác của đồng điều.

 

+ Các nhóm đồng luân $\pi_{0},\pi_{1},\pi_{2},...$ , cụ thể là nhóm cơ bản $\pi_{1}$ mà mình đã nhắc ở trên, vậy nhóm cơ bản là gì?

 

Chú thích:

 

+ Nhóm là một đối tượng đại số được nhà Toán học Galois sử dụng để giải bài toán nổi tiếng về việc không giải được của phương trình bậc cao hơn $4$.

 

+ Các đối tượng mà mình nêu gọi là các hàm tử. Sauder MacLane là một nhà topo học sáng tạo ra lý thuyết phạm trù & hàm tử để mô tả topo và cùng với lý thuyết tập hợp mô tả lại các đối tượng trong Toán học một cách có hệ thống. Người ta hay gọi phạm trù các không gian topo, phạm trù các nhóm, .... vì mục đích quy gộp một số đối tượng và liên kết giữa chúng. Bạn có thể tham khảo bài dịch đang dở của mình & bạn mình ở đây

 

Nhóm cơ bản và nhóm đồng luân cấp cao

 

Trước tiên bạn đọc hãy lấy một tờ giấy, lấy hai điểm $x,y$ trên tờ giấy rồi vẽ một đường vòng vèo từ $x$ tới $y$ miễn là không nhấc bút khỏi giấy, một đường như vậy trong ngôn ngữ topo là một cung(path). Toán học hơn, một cung từ $x$ tới $y$ là một ánh xạ liên tục $f: [0,1] \to X$ sao cho $f(0)=x,f(1)=y$. Nếu bạn chịu khó tưởng tượng thì sẽ mường tượng ra việc đoạn thẳng $[0,1]$ bị bẻ cong rồi gán hai đầu $0 \mapsto x, 1 \mapsto y$ sau đó nhét vào không gian $X$. Bây giờ với hai cung từ $x$ tới $y$ được biến đổi liên tục tới nhau thì người ta gọi chúng đồng luân với nhau:

 

HomotopySmall.gif

Hai cung đồng luân với nhau

 

Trong một không gian, nếu cứ hai điểm $x,y$ bạn lại có một cung, thì người ta gọi không gian là liên thông cung hoặc liên thông đường. Như kiểu có một đường từ nhà bạn tới nhà bạn trai - bạn gái bạn trên nước Việt Nam này ấy. Việc hai vị trí trong một không gian có một đường chia không gian này thành các lớp liên thông cung, tức là thành những khu vực riêng biệt không thể nối với nhau, như hình sau với ba khu vực liên thông:

 

images.png

Rõ ràng từ một điểm trong hình tròn này bạn không thể nối tới một điểm trong hình tròn khác mà không cắt biên.

 

Tập hợp các khu vực liên thông cung tạo thành bất biến cơ bản nhất, nhóm đồng luân thứ $0$, $\pi_{0}(X)$

 

Sau đó, trong một không gian, bạn chỉ xét các cung tại một điểm $x$ cố định như theo quan hệ đồng luân, tức là hai cung đồng luân nhau ta coi nó là một. Tập hợp các lớp tương đương này gọi là nhóm cơ bản của không gian $X$ tại $x$, kí hiệu $\pi_{1}(X,x)$. Nó có một cấu trúc đại số khá thú vị, cấu trúc nhóm, tức là bạn có thể đem nhân hai cung với nhau như sau: bạn có hai cung đi từ $x$ tới chính nó $x$, kí hiệu cung $\alpha,\beta$. Khi đó bạn tưởng tượng $x$ là nhà bạn, còn $\alpha$ là việc bạn đi từ nhà tới quán nhậu với bạn bè rồi quay về trong vòng $1h$, trong khi đó $\beta$ là đi chơi với bạn gái ở một khu vực khác cũng trong $1h$. Bình thường thì bạn chỉ làm một việc, nhưng hôm nay bạn nhân hai việc $\alpha \times \beta$ vào thành một việc khá mạo hiểm: $1/2h$ đầu bạn đi từ nhà ra chỗ anh em nhậu rồi quay lại nhà sắm sửa cho thơm tho sạch mùi bia rồi lại từ nhà ra chỗ hẹn với bạn gái xong quay về nhà trong $1/2h$ tiếp theo. (giả sử thôi)

