Đến nội dung

bangbang1412

bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 03:52
****-

#742100 CM: nếu $A\in M_{3\times 2}(\mathbb{R...

Gửi bởi bangbang1412 trong 11-11-2023 - 03:32

Với Weinstein–Aronszajn identity, có được $\det\left ( 1+ A^{T}A \right )= \det\left ( 1+ AA^{T} \right )$.
Tiếp theo bởi Singular value decomposition, lại có được $A= U\Sigma V^{T}, A^{T}= V\Sigma^{T}U^{T}$,
$\Rightarrow 1+ A^{T}A= V\left ( \Sigma\Sigma^{T}+ 1 \right )V^{T}, 1+ AA^{T}= U\left ( \Sigma\Sigma^{T}+ 1 \right )U^{T}$ ($V$ unitary, $\det\left ( VW \right )= \det\left ( WV \right )= \det W$).
Lời giải bài toán Least-squares không phải duy nhất ($\det\left ( AA^{T} \right )= 0$), vì $\det\left ( 1+ AA^{T} \right )= \det\left ( 1+ A^{T}A \right )= \det\left ( 1+ \Sigma\Sigma^{T} \right )$.

Thú thật là mình không hiểu bạn viết gì, bạn cứ ném một đống link vào rồi bắt người ta đọc, đã thế còn không giải thích thêm gì, không giới thiệu thuật ngữ đấy là còn chưa nói tới việc những kiến thức bạn sử dụng là quá nhiều để giải một bài toán như thế này nên thậm chí nó có đúng, đấy là một lời giải tệ.

 

Lời khuyên, tập viết các chứng minh đơn giản và ngay ngắn trước khi cứ đi lượm link trên stack.




#742098 $rank(A+B) \le rank(A) + rank(B)$

Gửi bởi bangbang1412 trong 11-11-2023 - 01:29

Xem mỗi ma trận như một ánh xạ tuyến tính thì hạng của nó là số chiều của ánh xạ tuyến tính liên kết.

  • Ta có $\mathrm{rank}(f+g) \leq \mathrm{rank}(f) + \mathrm{rank}(g)$ do $\mathrm{Im}(f+g) \subset \mathrm{Im}(f) + \mathrm{Im}(g)$ và $\dim(V+W) \leq \dim(V) + \dim(W)$.
  • Ta có $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(f)$ do $\mathrm{Im}(f \circ g) \subset \mathrm{Im}(f)$. Để chứng minh $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(g)$ ta sẽ chứng minh $\mathrm{Ker}(g) \subset \mathrm{Ker}(f \circ g)$ nhưng điều này là dễ dàng cho $g(x) = 0 \Rightarrow (f \circ g)(x)=0$.



#741660 Chứng minh tính chất của hợp 2 ánh xạ

Gửi bởi bangbang1412 trong 08-10-2023 - 16:45

a) $\exists x_1,x_2 \in X: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1 = x_2$.

b) $\exists y_1,y_2 \in Y: g(y_1)=g(y_2) \Rightarrow \exists x_1,x_2\in X: f(x_1)=y_1 \wedge f(x_2)=y_2 \Rightarrow h(x_1)=h(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \Rightarrow y_1=y_2$.

c) $\forall \ y \in Y \Rightarrow g(y) \in Z \Rightarrow \exists x \in X: h(x) = g(y) \Rightarrow g(f(x))=g(y) \Rightarrow f(x)=y$.




#741535 f,g liên tục, f(x)=g(x) với x hữu tỷ trong đoạn [a.b] thì f(x) = g(x) với x t...

Gửi bởi bangbang1412 trong 26-09-2023 - 22:45

Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.




#741332 Bó bướng bỉnh là gì?

Gửi bởi bangbang1412 trong 08-09-2023 - 09:22

Anh tự nhiên thấy dịch là “bó gai” rất hợp (lúc này “perversity” sẽ dịch là “gai”), nhưng không biết mọi người nghĩ sao.
Một câu hỏi toán học: anh đoán monoidal structure của constructible derived category phải cảm sinh một monoidal structure trên phạm trù các bó perverse (cơ chế của cái cảm sinh này có trong Higher Algebra của Lurie, mình có thể trình bày kỹ hơn trong câu trả lời khác), nhưng mà dường như cấu trúc này không có ích lợi gì? Không biết ấn tượng này có đúng không.

Ban đầu lúc nghĩ ra đối đồng điều giao thì MacPherson và Goresky muốn đặt nó là "obstinate" do nảy sinh một sự cố là một số đối chu trình cứ nhất quyết không chịu giao hoành nhau. Nhưng từ obstinate không hợp lý theo ngôn ngữ của họ, nên họ để tạm là perverse rồi định đổi tên sau, cơ mà chưa kịp đổi tên thì đã nổi tiếng sau bài báo của Bernstein, Beilinson, Deligne.

Theo em biết thì không có cái monoidal structure nào được cảm sinh cả, bó perverse chỉ ổn định dưới tác động của đối ngẫu Verdier thôi.


#741326 Bó bướng bỉnh là gì?

Gửi bởi bangbang1412 trong 07-09-2023 - 21:22

Một bó bướng bỉnh... là gì?

 

Bởi Mark Andrea de Cataldo và Luca Migliorini

 

Các đa tạp được định nghĩa bằng cách dán các tập con mở của không gian Euclide. Các dạng vi phân, các trường vector, vân vân, được định nghĩa một cách địa phương và sau đó được dán để sinh ra một đối tượng toàn cục. Khái niệm bó là hiện thân của ý tưởng dán. Các bó được sinh ra theo nhiều cách: các bó của các dạng vi phân, của các trường vector, của các toán tử vi phân, các bó hằng và hằng địa phương, vân vân. Một bó hằng địa phương (một hệ địa phương) trên một không gian $X$ được xác định bởi đơn đạo của nó, i.e., bởi một biểu diễn của nhóm cơ bản $\pi_1(X,x)$ trong nhóm các tự đẳng cấu của thớ tại $x \in X$: bó của các định hướng trên dải Möbius gán $-\operatorname{Id}$ tới các phần tử sinh của nhóm cơ bản $\mathbb{Z}$. Một bó, hoặc thâm chí một cấu xạ giữa các bó, có thể được dán lại từ dữ liệu địa phương của nó: đạo hàm ngoài có thể xem như một cấu xạ giữa các bó của các dạng vi phân; việc dán là khả thi bởi vì đạo hàm ngoài độc lập với việc chọn các toạ độ địa phương.

Lý thuyết bó được hoàn thiện hơn bằng các xét các phức của các bó. Một phức của các bó $K$ là một họ các bó $\left \{K^i \right \}_{i \in \mathbb{Z}}$ và các cấu xạ $d^i: K^i \longrightarrow K^{i+1}$ thoả mãn $d^2 = 0$. Bó đối đồng điều thứ $i$ $\mathcal{H}^i(K)$ là $\operatorname{Ker} d^i/ \operatorname{Im}  d^{i+1}$. (Bó hoá của) Phức de Rham $\mathcal{E}$ là phức với các thành phần là các bó $\mathcal{E}^i$ của các $i$-dạng vi phân và các vi phân $d^i: \mathcal{E}^i \longrightarrow \mathcal{E}^{i+1}$ được cho bởi đaọ hàm ngoài của các dạng vi phân. Bằng bổ đề Poincaré, các bó đối đồng điều đều bằng không, ngoại trừ $\mathcal{H}^0 \simeq \mathbb{C}$, bó hằng.

Định lý de Rham, phát biểu rằng đối đồng điều của một bó hằng bằng với các dạng đóng modulo các dạng khớp, dẫn tới việc rằng $\mathbb{C}$ và $\mathcal{E}$ là không thể phân biệt một cách đối đồng điều với nhau, thậm chí tại mức địa phương. Nhu cầu đồng nhất hai phức chứa thông tin đối đồng điều giống nhau thông qua một đẳng cấu dẫn tới khái niệm của phạm trù dẫn xuất: các vật là các phức và các mũi tên được thiết kế để đạt được các sự đồng nhất như mong muốn. Phép nhúng các phức $\mathbb{C} \subseteq \mathcal{E}$ được thăng hạng theo sắc lệnh lên một đẳng cấu trong phạm trù dẫn xuất bởi vì nó cảm sinh một đẳng cấu ở mức của các bó đối đồng điều.

Trong khi phạm trù dẫn xuất đưa vào một lớp dày sự trừu tượng, nó mở rộng phạm vi và tính linh hoạt của lý thuyết. Ta định nghĩa các nhóm đối đồng điều của một phức và thác triển các toán tử thông thường của tô-pô đại số lên các phức của các bó: các kéo lùi, các đẩy xuôi, các tích cup và cap, vân vân. Cũng có một phiên bản tổng quát cho đối ngẫu của các phức, tổng quát hoá đối ngẫu Poincaré cổ điển.

Các bó bướng bỉnh tồn tại trên các không gian có kì dị: các không gian giải tích, các đa tạp đại số, các không gian PL, các giả-đa tạp, vân vân. Để dễ dàng trình bày, chúng ta hạn chế xuống các bó của các không gian vector trên các đa tạp đại số phức và xuống các bó bướng bỉnh liên quan đến cái được gọi là tính bướng trung tâm (tạm dịch từ middle perversity). Để tránh đụng đến các nghịch lý như các bó được định giá trên tập Cantor, chúng ta áp đặt thêm một điều kiện kĩ thuật được gọi là tính khả dựng (tạm dịch từ constructibility). Nhắc lại rằng phạm trù $D_X$ của các phức khả dựng bị chặn của các bó trên $X$ nằm trong phạm trù dẫn xuất và ổn định dưới nhiều toán tử tô-pô vừa nhắc tới ở trên. Nếu $K$ nằm trong $D_X$, chỉ một số hữu hạn các bó đối đồng điều của nó khác không và, với mọi $i$, tập hợp $\mathrm{supp} \ \mathcal{H}^i(K)$, bao đóng của tập các điểm mà tại đó thớ là khác không, là một đa tạp đại số con.

Một bó bướng bỉnh trên $X$ là một phức khả dựng bị chặn $P \in D_X$ sao cho điều kiện sau thoả mãn với $K = P$ và đối ngẫu của nó $P^{\vee}$:
\begin{equation} \dim_{\mathbb{C}} \mathrm{supp} \ \mathcal{H}^{-i}(K) \leq i, \ \ \ \forall \ i \in \mathbb{Z}.\end{equation} Một cấu xạ giữa các bó bướng bỉnh là một mũi tên trong $D_X$.

Thuật ngữ "bó" xuất phát từ sự thật rằng, cũng giống như trong trường hợp các bó thông thường, (các cấu xạ giữa) các bó bước bỉnh có thể được dán; không giống như "bướng bỉnh", xem bên dưới. Lý thuyết của các bó bướng bỉnh có nguồn gốc trong hai khái niệm là đối đồng điều giao và $\mathcal{D}$-module. Như chúng ta thấy bên dưới, các bó bướng bỉnh và các $\mathcal{D}$-module được kết nối bởi tương ứng Riemann-Hilbert.

Giờ là thời điểm cho các ví dụ. Nếu $X$ không có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$, i.e., bó hằng tại bậc $-\dim_{\mathbb{C}}X$, là tự-đối ngẫu và bướng bỉnh. Nếu $Y \subseteq X$ là một đa tạp con đóng không kì dị, thì $\mathbb{C}_Y[\dim Y]$, xem như một phức trên $X$, là một bó bướng bỉnh trên $X$. Nếu $X$ có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$ thường không là một bó bướng bỉnh. Mặt khác, phức đối đồng điều giao (xem bên dưới) là một bó bướng bỉnh, bất kể $X$ có kì dị hay không. Mở rộng của hai bó bướng bỉnh là một bó bướng bỉnh. Ví dụ sau có thể đóng vai trò như một trường hợp thử cho những định nghĩa đầu tiên trong lý thuyết của các $\mathcal{D}$-module. Lấy $X = \mathbb{C}$ là đường thẳng phức với gốc $\mathfrak{o} \in X$, gọi $z$ là toạ độ chỉnh hình chuẩn, gọi $\mathcal{O}_X$ là bó các hàm chỉnh hình trên $X$, gọi $a$ là một số phức, và gọi $D$ là toán tử vi phân $D:f \longmapsto zf - af'$. Phức $P_a$
\begin{equation} \label{eq:2}
    0 \longrightarrow P^{-1}_a \coloneqq \mathcal{O}_X \overset{D}{\longrightarrow} P_a^0 \coloneqq \mathcal{O}_X \longrightarrow 0
\end{equation}
là bướng bỉnh. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a) = \mathbb{C}_X$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = \mathbb{C}_0$. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{<0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của bó $\mathbb{C}_{X \setminus \mathfrak{o}}$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = 0$. Nếu $a \notin \mathbb{Z}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của hệ địa phương trên $X\setminus \mathfrak{o}$ được gán với các nhánh của hàm đa trị $z^a$ và $\mathcal{H}^0(P_a)=0$. Trong mỗi trường hợp, đơn đạo tương ứng gửi phần tử sinh theo hướng dương của $\pi_1(X \setminus \mathfrak{o},1)$ tới $e^{2\pi i a}$. Đối ngẫu của $P_a$ là $P_{-a}$ (điều này tương thích tốt với các khái niệm về liên hợp của  toán tử vi phân và đối ngẫu của các $\mathcal{D}$-module). Mỗi $P_a$ là mở rộng của bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^0(P_a)[0]$ bởi bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^{-1}(P_a)[1]$. Mở rộng là tầm thường (tổng trực tiếp) khi và chỉ khi $a \notin \mathbb{Z}$.

Một hệ địa phương trên một đa tạp không kì dị có thể biến thành một bó bướng bỉnh bằng cách xem nó như một phức với một thành phần duy nhất tại bậc hợp lý. Mặt khác, một bó bướng bỉnh hạn chế xuống một hệ địa phương trên một đa tạp con mở trù mật. Chúng ta muốn hiểu rõ khẩu hiệu sau: các bó bướng bỉnh là phiên bản kì dị của các hệ địa phương. Để làm vậy, chúng ta bàn tới hai ý tưởng tưởng phổ biến dẫn đến sự khai sinh của các bó bướng bỉnh vào khoảng ba mươi năm trước:tương ứng Riemann-Hilbert suy rộng (RH) và đối đồng điều giao (IH).

 

(RH) Vấn đề thứ 21 của Hilbert liên quan đến những phương trình vi phân kiểu-Fuchs trên một diện Riemann thủng $\Sigma$. Khi ta chạy quanh các vết thủng, các nghiệm bị biến đổi: bó của các nghiệm là một hệ địa phương trên $\Sigma$.

 

Vấn đề thứ 21 hỏi liệu rằng có phải mọi hệ địa phương đều được sinh ra theo cách này (nó thực sự sinh ra theo cách này). Bó hóa của các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính trên một đa tạp dẫn đến khai niệm của $\mathcal{D}$-module. Một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic trên một đa tạp phức $M$ là một mở rộng của các phương trình kiểu Fuchs trên $\Sigma$. Bó của các nghiệm bây giờ được thay thế bởi phức của các nghiệm, cái mà, rất ấn tượng, thuộc vào $D_M$. Trong \ref{eq:2}, phức của các nghiệm là $P_a$, bó của các nghiệm của $D(f)=0$ là $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$, và $\mathcal{H}^0(P_a)$ liên quan tới tính (không) giải được của $D(f)=g$. Gọi $\mathcal{D}^b_{r,h}(M)$ là phạm trù dẫn xuất bị chặn của các $\mathcal{D}$-module trên $M$ với dối đồng điều là chính quy holonomic. RH phát biểu rằng phép gán (đối ngẫu của) phức của các nghiệm cảm sinh ra một tương đương phạm trù $\mathcal{D}^b_{r,h}(M) \simeq  D_M$. Các bó bướng bỉnh bước vào trung tâm của sân khấu: chúng tương ứng với, thông qua RH, các $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic (xem như các phức tập trung tại bậc không).

 

Để thấy sự tương ứng với khẩu hiệu được nhắc đến bên trên, phạm trù của các bó bướng bỉnh có chung các tính chất hình thức sau với phạm trù các hệ địa phương: nó là Abel (các hạt nhân, đối hạt nhân, các ảnh và các đối ảnh tồn tại, và đối ảnh đẳng cấu với ảnh), ổn định dưới tác động của đối ngẫu, Noether (điều kiện xích tăng thỏa mãn), và Artin (điều kiện xích giảm thỏa mãn), i.e., mọi bó bướng bỉnh là một mở rộng liên tiếp hữu hạn lần của các bó bưởng bỉnh đơn (không vật con). Trong ví dụ của chúng ta, các bó bướng bỉnh \ref{eq:2} là đơn khi và chỉ khi $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$.

 

Các bó bướng bỉnh đơn là gì? Đối đồng điều giao cho ta câu trả lời.