 

Chú ý: Trong ngô ngữ Toán học thì với $\alpha:[0,1] \to X,\beta:[0,1] \to X, \alpha(0)=\alpha(1)=\beta(0)=\beta(1)=x$ thì $(\alpha \times \beta)(x) = \alpha(2x)$ nếu $x \in [0,1/2]$ và $\beta(2x-1)$ nếu $x \in [1/2,1]$. Phép nhân này không giao hoán $\alpha \times \beta \neq \beta \times \alpha$, bạn thử giải thích bằng ví dụ của mình ấy!

 

Có trong tay hai đối tượng $\pi_{0}(X),\pi_{1}(X,x)$ bạn sẽ hỏi liệu các nhóm $\pi_{n}(X,x), n \geq 2$ hình thù như thế nào. Vâng rất đơn giản thôi, lấy ví dụ $\pi_{2}(X,x)$ là nhóm đồng luân thứ hai của $X$ tại $x$. Bạn lấy một hình vuông $[0,1] \times [0,1]$ thay vì đoạn thẳng $[0,1]$ và xét tất cả các ánh xạ liên tục từ $[0,1] \times [0,1]$ vào $X$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông $(0,0);(0,1);(1,0);(1,1)$ đều được ánh xạ tới $x$. Điều này na ná việc bạn túm bốn đỉnh của một tấm vải cứng hình vuông vào một điểm rồi ném nó vào trong $X$ là một cái hộp. Tương tự khi $n=1$ thì nhóm này $n=2$ có phép nhân và quan hệ đồng luân cũng phức tạp hơn nhiều. 

 

Tương tự ta có các nhóm $\pi_{n}(X,x) \forall n \geq 2$. Điểm khác biệt là khi $n \geq 2$ thì phép nhân này giao hoán, mô tả bằng hình vẽ sau trong trường hợp $n=2$:

 

images (1).png

 

chúng được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao, đóng vai trò quan trọng trong Topo đại số và lý thuyết đồng luân nói chung và riêng. 

 

Một cuộc đau đầu tập thể từ thế kỉ $20$ tới nay

 

Giáo sư Ngô Bảo Châu trên blog cá nhân từng viết:

 

Có ai đi hết mặt cầu

Đồng luân mấy nẻo về đâu hết đời.

 

Cuộc đau đầu tập thể của các nhà topo học - topologists là làm sao tính được nhóm đồng luân của mặt cầu $S^{2}$, tức là nhóm đồng luân của hình $5$ ấy bạn đọc! Và nói chung hơn nữa là nhóm đồng luân thứ $m$ của mặt cầu $n$ chiều, $\pi_{m}(S^{n},x)$. Rất nhiều công cụ hiện đại đã được sinh ra để giải quyết cuộc đau đầu tập thể này. Tuy nhiên nó vẫn tiếp diễn, thậm chí người ta còn không biết được các tập hợp này có bao nhiêu phần tử dù hầu hết chúng là hữu hạn.

 

hott_spheres.png

Bảng một số nhóm đồng luân của các mặt cầu số chiều thấp.

 

Nhà Toán học trẻ nhất từng được giải thưởng Fields (ở tuổi $27$), Jean Pierre Serre nhận giải này do một công trình về dãy phổ Serre, từ đó kết hợp với các không gian Eilenberg-Mac lane ông tính ra một số khá lớn các nhóm đồng luân của mặt cầu và xem xét khi nào các nhóm này là hữu hạn hay không (định lý hữu hạn Serre).