 

(IH) Các nhóm đối đồng điều giao của một đa tạp kì dị $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương là một bất biến đại số của đa tạp đó. Chúng trùng với đối đồng điều thông thường khi $X$ không kì dị và các hệ số là hằng. Các nhóm này ban đầu được định nghĩa và nghiên cứu bằng cách sử dụng lý thuyết của các xích hình học với mục đích nghiên cứu thiếu sót, do sự hiện diện của các kì dị, của đối ngẫu Poincaré cho đồng điều thông thường, và để đưa ra một biện pháp khắc phục cho nó bằng cách xét lý thuyết đồng điều sinh ra bởi việc chỉ xét các xích mà giao với tập kì dị theo cách kiểm soát được. Trong ngữ cảnh này, những dãy số nguyên nhất định, gọi là các sự bướng bỉnh (perversities), được đưa ra để cho một phép đo rằng một xích giao với tập kì dị như thế nào, do đó mà có thuật ngữ "bướng bỉnh". Các nhóm đối đồng điều giao vừa được định nghĩa thỏa mãn các kết luận của đối ngẫu Poincaré và của định lý siêu phẳng Lefschetz.

 

Mặt khác, các nhóm đối đồng điều giao còn có thể được xem như các nhóm đồi đồng điều của một số phức nhất định trong $D_M$: các phức giao của $X$ với các hệ số trong hệ địa phương. Đó là một bước ngoặt đáng chú ý trong cốt truyện của câu chuyện này khi các bó bướng bỉnh đơn chính là các phức giao của các đa tạp con bất khả quy của $X$ với các hệ số được cho bởi các hệ địa phương đơn!

Giờ chúng ta ở chỗ phải làm rõ khẩu hiệu ban đầu. Một hệ địa phương $L$ trên một đa tạp con $Z \subset M$ sinh một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic được định giá trên bao đóng $\overline{Z}$. Cùng $L$ đó cho ta một phức giao của $\overline{Z}$ with các hệ số trong $L$. Cả hai đối tượng mở rộng $L$ từ $Z$ lên $\overline{Z}$ theo các kì dị $\overline{Z}\setminus Z$. Bằng RH, phức giao chính là phức của các nghiệm của $\mathcal{D}$-module này.

 

Một vai trò trụ cột trong ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh được thể hiện bởi định lý phân rã: cho $f: X \longrightarrow Y$ là một cấu xạ riêng của các đa tạp; khi đó các nhóm đối đồng giao của $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương đơn đẳng cấu với tổng trực tiếp của một họ các nhóm đối đồng giao của các đa tạp đại số con của $Y$, với hệ số trong các hệ địa phương đơn. Ví dụ, nếu $f: X\longrightarrow Y$ là một giải kì dị của $Y$, khi đó các nhóm đối đồng điều giao của $Y$ là một tổng trực tiếp của các nhóm đối đồng điều thông thường của $X$. Tính chẻ ra "đơn giản-nhất-có thể" này là một sự thật sâu sắc nhất được biết đến kết nối đồng điều của các đa tạp đại số phức và các cấu xạ. Nó sai trong hình học giải tích và trong hình học đại số thực. Sự phân rã của các nhóm đối đồng điều giao của $X$ là phản ảnh trong đối đồng điều của một phân rã mịn hơn của các phức trong $D_Y$. Chứng minh ban đầu của sử dụng hình học đại số trên các trường hữu hạn (các bó bưởng bỉnh hoàn toàn có nghĩa trong nhánh này).

Một ứng dụng nổi bật của vòng tròn những ý tưởng này là sự thật rằng các nhóm đối đồng điều giao của các đa tạp (varieties) xạ ảnh có cùng các tính chất cổ điển với các nhóm đối đối đồng điều của các đa tạp (manifolds) xạ ảnh: định lý $(p,q)$-phân rã Hodge, định lý Lefschetz mạnh, và quan hệ Hodge-Riemann song tuyến tính. Điều này, chắc chắn, cùng với đối ngẫu Poincaré và định lý siêu phẳng Lefschetz bên trên.

 

Những ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh bao quát từ hình học tới tổ hợp tới giải tích đại số. Những ứng dụng ấn tượng nhất nằm trong địa hạt của lý thuyết biểu diễn, nơi mà sự hiện diện của chúng đã dẫn tới một cuộc cách mạng thực sự ngoạn mục: những chứng minh của giả thuyết Kazhdan-Lusztig, của hình học hóa của đẳng cấu Satake, và, gần đây, của bồ đề cơ bản trong chương trình Langlands.

 

Dịch bởi Phạm Khoa Bằng.




#741302 Xung quanh phương trình $2zf'(z) = f(z)$

Gửi bởi bangbang1412 trong 05-09-2023 - 11:23

Cho $X = \mathbb{C}$ là mặt phẳng phức, xét ánh xạ chỉnh hình
$$f: X \longrightarrow X, z \longmapsto z^2.$$ Kí hiệu $\mathbb{C}_X$ là bó hằng với giá trị $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{C}$.
  • Cho $x \in X$, tính thớ của bó $f_*(\mathbb{C}_X)$ tại $x$, suy ra rằng bó này không hằng địa phương.
  • Xét phân hoạch $X = Y \sqcup Z$ trong đó $Y = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ and $Z = \left \{0 \right \}$. Chứng minh rằng các hạn chế $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$ và $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Z}$ đều là các bó hằng địa phương (locally constant).
  • Xét phương trình $2zf'(z) = f(z)$ trên $Y$, chứng minh rằng đơn đạo của phương trình này là không tầm thường. Hệ số $2$ trong $2zf'(z)$ có quan trọng không? Nếu thay đổi bằng một số không nguyên thì đơn đạo thay đổi như thế nào?
Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\mathbb{C}_Y$ là một hạng tử trực tiếp của $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$. Định nghĩa bó $\mathcal{Q}$ trên $\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ bởi
$$\mathcal{Q}(U) = \left \{g: U \longrightarrow \mathbb{C} \mid 2zg'(z) = g(z) \right \}$$ với mỗi tập mở $U \subset \mathbb{C}^{\times}$.
  • Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ là hằng địa phương.
  • Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ không hằng bằng cách chỉ ra nó không có một lát cắt toàn cục nào.
  • Bằng cách xét hai cấu xạ $$\mathbb{C}_Y(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto g \circ f$$ và $$\mathcal{Q}(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto \frac{g \circ f}{z}$$ hãy chứng minh rằng $(f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y) \simeq \mathbb{C}_Y \oplus \mathcal{Q}$.



#741176 Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

Gửi bởi bangbang1412 trong 24-08-2023 - 08:14

Here I'd like to talk more about $D^b_{ctf}(X)$ (coefficient in some $\mathbb{Z}/n$) and this should partially explain why Grothendieck pointed out to Illusie as "the right notion". Every object in $D^b_{ctf}(X)$ is in fact quasi-isomorphic to a bounded flat complex whose components are constructible! (note that my definition in the previous answer did not include the constructibility). Any such (bounded, flat, constructible components) is called a perfect complex.

 

In some sense, the flatness is equivalent to projectiveness, and hence when we deal with derived categories of modules, we shoud replace everywhere flatness with projectiveness. Let $R$ be a ring, a complex in $D(R)$ is called perfect if it is quasi-isomorphic to a bounded complex of finite projective module. We denote by $D_{perf}(R)$ the triangulated subcategory of $D(R)$ formed by perfect complexes. This definition is slightly different with the ones in $D^b_{ctf}(X)$ but in $D^b(R)$ they are almost equivalent, namely, a complex in $D^b(R)$ is necessarily perfect provided that its cohomology are perfect (cohomology are perfect $\simeq$ cohomology are constructible) (at this point, I haven't checked why we can remove projectiveness, this is possibly due to the boudedness that we have imposed). But more importantly,

 

Proposition. For a ring, the set of compact objects of $D(R)$ are precisely perfect complexes.

 

Remind that a compact object $K$ in a category with small direct sums is a object such that $\operatorname{Hom}(K,-)$ commutes with small direct sums.

 

Proposition. The smallest strictly full triangulated subcategory stable under direct factors of $D(R)$ generated by a single object $R$ (regarded as a complex concentrated at degree $0$) is precisely the full subcategory of $D(R)$ consisting of perfect complexes.

 

Remind that a subcategory $\mathcal{C}$ of a category $\mathcal{A}$ with finite direct sums is stable under direct factors if whenever $X \oplus Y \in \mathcal{C}$ then both $X,Y \in \mathcal{C}$. These two results are subtle, I have to say that. Let me formulate in a more formal way: suppose that $\mathcal{T}$ is a triangulated having all direct sums and $\Lambda \subset \mathcal{T}$ is a set (not a proper class) of objects

  • There exists a smallest triangulated subcategory $ \left < \left< \Lambda \right>\right >$ containing $\Lambda$ and stable under direct sums. If all objects of $\Lambda$ are compact and $ \left < \left< \Lambda \right>\right > = \mathcal{T}$ then we say that $\mathcal{T}$ is compactly generated
  • There exists a smallest triangulated subcategory $ \left< \Lambda \right>^{ct}$ containing $\Lambda$ and stable under direct factors. If $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ then (by a consequence of abstract Brown representability theorem) we have $\left< \Lambda \right>^{ct}$ is exactly the triangulated category of compact objects of $\mathcal{T}$.

Moreover, the fact that $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ is equivalent to

$$\operatorname{Hom}(A[n],B) = 0 \ \forall \ A \in \Lambda \Rightarrow B = 0.$$ In terms of the formulation above, we can write $D(R) = \left < \left< R \right>\right >$ and $D_{perf}(R) = \left<R \right>^{ct}$. Their proofs can be ignored at first but you should think in comparison with the topological world. You replace $D(R)$ with $\mathbf{SH}$, the stable homotopy category, whose objects are sequences $X=(X_n)$ of simplicial sets together with morphisms $S^1 \wedge X_n \longrightarrow X_{n+1}$ so that you can define stable homotopy groups $\pi_n^{st}(X)$ and say that morphism is a stable weak equivalence if it induces isomorphisms on stable homotopy groups. Then $\mathbf{SH}$ is obtained by inverting all stable weak equivalence just like you invert all quasi-isomorphisms for complexes, it is a triangulated category whose distinguished triangles are those isomorphic to a cone sequence. There is a very special spectrum called the sphere spectrum $\mathbb{S} = (S^n)$, with transition $S^1 \wedge S^n \overset{\sim}{\longrightarrow} S^{n+1}$ and stable homotopy groups are stable homotpy groups of spheres. You can show that

$$\mathbf{SH} = \left < \left< \mathbb{S} \right>\right >.$$

Hence you can view every spectrum as a module over the sphere spectrum (and this is indeed the right way in the sense that: the category $\mathbb{SH}$ is not à priori a tensor category, to get a tensor structure you have to work with symmetric spectra, i.e. spectra with action of symmetric groups, and prove that two stable categories are equivalent and symmetra have $\otimes$ and $\underline{\operatorname{Hom}}$ moviated from the way of thinking every spectrum is a module over $\mathbb{S}$) and the triangulated subcategory formed by compact objects is $\left< \mathbb{S} \right>^{ct}$. The condition

$$\operatorname{Hom}(\mathbb{S}[n],B) = 0 \Rightarrow B = 0.$$ is in some sense equivalent to saying that for a CW-complex or simplicial set $X$, if $\pi_n(X)=0$ then $X=\bullet$ (Whitehead's theorem). Here comes to another subtle point; why these two worlds are so similar? The answer lies in the Dold-Kan correspondence theorem, basically it says that the category of chain complexes of $\mathbb{Z}$-modules is equivalent to the category of simplicial abelian groups. This equivalence maps homotopy groups to homology groups so that you can say homology groups are homotopy groups. The homotopy groups of $R[n]$ behaves like the homology of $S^n$ (concentrated at degree $0$ and $n$).

 

In summary,

  • Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are stable model categories, and hence triangulated ones. Moreover, they are all tensor triangulated category.
  • Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are compactly generated with a single generator.
  • Another example that I can provide is that derived category of $\mathcal{O}_X$-module, the single generator is $\mathcal{O}_X$ itself.

It is likely to define

$$D^b(X) = \left < \left< \text{a single generator} \right> \right>,$$

where we have to specify the generator. A naive guess is the constant sheaf on $X$, but this isn't enough, as you'd like to have Poincaré duality, you have to add Tate twist into the play. Therefore, the definition should be: $D^b_{ctf}(X)$ as the smalles full triangulated subcategory stable under direct factors of $D^b(X)$ generated by objects of the form

$$f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d]$$ where $f: Y \longrightarrow X$ is smooth of relative dimension $d$, i.e. 

$$D^b(X) = \left < \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right> \right> \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ D^b_{ctf}(X) =  \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right>^{ct}$$

Actually, this should be true though I couldn't find a reference but by this tag on StackProject, a "weaker" result holds, where we change triangulated categories to abelian categories, namely, the category of constructible sheaves of abelian groups is the smallest full subcategory of the category of sheaves of abelian groups contaning objects of the form $j_!\mathbb{Z}/n$ (with $j: U \longrightarrow X$ being étale, aka smooth of relative dimension $0$ $\Rightarrow$ no need to consider Tate twist) and closed under finite limits and colimits.

 

But this is the way people nowadays define constructible motives. For instance, in motivic homotopy theory where we offen work with the stable homotopy category $\mathbf{SH}(X)$ of Voevodsky (has small direct sums like $D^b(X)$) in which such a nice representation like a perfect complex is not available then this way of definining constuctible seems to be an appropriate way (and much easier to work with).


  • Nxb yêu thích


#741167 Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

Gửi bởi bangbang1412 trong 23-08-2023 - 19:46


Với cái định nghĩa trace như thế này thì ở chỗ nào ta dùng điều kiện constructible của $\mathcal{F}$ nhỉ? Vì tớ tưởng ta chỉ có thể dùng function-sheaf dictionary cho complexes of constructible sheaves. 

Chỗ này theo tớ không thật sự dùng constructible, constructible là về mặt cohomology.

 

Edit: tớ hiểu ý cậu rồi, tớ đoán là cậu đang hiểu function-sheaf dictionary cho constructible sheaves rồi extend cho complex, từ sheaves lên complexes of sheaves thì mình dùng tổng đan dấu của các cohomology (giống kiểu Euler-characteristic).




#741166 Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

Gửi bởi bangbang1412 trong 23-08-2023 - 19:43

Bằng có biết làm thế nào để định nghĩa smooth $\ell$-adic sheaves as complexes không? Có cảm giác cái này sẽ tương đương với smooth functions $X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$, nhưng như thế nào mới được coi là smooth từ $X(k)$?

 

Như vậy là cái tên "etale-$\mathbb{Q}_{\ell}$-sheaves" tương đương với local system/locally constant sheaves?

Hi Toàn, cái chữ smooth này thực ra rất nguy hiểm. Nó không phải smooth theo nghĩa function $X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l$, mà tớ cũng không rõ lý do thật sự họ dùng chữ smooth.

 

Về định nghĩa, ta phải quay lại định nghĩa bó $l$-adic trên một lược đồ noether $X$, được định nghĩa là một họ $(F_n)$ sao cho mỗi bó $F_n$ là bó các $\mathbb{Z}/l^n$-module sao cho $F_{n+1} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^{n} \simeq F_n$. Gọi một bó $l$-adic là constructible nếu mỗi bó $F_n$ đều là constructible và gọi là smooth nếu nó locally constant.

 

Còn nếu cậu muốn xem nó như các complex thì thực chất cậu đang muốn định nghĩa derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$. Nó được định nghĩa là "giới hạn" (theo nghĩa nào đó)

$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$

của các derived categories theo nghĩa thông thường, ở đây $D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ là derived cat của các phức có bó đối đồng điều là constructible và ta yêu cầu nó đẳng cấu với một $\mathbb{Z}/l^n$-flat complex. Nếu muốn chuyển qua $\mathbb{Q}_l$-sheaves $D^b_c(X,\mathbb{Q}_l)$ thì ta chỉ "tensor hình thức" mọi thứ với $\mathbb{Q}_l$. Cụ thể hơn, định nghĩa projective limit ở trên phải hiểu theo nghĩa sau (tớ chỉ nói về objects)

 

Objects: Một object của $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$ sẽ là một projective system $(K_n^{\bullet})$ sao cho mỗi $K_n^{\bullet} \in D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ sao cho có các quasi-isomorphism $K^{\bullet}_{n+1} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^n \simeq K^{\bullet}_n$ bên trong $D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n)$.

 

Mọi thứ phức tạp hơn một chút nữa nếu muốn $\overline{\mathbb{Q}}_l$, nhớ rằng bao đóng đại số thì là giới hạn của các mở rộng hữu hạn $E/\mathbb{Q}_l$. Nên một cách tự nhiên ta sẽ định nghĩa

$$D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l) = \underset{\longrightarrow}{\lim} D^b_{c}(X,E)$$

trong đó $D^b_c(X,E)$ được định nghĩa giống hệt với $D^b_c(X,\mathbb{Q}_l)$ (nhớ rằng $E$ cũng là local field) nên thay vì $l$-adic ta sẽ nói tới $\pi$-adic với $\pi$ là uniformizer nào đó.