 

Dĩ nhiên, nếu mai mốt bạn tính được hết các nhóm này thì rất nhiều người sẽ ngả mũ chào bạn, và việc giải Fields trao vào tay sẽ là tất yếu! (rất nhiều giải Fields đã được trao cho các công trình về topo)

 

Ứng dụng của Topo nói chung

 

Mình không chuyên về các ngành nhỏ hơn hoặc đủ khả năng đi sâu vào các đối tượng rộng hơn nhưng cũng nêu ra một số ứng dụng trong các ngành khác:

 

- Computer science:

 

  + Topological data analysis (TDA): phân tích dữ liệu topo, một ngành sử dụng công cụ từ lý thuyết topo đại số,  và ứng dụng ngược lại vào lý thuyết Morse của topo vi phân. Về những ứng dụng khác trong công nghệ bạn đọc tham khảo ở đây.

 

  + Homotopy type theory: lý thuyết loại đồng luân.

 

- Biology: nhận các ứng dụng trực từ lý thuyết nút (knot theory) về các chuỗi DNA và dĩ nhiên lý thuyết nút là một chuyên ngành của topo.

 

- Physics: 

  

 + Topological quantum field theory: lý thuyết trường lượng tử topo, tính toán các bất biến topo.

 

 + Calabi-Yau manifolds in string theory: phân loại các đa tạp Calabi-Yau trong lý thuyết dây.

 

 + Spacetime topology: topo không thời gian.

 

 + Low-dimensional topology in physics: đa tạp số chiều thấp trong vật lý.

 

- Robotics: lấy các kết quả từ lý thuyết đồng luân để có được các kết quả trong hệ thống động học sử dụng cho robot.

 

Tác giả: Phạm Khoa Bằng - bangbang1412.

K$62$ Cử nhân tài năng Toán học - đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.




#717875 Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết...

Gửi bởi bangbang1412 trong 27-11-2018 - 17:30

Cấu trúc và cấu xạ 

 

Weil đã hiểu nhầm Mac Lane và đánh giá thấp phương pháp của lý thuyết tập hợp. Weil giả sử rằng nếu các cấu trúc là các tập hợp thì các cấu xạ bắt buộc phải là các ánh xạ. Có hàng tá ví dụ thỏa mãn mô hình này. Một nhóm $G$ là một tập hợp với phép nhân và một cấu xạ $f: G \to H$ là một ánh xạ bảo toàn phép nhân. Nói cách khác thì phép nhân là thuận biến với các cấu xạ nhóm. Một không gian topo $S$ là một tập hợp được trang bị một số tập mở và cấu xạ là các hàm liên tục - ánh xạ liên tục, nghĩa là ánh xạ $f: S \to T$ mà dội ngược lại các tập mở. Nghịch ảnh $f^{-1}(U)$ của mọi tập mở của $T$ là mở trong $S$. Tập mở là phản biến với các ánh xạ liên tục. Tuy nhiên Mac Lane đã sớm biết rằng cấu xạ phải mang tính tổng quát hơn trong thực hành.

 

Đầu tiên, tồn tại các biến đổi trau chuốt hơn các ánh xạ như các hàm đo được, xuất hiên nổi bật ở cơ học lượng tử. Một cuốn giáo trình đầu tiên sẽ định nghĩa một hàm đo được là một hàm dội lại các tập đo được một cách giống như các ánh xạ liên tục và các tập mở. Nhưng lý thuyết vẫn dựa trên một thực tế mà các nhà triết học ngày nay vẫn nhắc tới:"không gian $L^{2}$ của các hàm bình phương khả tích từ $\mathbb{R}$ vào $\mathbb{C}$ [ tích phân như một tích vô hướng ] là một ví dụ điển hình của các không gian Hilbert (Hellman[$2005$], p.$536$). Kết luận này cần việc "hai hàm $f$ và $g$ của lớp các hàm này được đồng nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau hầu khắp nơi (Stone[$1932$], p.$23$). Điều này suy ra $f$ và $g$ hầu như bằng nhau trừ ra một tập có độ đo không. Các kĩ thuật về không gian Hilbert là trọng tâm. Khái niệm về sự đồng nhất các hàm này là hoàn toàn tự nhiên trong các giáo trình. Rất nhiều nhà toán học đã nghĩ các hàm đo được một cách tự nhiên như vậy - điều mà những nhà lý thuyết tập hợp sẽ gọi là lớp tương đương của các hàm. Sách của Stone tuân theo điều này và Mac Lane đưa nó vào năm $1936$.