 

Cuối cùng giả sử $(F_n)$ là một bó $l$-adic (technical condition: torision free in some Artin-Rees category) thì $(F_n)$ sẽ định nghĩa một vật trong $D^b(X,\mathbb{Z}_l)$ bằng cách xem các $F_n$ là các complex concentrated at degree zero. Như vậy chuyển qua giới hạn thì mỗi $l$-adic sheaf cho ta một $E$-sheaf ($E/\mathbb{Q}_l$: finite extension) và một $\overline{\mathbb{Q}}_l$-sheaf.




#741146 Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

Gửi bởi bangbang1412 trong 22-08-2023 - 16:32

In this post, I'd like to give a rapid introduction to the theory of $l$-adic Fourier transform developed by Laumon-Deligne-... My goal is not to how can we apply $l$-adic Fourier transform to prove the Weil conjectures but rather to see why their definitions are natural in comparison with the classical theory. My feeling is that it is easier to present Fourier transforms on finite fields than on measurable spaces (which require a lot of work and details) and the $l$-adic one is formally adapted from the one for finite fields.
 

Fourier analysis on finite abelian groups

Given a finite abelian group $G$, written additively, what we want to do here is to define a space $L^2(G)$ similar to the Hilbert space $L^2(X)$ of square integrable functions $X \longrightarrow \mathbb{C}$ (modulo equal almost everywhere relation) for $X$ being a measurable space. Then it is possible to develop a Fourier transform on $L^2(G)$. The finiteness seems to be a technical condition that you can see to be useful in every step. At least with this hypothesis, we do not to worry about the convergence of sums. We do not go into the "Hilbert theory" of $L^2(G)$ deeply but rather go straight to the Plancherel formula and Fourier inverse formula and see how it can be generalized to $l$-adic cohomology.

 

We define a character of $G$ to be a group homomorphism $\psi: G \longrightarrow (\mathbb{C}^{\times},\times)$. We call it trivial if $\psi(x) = 1$ for each $x \in G$. Since $G$ is finite, every $\psi(x)$ ($x \in G$) is a root of unity. In particular, every character takes values in the circle $S^1$.

 

Ví dụ

If $G = \mathbb{F}_{p}$, a field with $p$ elements, then $\psi(x) = e^{2\pi i x/p}$ is a character.

Ví dụ

If $\psi$ is a character, then $\overline{\psi}$. They are different if $\psi$ is not identical to $1$. Note that 

$$\psi(-x) = \psi(x)^{-1} = \overline{\psi(x)}$$ since it lies on $S^1$.

Ví dụ

If $\psi,\varphi$ are characters, then $\psi\varphi$ is a character as well.

Mệnh đề

If $\psi$ is a non-trivial character of $G$, then $\sum_{x \in G}\psi(x)=0$.

Proof. Since $\psi$ is non-trivial, there exists $y \in G$ with $\psi(y) \neq 1$. We have

$$\psi(y)\sum_{x \in G}\psi(x) = \sum_{x \in G}\psi(x+y) = \sum_{x \in G}\psi(x)$$ and hence the sum itself is zero because $\psi(y) \neq 1$.

Hệ quả

Let $\psi$ and $\varphi$ be characters of $G$. Then 

$$\sum_{x \in G}\overline{\psi(x)}\varphi(x) = \begin{cases} \left|k \right| & \psi = \varphi \\ 0 & \psi \neq \varphi \end{cases}$$

Proof. If $\psi = \varphi$, then it is the consequence of the fact $\psi(x)^{-1} = \overline{\psi(x)}$ while if $\psi \neq \varphi$ then $\overline{\psi}\varphi$ is a non-trivial character, hence it follows from proposition 4.

 

Now we work in the case where $G = k$ is a finite field, then we have a, being motivated from the classical case

$$\hat{f}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-2\pi i xy} dy$$

we define the Fourier transform

$$\begin{align*} T_{\psi}f: k & \longrightarrow \mathbb{C}^{\times} \\ x & \longmapsto  \sum_{y \in k}f(y)\psi(-xy).\end{align*}$$ The Fourier transform is clearly linear, i.e. $T_{\psi}(f+g) = T_{\psi}(f) + T_{\psi}(g)$ and $T_{\psi}(af) = aT_{\psi}(f)$. The Fourier inversion formula in this case becomes almost trivial.

 

Mệnh đề
(Fourier inverse). We have

$$T_{1/\psi}(T_{\psi}f) = \left|k \right|f$$

Proof. We compute the LHS explicitly

$$\begin{align*}T_{1/\psi}(T_{\psi}f)(x) & =  \sum_{y \in k}T_{\psi}(f)(y)\overline{\psi}(-xy) \\ & = \sum_{y \in k}\left(\sum_{z \in k}f(z)\psi(-yz) \right)\overline{\psi}(-xy)  \\ & = \sum_{y,z \in k} f(z)\psi(y(x-z)) \\ & = \sum_{z \in k}f(z)\left(\sum_{y \in k}\psi(y(x-z))  \right) \\ & = \left|k \right|f(x) \end{align*}$$ thanks to corollary 5.

 

We can endorse the vector space $\mathbb{C}^k$ of functions $k \longrightarrow \mathbb{C}$ with an inner product

$$\left< f, g \right>  = \sum_{x \in k}\overline{f(x)}g(x)$$ then we have an analogue of the usual Plancherel formula.

 

Mệnh đề

(Plancherel formula). For functions $f,g: k \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ and a character $\psi:k \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$

$$\left<T_{\psi}f, T_{\psi}g\right> = \left|k \right|\left <f,g \right >$$

Proof. We expand everything $$\begin{align*}\left<T_{\psi}f, T_{\psi}g\right> & = \sum_{x \in k}\overline{T_{\psi}f(x)}T_{\psi}g(x) \\ & =  \sum_{x \in k}\left( \sum_{y \in k}\overline{f(y)}\psi(xy) \right)\left( \sum_{z \in k}g(z)\psi(-xz) \right) \\ & = \sum_{x,y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\psi(x(y-z)) \\ & = \sum_{y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\left(\sum_{x \in k}\psi(x(y-z)) \right). \end{align*}$$ We analyze the sum $\sum_{x \in k}\psi(x(y-z))$.

  • If $y = z$ then this sum is $\left|k \right|$.
  • If $y \neq z$ then this sum is zero by proposition 4.

Hence  

$$ \sum_{y,z \in k}\overline{f(y)}g(z)\left(\sum_{x \in k}\psi(x(y-z)) \right) = \sum_{y \in k }\left|k \right|\overline{f(y)}g(y) = \left|k \right| \left<f,g \right>.$$ We are now able to motivate the definitions in the $l$-adic cohomology.

 

l-adic Fourier transform

 

We restrict ourself to the definition of something called $l$-adic Fourier transform on the affine line $\mathbb{A}^1_k$ where $k$ is a finite field. More precisely, we want to define some operator

$$T_{\psi}: D_c^b(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) \longrightarrow  D_c^b(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$$ associated to any character $\psi: k\longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ and is forced to satisfy the Fourier inverse formula and the Plancherel formula. To do this, we have to have some sheaf-to-functions correspondence, for each variety $X/k$, naturally, we have the following: for any $K \in D_c^b(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$

$$\begin{align*} f^K: k & \longrightarrow \mathbb{C} \\ x & \longmapsto \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}},K_{\overline{x}}) = \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}},\mathscr{H}^i(K)_{\overline{x}}) \end{align*}$$ where $\mathscr{H}^i$ denote cohomological sheaves, which are assumed to be constructible.

 

Given any character $\psi: k  \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$, one then has a local system of rank $1$ from the composition 
$$\mathcal{L}_{\psi}: \pi_1(\mathbb{A}_k^1) \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$$ denoted $\mathcal{L}_{\psi}$, called the Artin-Schreier sheaf of $\psi$. We claim that

 

Bổ đề

$f^{\mathcal{L}_{\psi}}(x) = \psi(-x)$. 

The next thing is how can we translate operations of functions to operations of sheaves:

  • (Product formula) The product of functions should correspond to tensor product of sheaves: $f^{K \otimes L}(x) = f^K(x)f^L(x)$ for every $x \in X(k)$
  • (Pullback formula) Pullback of functions should correspond to pullback of functions, which is just composition $f^{f^*K}(x) = f^K(f(x))$ for every morphism $f: X \longrightarrow Y$ of $k$-varieties and $x \in X(k)$.
  • (Sum formula) Proper pushforwards should correspond to taking sums or integrals: this is a consequence of Grothendieck-Lefschetz trace formula and proper base change theorem. For every morphism $f: X \longrightarrow Y$ of $k$-varieties and $K \in D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$, we have $$f^{f_!K}(y) = \sum_{x \in X_y(k)}f^K(x)$$ for any $y \in Y(k)$.

Consider the diagram

\begin{xy}

\xymatrix{

& \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[rr]^m \ar[dr]^{\pi^2} \ar[dl]_{\pi^1} & & \mathbb{A}^1 \\

 \mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1 &

}

\end{xy}

where $\pi^1$ are projections and $m$ the multplication $(x,y) \longmapsto xy$. The $l$-adic Fourier transform is defined to be

$$\begin{align*} T_{\psi}: D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) & \longrightarrow D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l) \\ K & \longmapsto \pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})[1] \end{align*}$$ where the shift $[1]$ is put in order to preserve the perversity, which is not of our interest here. The sheaf $m^*\mathcal{L}_{\psi}$ plays the role of the character $\psi(-xy)$ in the formula

$$T_{\psi}f(x) =  \sum_{y \in k}f(y)\psi(-xy).$$ We prove that our definition is really a sheaf-theoretic version of the discrete Fourier transform (up to a sign).

 

Bổ đề
$f^{T_{\psi}(K)}(x) = - \sum_{y \in k} f^K(y)\psi(-xy)$ for any $x \in k$ and $K \in D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$.

 

Proof. By the last part of our remark above, we have (we delete the shift since it is irrelevant here)

$$\begin{align*} f^{T_{\psi}(K)}(x) & =  \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}\bigg(\mathrm{Frob}^*_{\overline{x}}, \mathscr{H}^i\big( \pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})_{\overline{x}} \big) \bigg) \\ & =  - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi})) \\ &  =- \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K) \otimes \mathscr{H}^i( m^*\mathcal{L}_{\psi})) \\ & = - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i( m^*\mathcal{L}_{\psi}))  \\& =    - \sum_i (-1)^i \sum_{y \in k} \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \psi(-xy) \\ & = - \sum_{y \in k} \sum_i (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*_{(\overline{x},\overline{y})}, \mathscr{H}^i(\pi^{2*}K)) \psi(-xy) \\ & = - \sum_{y \in k} f^K(y)\psi(-xy) \end{align*}$$ where we have used:

  • The sum formula for $\pi^1: \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \longrightarrow \mathbb{A}^1$ in the first equality.
  • In the second one, homology commutes with tensor product.
  • In the third one, we applied the product formula. 
  • In the rest, we applied the pullback formula and lemma 8

Let us now verify the Plancherel formula before the Fourier inverse formula (which is more complicated). 

 

 

Định lý
(Plancherel). We have

$$\left<f^{T_{\psi}(K)},f^{T_{\psi}(L)}\right> = \left|k \right|\left<f^K,f^L\right> \ \forall \ K,L \in D^b_c(\mathbb{A}^1,\overline{\mathbb{Q}}_l)$$

Proof. This is just a formal manipulation based on lemma 6 and proposition 3.

 

Định lý
(Fourier inverse). We have

$$T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K = K(-1)$$ where $(-1)$ denotes the Tate twist.

 

For this result, we need an auxiliary lemma, omitted proof, but can be understood heuristically as the Fourier transform of the canonical character equals the dirac delta function.

 

Bổ đề
Let $i: 0 \hookrightarrow \mathbb{A}^1$ be the canonical closed immersion, then $i_*\overline{\mathbb{Q}}_l = \delta$ is the skyscraper sheaf at the origin, we then have

$$T_{\psi}(\overline{\mathbb{Q}}_l[1]) = \delta(-1).$$

Nhận xét
. The occurence of Tate twist here is understandable because it corresponds to multiplying $1/2\pi$ in the formula

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ixy}dy$$

Proof of Fourier inverse. Let's consider the diagram, in which the square is cartesian

 

\begin{xy}
\xymatrix {
&  & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[dr]^{\pi^{23}} \ar[dl]_{\pi^{13}} &  & \\
                       & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1  \ar[dl]_{\pi^1} \ar[dr]^{\pi^2} & & \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 \ar[dl]_{\pi^1} \ar[dr]^{\pi^2}& \\

\mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1 & & \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

 

and define $\alpha: \mathbb{A}^3 \longrightarrow \mathbb{A}^2$ by $(x,y,z) \longmapsto (x,y-z)$, then

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K & = \pi^1_!\bigg(\pi^{2*}\big(\pi_!^1(\pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi}\big) \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \bigg)[2] \\ & = \pi^1_! \bigg( \pi_!^{12}\pi^{23*}\big( \pi^{2*}K \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi} \big) \otimes m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \bigg)[2] &  \text{proper base change} \\ & =\pi^1_! \pi_!^{12}\big( \pi^{23*}\pi^{2*}K \otimes \pi^{23*}m^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes \pi^{12*}m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} \big)[2] &  \text{projection formula} \\ & =  \pi^1_! \pi_!^{12}(\pi^{23*}\pi^{2*}K \otimes \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \text{by the last lemma below} \\ & = \pi^1_! \pi_!^{13}(\pi^{13*}\pi^{2*}K \otimes \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] &  \pi^1 \pi^{12} = \pi^1\pi^{13} \ \text{and} \ \pi^2 \pi^{23} = \pi^2\pi^{13} \\ & = \pi^1_! (\pi^{2*}K \otimes \pi_!^{13}\alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \text{projection formula}\end{align*}$$  Consider the cartesian diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{A}^3 \ar[r] \ar[d]_{\pi^{13}} \ar[r]^{\alpha} & \mathbb{A}^2 \ar[d]_{\pi^2} \\
                             \mathbb{A}^2 \ar[r]_{\beta}  &  \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

where $\beta(x,z) = z-x$, then by base change we get

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K &  = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*\pi^2_!m^*\mathcal{L}_{\psi})[2] & \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*T_{\psi}\overline{\mathbb{Q}}_l[-1])[2] & \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*i_*\overline{\mathbb{Q}}_l(-1)[-2])[2] & \text{previous lemma} \\ & = \pi^1_!(\pi^{2*}K \otimes \beta^*i_*\overline{\mathbb{Q}}_l)(-1) \end{align*}$$ But the square

 

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{A}^1 \ar[r] \ar[d]_{\Delta} & 0 \ar[d]_i \\
                             \mathbb{A}^2 \ar[r]_{\beta}  &  \mathbb{A}^1
}
\end{xy}

 

is cartesian, where $\Delta$ is the diagonal, note that $i$ is proper so by base change again, we have

$$\begin{align*} T_{\psi^{-1}}T_{\psi}K & = \pi^1_!(\pi^{2*}K\otimes \Delta_!\overline{\mathbb{Q}}_l(-1)) & \\ & = \pi_!^!\Delta_!(\Delta^*\pi^{2*}K\otimes \overline{\mathbb{Q}}_l(-1)) & \text{projection formula} \\ & = K(-1) & \pi^1\Delta = \mathrm{id} \ \text{and} \ \pi^2 \Delta = \mathrm{id} \end{align*}$$ as desired.

 

We finish the proof by proving the following.

 

Bổ đề

The following holds

$$\pi^{12*}(m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}}) \otimes \pi^{23*}(m^*\mathcal{L}_{\psi}) = \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi}.$$

Proof. Set $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(k[t])$ and $\mathbb{A}^3 = \mathrm{Spec}(k[x,y,z])$ and considre

$$X = \mathrm{Spec}(k[x,y,z,u,v]/(u^{\left|k \right|}-u-xy,v^{\left|k \right|}-v-yz)) \longrightarrow \mathbb{A}^3$$ which is a Galois covering whose group of Deck transformations is isomorphic to $k \times k$. There are three projections of $X$ onto $\mathbb{A}^1$ given by

$$t \longmapsto u, t \longmapsto v-u, t \longmapsto v.$$ We view $\mathbb{A}^1$ as a scheme over itself by Artin-Schreier morphism, then the three morphisms above induce homomorphisms of groups of deck transformations

$$k \times k \longrightarrow k$$ given respectively by

$$(a,b) \longmapsto a, (a,b) \longmapsto b - a, (a,b) \longmapsto b.$$ We compose the original character $\psi$ with these three morphisms to get three new characters

$$\pi_1(X) \longrightarrow k \times k \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \mathbb{C}^{\times}.$$ The three new characters correspond to the sheaves involved in the equation

$$\begin{align*} \pi^{12*}m^*\mathcal{L}_{\psi^{-1}} &\longrightarrow   \psi_1(a,b) = 1/\psi(a) \\ \alpha^*m^*\mathcal{L}_{\psi} & \longrightarrow \psi_2(a,b) = \psi(b)/\psi(a) \\ \pi^{23*}m^*\mathcal{L}_{\psi} & \longrightarrow \psi_3(a,b) = \psi(b) \end{align*}$$ then the question boils down to the trivial fact that $\psi_1\psi_3=\psi_2$.