 

Hình học đại số của Weil đã đưa ra các ví dụ kĩ lưỡng hơn rất nhiều. Ông ấy đã giới thiệu một cấu xạ $f: X \to Y$ từ một không gian $X$ vào một không gian $Y$ như một "danh sách" các cấu xạ vành tương thích $f^{*}_{i,j}: R_{Y,j} \to R_{X,i}$ theo chiều ngược lại, từ vành tọa độ $R_{Y,j}$ trên các bản vá của $Y$ đến vành tọa độ $R_{X,i}$ trên các bản vá tương ứng của $X$. Thật sự, một cấu xạ không gian đại số là một lớp tương đương các "danh sách" như vậy, thông qua một quan hệ tương đương hợp lý. Các trường hợp đặc biệt đã có từ nhiều thời kì (Weil[$1946$]). Một giáo trình gần đây chú thích rằng các cấu xạ trong hình học đại số không là các ánh xạ và nói "sinh viên nào không tán thành thì nên từ bỏ ngay và thay vào đó học một khóa lý thuyết phạm trù" (Reid[$1990$], p.4).

 

Hơn nữa, Eilenberg và Mac Lane sử dụng từ "cấu xạ" thậm chí không dựa trên ý tưởng về các ánh xạ. Ví dụ, các số thực lập thành một phạm trù với cấu xạ là các bất đẳng thức - quan hệ thứ tự. Vì vậy $\sqrt{3} \leq \pi$ là một cấu xạ từ $\sqrt{3}$ vào $\pi$ mặc dù nó không có chức năng gì (Eilenberg and Mac Lane [$1945$], pp.$272$ff). 

 

Tất cả các cấu xạ mà không là ánh xạ được xử lý dễ dàng trong lý thuyết tập hợp. Nhưng chúng không là các ánh xạ. Ý tưởng của Weil cần một số lượng bất cả thi các mở rộng. Ta phải xử lý các hàm riêng ( không biết partial function dịch là gì nhỉ?), lớp tương đương của các hàm riêng, một "danh sách"-tập hợp các hàm với chiều bị đảo, ... Điều này là hoàn toàn không thể xảy ra. Không có một giới hạn nào có thể gán cho các thiết bị như kiểu các cấu xạ trong thực hành.

 

Xem xét ý tưởng ngược lại, Eilenberg và Mac Lane gọi mọi thứ là một cấu xạ, bất kể nó là ánh xạ hoặc được xây dựng từ ánh xạ hoặc không liên quan đến ánh xạ, nếu như nó thỏa mãn các tiên đề phạm trù sau:

 

- Mỗi cấu xạ có một vật $A$ gọi là miền và một vật $B$ gọi là đối miền và viết $f: A \to B$.

 

- Cấu xạ $f: A \to B$ và $g: B \to C$ chung một đối miền và miền có thể lấy hợp $gf: A \to C$. Phép lấy hợp là kết hợp nên $h(fg)=(hf)g$ với mọi $h: C \to D$. 

 

- Mọi vật $A$ có một cấu xạ đồng nhất $1_{A}: A \to A$ thỏa mãn $f1_{A}=1_{B}f=f \forall f: A \to B$.

 

Phạm trù $\mathbb{Set}$ có vật là các tập hợp và ánh xạ theo nghĩa thông thường $f: A \to B$ là các cấu xạ. Các đa tạp đại số của Weil là các vật của phạm trù với các cấu xạ tương đối phức tạp. Các số thực trong $\mathbb{R}$ lập thành một phạm trù với vật là các số và cấu xạ là các bất đẳng thức $x \leq y$. Cấu xạ đồng nhất $x \leq x$ và phép hợp $x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$. Nhiều ví dụ và giải thích có trong Mac Lane ([$1986$], pp.$386-9$).  




#717671 Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết...