#741137 Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

Gửi bởi bangbang1412 trong 21-08-2023 - 23:26

Đây là một bài mình viết sau khi đi nghe seminar do giáo sư Ngô Bảo Châu báo cáo hôm 17/8 tại viện Toán học với tựa đề Perverse sheaves and fundamental lemmas tuy nhiên giáo sư không có đủ thời gian để đi vào cả hai chủ đề mà bài nói xoay quanh việc đánh giá tổng Kloosterman bằng cách chuyển ngôn ngữ hàm số sang ngôn ngữ đối đồng điều và áp dụng giả thuyết Weil. Do đó mình để tựa đề như trên. Để thuận tiện, mình sẽ sử dụng tiếng anh.

 

Follow Katz's lectures on Weil II, let me spend some momemt to recall the motivating problem: given a prime $p$ and an integer $a$ s.t. $(a,p)=1$, the Kloosterman sum is defined as the complex number

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \sum_{(x,y) \in \mathbb{F}_p: xy = a} \operatorname{exp}\left(\frac{2\pi i}{p}(x+y) \right).$$ By an elementary argument, one can see that this sum is a real number and in the early time when Kloosterman studied the Hardy-Littlewood circle method, he wanted to bound this sum by a function of $p$.

 

Some motivations

 

Định lý

(Kloosterman 1926) For any $\epsilon > 0$, we have $\left |\mathrm{Kl}(a,p) \right| < Cp^{3/4+\epsilon}$. 

Kloosterman's proof was quite elementary, however, the bound can be sharpen much more as follows.

Định lý

(Weil) We have $\left |\mathrm{Kl}(a,p) \right| \leq 2\sqrt{p}$.

This estimate is a consequence of Weil's proof of the "early Riemann hypothesis". The analytic version of Kloosterman sums is

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(ax+x^{-1})}dx$$ which is clearly not convergent, but we can approximate it by $\sqrt{a}K(\sqrt{a})$ where $K$ is the Bessel function. More generally, one can consider the Kloosterman sum

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \sum_{xy=a \in \mathbb{F}_p} \psi(x+y) = \sum_{x \in \mathbb{F}_p}\psi(ax+x^{-1})$$ for any character $\psi:\mathbb{F}_p \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$, i.e. $\psi(x+y)=\psi(x)\psi(y)$. Here we can also prove that $\left| \mathrm{Kl}(a,p) \right| \leq 2 \sqrt{p}$ but even more, we can prove that

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \alpha + \overline{\alpha}$$ where $\alpha$ is a complex number with $\left| \alpha \right| = \sqrt{p}$. This remains true if we replace $p$ by some of its power. This is where algebraic geometry enters the play. The first task is to transfer functions to sheaves. At the level of sheaves, we have more operations to manipulate (at least functions do not have something like duality).  But before one can see why we have to translate everything to cohomology language, one needs to have some clues about Grothendieck's formalism of six operations in $l$-adic cohomology.

 

l-adic cohomology

 

Let's fix a finite field $k=\mathbb{F}_{q}$ (where $q = p^n$ and $p$ prime) and $X/k$ be a variety. Given an integer $n$ invertible on $k$, then we can define that derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}/n)$ of chain complexes (modulo quasi-isomorphisms) of etale sheaves having cohomology sheaves are constructible. If $l \neq p$ is another prime, we define

$$D^b_c(X) = D^b_c(X, \overline{\mathbb{Q}}_l) = \left( \underset{\longleftarrow}{\lim} \ D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}) \right) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \overline{\mathbb{Q}}_l.$$ This definition is subtle and technical so one might follow Bhatt and Scholze's instruction to pretend that $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ is some full subcategory of a derived category $D^b(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$. This is in fact does not cause any harm because almost every result for $D^b_c(X)$ is already true at the level $D^b_c(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. As far as I understand, the dissatisfaction with this limit-taking step is one of the reasons why Scholze introduced the pro-etale site.

Denote by $\mathfrak{TR}$ to be $2$-category of essentially small triangulated categories, then the family 

$$D^b_c: \mathrm{Var}/k \longrightarrow \mathfrak{TR} \  \ X \longmapsto D^b_c(X)$$ defines a $2$-functor admitting a formalism of six operations $(f^*,f_*,f_!,f^!,\otimes,\underline{\mathrm{Hom}})$, e.g. proper + smooth base change theorems, purity, Poincare duality,...

Objects of $D^b_c(X)$ are called $\mathbb{Q}_l$-sheaves or $l$-adic sheaves. The tensor product admits a unit denoted $\mathbb{Q}_{l,X}$ corresponding to the "constant" $l$-adic sheaf. For a $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$, we define the $i$-th $l$-adic cohomology by setting

$$H^i(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_*\mathcal{F}[n]).$$ if $p: X \longrightarrow \mathrm{Spec}(k)$ is the structural morphism. Similarly, 

$$H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_!\mathcal{F}[n]).$$ There is a subcategory of this category called smooth $l$-adic sheaves. Instead of treating (smooth) $l$-adic sheaf as complexes, we follow a shorter path:

Định lý

Let $X/k$ be an algebraic variety and $\overline{x} \longrightarrow X$ be a geometric point, then there is an equivalent of categories
$$\left \{\text{etale} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{sheaves} \right \} \overset{\sim}{\longrightarrow} \left \{\text{continuous rep. of} \ \pi_1(X,\overline{x}) \ \text{of} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{vector spaces} \right \}.$$ and moreover, smooth $l$-adic sheaves correspond to those representations which are of finite dimension. The equivalence is given by sending each etale $\overline{\mathbb{Q}}_l$ to its fiber over $\overline{x}$
.

Frobenii

 

During the study of this subject, I found out that the definitions of the Frobenius morphism and their traces are ambiguous, precisely, there are several definitions of Frobenii, and the question is: which one is the right one that is used in our calculations and how are they related to others? I'll discuss few approaches to this definition, the explicit one and the abstract one. We still fix $k = \mathbb{F}_q$ and $k_n= \mathbb{F}_{q^n}$, the unique finite extension of degree $n$ of $k$.

 

Explicit definition

 

Although there are some different notions, they all arise from a single one, namely, the absolute Frobenius.

Định nghĩa

Let $A/k$ be an algebra, the Frobenius endomorphism $\mathrm{Frob}:A \longrightarrow A$ is simply the ring homomorphism $a \longmapsto a^p$. This construction is carried to schemes as it should be: if $X/k$ is a scheme, then the absolute Frobenius endomorphism $\mathrm{Frob}: X \longrightarrow X$ is a homeomorphism at the level of underlying topological spaces but on the structure sheaf is $f \longmapsto f^p$. Alternatively, it is defined locally by the Frobeninus endomorphism of affine pieces.

Caution. The Frobenius endomorphism is not an isomorphism in general. 

Bổ đề

The Frobeinus endomorphism $\mathrm{Frob}: X \longrightarrow X$ is finite of degree $q^{\dim(X)}$.

Proof. I strongly recommend you to prove this result with $X = \mathrm{Spec}(k[x_1,...,x_n])$ and move to the general case. Otherwise you can look at Milne's note.

Bổ đề

If $f: X \longrightarrow Y$ is a morphism of $k$-schemes, then $\mathrm{Frob}_Y \circ f = f  \circ \mathrm{Frob}_X$. In other words, the Frobenius construction is natural

Proof. Obvious.

 

Much much more stronger is the following.

Định lý

If $f: U \longrightarrow X$ is an etale morphism of $k$-varieties, then the diagarm \begin{xy}
\xymatrix {
 U \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & U \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian.

Proof. By the previous lemma, there exists a canonical morphism, which is called the relative Frobenius morphism $\mathrm{Frob}_{X/U}: U \longrightarrow X \times_X U$. Note that since $f$ is etale, its base change, the projection onto the first factor $pr_X: X \times_X U \longrightarrow X$ is also etale. But $pr_X \circ \mathrm{Frob}_{X/U} = f$ so that $\mathrm{Frob}_{X/U}$ is etale. The absolute Frobenii are universally bijective (as noted in the definition), this forces $\mathrm{Frob}_{X/U}$ to be universally bijective. A morphism which is universally bijective and etale must be an isomorphism due to StackProject.

We can consider others Frobenii

  • The relative Frobenius $\mathrm{Frob}_r = \mathrm{Frob}_X \times \mathrm{id}_{\overline{k}}: X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$. This one is a special case of the one in the proof above.
  • The arithmetic Frobenius $\mathrm{Frob}_a = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Frob}_{\overline{k}}:X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$.
  • The geometric Frobenius $\mathrm{Frob}_g = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Frob}_{\overline{k}}^{-1}:X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$.

The relative and arithmetic are automorphisms while the geometric and the absolute are not.