Gửi bởi bangbang1412 trong 20-11-2018 - 22:42

Đóng tạm cái Topic ở đây, từ thứ $5$ sẽ đăng một Series $12$ phần về "Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết học của Toán học."

 

Giới thiệu:

 

- Saunders Maclane, cùng với Samuel Eilenberg là hai người sáng lập ra lý thuyết phạm trù, một ví dụ nữa là các không gian Eilenberg-Maclane $K(G,n)$'s

- Doctoral advisor của Maclane là Hermann Weyl.

- Ông có các học trò rất nổi tiếng như Roger Lyndon, Irving Kaplansky, David Eisenbud, John Thompson ...

- Một cuốn sách nổi tiếng của ông là Category for working mathematician. - ( mình chưa bao giờ học phạm trù ở cuốn này ).

 

:D Mình nghĩ đôi khi lịch sử là cái rất hay để kích thích việc học Toán. Hy vọng mình sẽ làm series này đều đặn.




#717515 Tại sao nhiều bài toán BĐT thế ?

Gửi bởi bangbang1412 trong 15-11-2018 - 20:27

Thật sự thì BĐT đem lại gì đó rất thú vị, cuốn hút.

Ở Việt Nam mình tuy chưa áp dụng nhiều nhưng nó là chủ đề được bàn mãi. 

Xét ở mức độ đơn giản thì tìm ra những BĐT để tối ưu gì đó theo mình thấy rất hay.

BĐT đối với phổ thông, nếu muốn làm được hầu như tất cả đề thì mình nghĩ là đã giành rất nhiều thời gian cho nó, thậm chí là cả năm ôn luyện BĐT.

Thời gian thay đổi cũng không rõ BĐT đã thay đổi như thế nào trong chương trình học, chỉ biết nó vẫn là một tượng đài :)

Con lạy ông!




#717140 Mong mọi người cho em kinh nghiệm học tốt Toán cao cấp

Gửi bởi bangbang1412 trong 02-11-2018 - 17:40

Học toán cao cấp thì theo kinh nghiệm của mình là phải làm bài tập nhiều, mà nói chung các môn toán đa số là phải làm bài tập nhiều, chỉ có cày bài tập thì mình mới hiểu lý thuyết. Chứ học toán cao cấp mà cứ ngồi đọc lý thuyết để hiểu được thì chỉ có đi vào rừng rậm thôi. Mà bạn thi vào sư phạm toán chắc chắn trình học toán cũng không ít kinh nghiệm, thế mà lại không gỡ được. Ngày trước mình mới học nghe thầy giảng rồi đọc mấy cuốn toán cao cấp chẳng hiều gì luôn, nhưng khi bắt tay vào cày bài tập xem người ta giải mới bắt đầu vỡ lẽ dần ra được.

Em thì thấy ngược lại với bác, em toàn đọc cả tá, đọc hết, đọc nát sách xong em chỉ làm $1,2$ bài. Nói chung tùy gu mỗi người.




#716506 Số nhóm con có chỉ số hữu hạn

Gửi bởi bangbang1412 trong 12-10-2018 - 16:37

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, thì số nhóm con có chỉ số $n$ trong $G$ là hữu hạn.

 




#716245 $m_{f}( \bigcup_{i=1}^{\infty} B...

Gửi bởi bangbang1412 trong 03-10-2018 - 00:15

Giả sử $f \geq 0$ là một hàm không âm khả tích trên mọi tập đo được Jordan. Khi đó ta đặt:

 

$$m_{f}(B) = \int_{B} f = \int_{B} f.\chi_{B}$$

 

Trong đó $\chi_{B}(x)=1 \forall x \in B$, $\chi_{B}(x)=0 \forall x \in B^{c}$ là hàm đặc trưng của $B$. Chứng minh rằng nếu cho một họ các tập $B_{1},B_{2},...B_{n},...$ đôi một rời nhau sao cho $B_{i},\bigcup_{i=1}^{\infty} B_{i}$ đo được Jordan thì:

 

$$m_{f}( \bigcup_{i=1}^{\infty} B_{i} ) = \sum_{i=1}^{\infty} m_{f}(B_{i})$$




#716053 $G$ - CW complex

Gửi bởi bangbang1412 trong 27-09-2018 - 11:46

Hi, mình đang quan tâm tới vấn đề phân thớ phổ dụng. Các bạn biết rằng hàm tử $G$ - phân thớ $Prin_{G}$ được biểu diễn qua không gian phân loại $BG$. Tức là có một tương ứng $[X , BG] \to Prin_{G}(X)$ với mọi nhóm topo $G$ và không gian topo $X$. Mình đang muốn chứng minh rằng mọi $G$ - phân thớ $p:E \to B$ trong đó $E$ là aspherical ( tức là $\pi_{n}E = 0 \forall n \geq 0$ ) là một phân thớ phổ dụng.

 

Chứng minh cần đưa ra khái niệm $G$ - CW complex, nói nôm na là một $G$ - space và một CW complex structure mà compatible. Nhưng trong hầu hết các chứng minh tác giả để chứng minh pull-back map $[X,B] \to Prin_{G}(X)$ là surjective thì

 

$1)$ Giả sử $X$ có kiểu đồng luân của một CW-complex

 

$2)$ pick một principal bundle $P \to X$ với $P$ là $G$- CW complex rồi chứng minh tồn tại $f : X\to B$ mà $f^{*}(E) \cong P$.

 

Vậy mình muốn hỏi một chứng minh mạnh hơn cho trường hợp kiểu đồng luân bất kì cho $X$ và $P$? Các bạn trình bày được ngắn gọn thì tốt quá. Hoặc có lecture note cho mình cũng được. 




#715796 Sir Michael Atiyah đưa ra chứng minh mới cho giả thuyết Riemann

Gửi bởi bangbang1412 trong 20-09-2018 - 22:15

Ơ em tưởng cái up trên fb là meme; hóa ra thật à :D :D

Nit a meme but,

Btw, Sir Atiyah đã khá già, và thời gian gần đây đưa ra nhiều cm sai; nhưng dù sao vẫn cứ hy vọng.




#715775 Sir Michael Atiyah đưa ra chứng minh mới cho giả thuyết Riemann

Gửi bởi bangbang1412 trong 20-09-2018 - 17:59

Ở đường link sau: https://www.heidelbe...org/event_2018/

 

Gọi là Heidelberg Laureate, gồm một loạt các đại gia sừng sỏ, bao gồm $10$ huy chương Fields: Zelmanov, Figalli, Peter Scholze, Birkar, Ngo Bao Chau, Faltings, Atiyah, Wendelin Werner, Margulis, Shigefumi Mori.... thì Sir Atiyah trong thời gian 9:45-10:30 ngày 24/9 sẽ báo cáo chứng minh giả thuyết thiên nhiên kỉ Riemann.

 

Cụ thể: 

 

Title: The Riemann Hypothesis

 

Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from $1859$. I will present a new simple proof using a radically new approach. It's based on work of von Neumann ($1936$), Hirzebruch ($1954$), Dirac ($1928$).

 

Cực kì phấn khích vì tin này dù chưa biết sẽ ra sao.




#715767 $x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}...

Gửi bởi bangbang1412 trong 20-09-2018 - 12:49

Cho $x_{1}=a,y_{1}=b;
và x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2};
y_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}$
Tìm lim $x_{n},y_{n}$

Dãy số này nói chung chỉ biết được rằng giới hạn tồn tại và $\lim x_{n} = \lim y_{n}=L$ còn không biểu diễn được dưới dạng hàm sơ cấp của $a,b$. Xét tích phân sau:

 

$$I(a,b) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{\sqrt{a^{2}\cos^{2} \phi + b^{2} \sin^{2} \phi}}$$

 

Ta sẽ chứng minh rằng:

 

$$I(a,b) = I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})$$

 

Thực hiện phép đổi biến sau mang tên Gauss:

 

$$\sin \phi = \frac{2a \sin \psi}{(a+b)+(a-b)\sin^{2} \psi}$$

 

Dễ kiểm tra rằng $\phi \in [0,\frac{\pi}{2}] \Leftrightarrow \psi \in [0,\frac{\pi}{2}]$, sau đó vi phân hai vế:

 

$$\cos \phi d\phi = \frac{2a \cos \psi [ a+b-(a-b)\sin^{2} \psi] d\psi}{(a+b)+(a-b)\sin^{2} \psi}$$

 

Khi đó nếu $x_{1}=\frac{a+b}{2},y_{1}=\sqrt{ab}$ ta có:

 

$$\sqrt{x_{1}^{2}\cos^{2} \psi + y_{1}^{2} \sin^{2} \psi} d \phi = a \frac{a+b-(a-b)\sin^{2} \psi}{a + b + (a-b)\sin^{2}\psi} d \psi = \sqrt{a^{2}\cos^{2} \phi + b^{2}\sin^{2} \phi} d \psi$$

 

Từ đó ta có $I(a,b)=I(x_{1},y_{1})$, vậy tiếp tục ta có

 

$$I(a,b)=I(x_{n},y_{n}) \forall n \in \mathbb{N}$$

 

Ta mong muốn:

 

$$I(a,b) = \lim I(x_{n},y_{n}) = I( \lim x_{n},\lim y_{n}) = I(L,L) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{L} = \frac{\pi}{2L}$$

 

Khi đó $$L = \frac{\pi}{2I(a,b)}$$ và ta thấy tích phân $I(a,b)$ là một dạn tích phân elliptic không có biểu diễn sơ cấp. Ta còn phải chứng minh sự hội tụ đều của tích phân $I(a,b)$.

 

Đặt $u_{n}=\sqrt{x_{n}^{2}\cos^{2} \phi + y_{n}^{2}\sin^{2} \phi}$:

 

Ta sẽ chứng minh $\forall \epsilon > 0 \exists N_{\epsilon}$ mà:

 

$$sup_{[0,\frac{\pi}{2}]} |\frac{1}{u_{m}} - \frac{1}{u_{n}}| < \epsilon \forall m,n \geq N_{\epsilon}$$

 

Ta có nhận xét sau, do $x_{n},y_{n}$ hội tụ nên nó là dãy Cauchy, và bị chặn bởi một số dương $M$. Ngoài ra ta còn có bất đẳng thức $\alpha cos^{2}x + \beta sin^{2}x \geq min(\alpha,\beta)$:

 

$$|\frac{1}{u_{m}}-\frac{1}{u_{n}}| \leq \frac{|x_{m}-x_{n}||x_{m}+x_{n}| + |y_{m}-y_{n}||y_{m}+y_{n}|}{(min(x_{n}^{2},y_{n}^{2})+min(x_{m}^{2},y_{m}^{2}))(min(x_{m}^{2},y_{m}^{2}))(min(x_{n}^{2},y_{n}^{2}))} << \epsilon$$

 

Lưu ý rằng có thể giả sử $inf min(x_{n}^{2},y_{n}^{2}) >0$ nên ta có dpcm. Tóm lại không tính được giới hạn này theo $a,b$ một cách sơ cấp.

 

$$\lim x_{n} = \lim y_{n} = \frac{\pi}{2}(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\phi}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}\phi+b^{2}\sin^{2}\phi}})^{-1}$$

 

Thảo luận này do thầy Ngô Quốc Anh đưa ra tại lớp K62 Tài năng Toán ĐHKHTN HN. 




#715617 Giải Abel $2018$

Gửi bởi bangbang1412 trong 16-09-2018 - 15:49

https://drive.google...BdoTlfK7t2/view

Không biết bạn nào lấy bài mình lên THTT, cảm ơn bạn nhưng lần sau cũng thông báo cho diendantoanhoc.net nhé.

 




#715510 ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi bangbang1412 trong 13-09-2018 - 20:25

Thông báo: BQT mở thêm đợt tuyển ĐHV các vị trí ĐHV THCS, THPT, Olympic, Đại học.




#715188 $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$

Gửi bởi bangbang1412 trong 04-09-2018 - 21:21

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$

Bạn tham khảo ở đây nhé.