Bổ đề

Given a variety $X/k$, then we have $X(k_r)  = \overline{X}^{\mathrm{Frob}_r^n}$ where the relative Frobenius acts on $\overline{X}$ on the first factor. In other words, the set of $k_n$-points of $X$ is the set of closed points of $\overline{X}$ which is fixed under the $r$-iteration of the Frobenius.

Proof. Check on affine pieces.  

 

The next point is to formulate the Grothendieck trace formula, which (I think people may not drop this point at the first reading) is our main tool of computation. We have to find a natural way to define an endormophism, denoted $\mathrm{Frob}^*$

$$\mathrm{Frob}^*: H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) \longrightarrow H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k})$$ for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ and its pullback $\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}$ to $X \otimes_k \overline{k}$.

 

Think topologically and remember how people thought about sheaves in the beginning days. Well, sheaves are actually sheaves of sections of etale spaces (by this, I really mean we have some equivalence of categories), the same thing happens here: for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ on $X$, there exists an algebraic space (which plays the role of an etale space in the topological world) $[\mathcal{F}]$ together with an etale morphism $f: [\mathcal{F}] \longrightarrow X$ such that $\mathcal{F}$ becomes the sheaf of sections of this morphism. As a consequence, we may identify $\mathcal{F}$ with $[\mathcal{F}]$. By base change, we obtain an etale morphism $f \otimes_k \overline{k}: [\mathcal{F}] \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$ and in a similar to the theorem above, the diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F} \otimes_k \overline{k} \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & \overline{\mathcal{F}} \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian. That being said, $\overline{\mathcal{F}} \simeq  \mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}$ where by $\mathrm{Frob}^*$ I really mean pullback of a sheaf. This isomorphism yields two important facts:

  • The composition $$\mathrm{Frob}^*: H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}}) \longrightarrow H_c^i(X \otimes_k \overline{k},\mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}) \simeq H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}})$$ is the one that we are seeking, where the first morphism is the natural morphism. 
  • If $x \in X \otimes_k \overline{k}$ is fixed by the $n$-iteration of the absolute Frobenius, then taking stalks induces an isomorphism $\mathrm{Frob}_x^{*n}: \mathcal{F}_x \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathcal{F}_x$.

Định lý

(Grothendieck-Lefschetz trace formula). With these data, we have

$$\sum_{x \in X(k_n)}\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*n},\mathcal{F}_x) = \sum_i (-1)^i\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^{*n},H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\overline{\mathcal{F}})).$$ In particular, 

$$\sum_{x \in X(k)}\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x) = \sum_i (-1)^i\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^{*},H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\overline{\mathcal{F}})).$$

If we set

$$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) =  \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x)$$ for each $x \in X(k)$, then this constitues a function

$$\mathrm{Trace}: X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l = \mathbb{C}$$ with the following properties

  • For any $x \in X(k)$ and $\mathcal{F},\mathcal{G} \in D^b_c(X)$ $$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x)\mathrm{Trace}_{\mathcal{G}}(x) = \mathrm{Trace}_{\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}}(x).$$
  • For any morphism of $k$-varieties $f: X \longrightarrow Y$ $$\mathrm{Trace}_{f^*\mathcal{F}}(x)  = \mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(f(x)).$$
  • For any $y \in Y(k)$ then $$\sum_{x \in X_y(k)} \mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) = \mathrm{Trace}_{f_!\mathcal{F}}(y).$$

Katz's point of view

 

Given a connected variety $X/k$ and for any point $x: k_r \longrightarrow X$, we get an induced group homomorphism

$$x_*: \pi_1(k_r,\overline{k}) \longrightarrow \pi_1(X,\overline{k})$$ by the functoriality of the etale fundamental group functor. Since $\pi_1(k_r)$ contains the Frobenius automorphism $\mathrm{Frob}_{k_r}: \overline{k} \longrightarrow \overline{k}, a \mapsto a^{\left| k_r \right|}$, we can consider its image via $x_*$ and set

$$x_*(\mathrm{Frob}_{k_r}) = \mathrm{Frob}_{k_r,x}.$$ Now given a smooth $l$-adic sheaf, i.e. a finitely dimensional representation 

$$\mathcal{F}: \pi_1(X) \longrightarrow \mathrm{GL}(r,\overline{\mathbb{Q}}_l),$$ and a $k$-point $x: k \longrightarrow X$ then it makes sense to consider the trace of the automorphism $\mathrm{Trace}(\mathcal{F}(\mathrm{Frob}_{k,x}))$ which is nothing but $\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x)$ considered before. However, I do not have any reference for this.

 

Artin-Schreier theory

 

Now with the formalism of $l$-adic cohomology in hands, we are ready to translate functions to cohomology. We introduce things called Artin-Schreier sheaf on $\mathbb{A}^1$. Here again, $k = \mathbb{F}_q, q = p^m$.

 

The Artin-Schreier sheaf is the morphism 

$$\begin{align*} L: \mathbb{A}^1_k &  \longrightarrow \mathbb{A}^1_k \\ t & \longmapsto t - t^q  \end{align*}$$ (here $t$ denotes the canonical coordinate on $\mathbb{A}^1$) is an etale covering whose whose Galois group is $\mathbb{F}_q$, i.e. $\mathrm{Aut}_{\mathbb{A}^1}(\mathbb{A}^1) = k$ and generated by $x \longmapsto x+1$.  Note that the fundamental group $\pi_1(\mathbb{A}^1)$ contains $\mathrm{Aut}_{\mathbb{A}^1}(\mathbb{A}^1)$ as an element of the projective system, so there is a canonical projection 

$$\pi_1(\mathbb{A}_k^1) \longrightarrow k.$$ Given any additive character $\psi: k  \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$, one then has a local system of rank $1$ from the composition 

$$\mathcal{L}_{\psi}: \pi_1(\mathbb{A}_k^1) \longrightarrow k \overset{\psi}{\longrightarrow} \overline{\mathbb{Q}}_l^{\times}$$ denoted $\mathcal{L}_{\psi}$, called the Artin-Schreier sheaf of $\psi$. The important fact is that

Bổ đề

$\mathrm{Trace}_{\mathcal{L}_{\psi}}(x)  = \psi(x)$ for any $x \in k = \mathbb{A}^1_k(k)$.

Proof. Since $\mathrm{Trace}_{\mathcal{L}_{\psi}}(x) = \mathrm{Trace}(\psi(\mathcal{L}_{\psi}(\mathrm{Frob}_{k,x})))$, we need to know what is $\mathcal{L}_{\psi}(\mathrm{Frob}_{k,x})$; in other words, where the Frobenius goes. We are done if we can prove that $ \mathcal{L}_{\psi}(\mathrm{Frob}_{k,x})=x$. To be continued.

 

Now we come to the main point, namely, the cohomological expression of Kloosterman sums. For any value $a$, we consider the hyperbol

$$X_a = \left \{(x,y) \in \mathbb{A}^2_k \mid xy = a \right \}$$

and consider the morphism $h_a: X_a \longrightarrow \mathbb{A}^1, (x,y) \mapsto x+y$. By theorem 5 and lemma 4, we have

$$\mathrm{Kl}(a,\psi) = \sum_{i=0}^2 (-1)^i \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*, H^i_c(X_a \otimes_k \overline{k}, h_a^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes_k \overline{k})).$$ Note that $X_a$ is non-compact curve, so $H^0(X_a) = 0$ and by Poincare duality $H^2(X_a)=0$, therefore 

$$\mathrm{Kl}(a,\psi) = - \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*, H^1_c(X_a \otimes_k \overline{k}, h_a^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes_k \overline{k})).$$ Note that, $$\dim \ H^1_c(X_a \otimes_k \overline{k}, h_a^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes_k \overline{k}) = -\chi_c(X_a, h^*\mathcal{L}_{\psi})$$ the Euler characteristic with compact support. We'd like to compute this dimension first. Thanks to the Grothendieck-Ogg-Shafarevich theorem, we can compute this characteristic as follows.

Định lý

(Grothendieck-Ogg-Shafarevich). Let $\overline{X}$ be a proper smooth curve over $k$ and $X$ an open subset of $\overline{X}$ and $\mathcal{F}$ a local system on $X$. Then

$$\chi_c(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F}) = \chi_c(X \otimes_k \overline{k})\mathrm{rank}(\mathcal{F})  - \sum_{x \in \overline{X}\setminus X} \mathrm{Sw}_x(\mathcal{F})$$ where $\mathrm{Sw}$ are Swan conductors.

The Swan conductors are hard to be defined but in practice, one just needs to know its formal properties:

  • $\mathrm{Sw}_x(\mathcal{F})$ depends only on its restriction to the punctured formal disc $\hat{X}_x^{\bullet}$. 
  • $\mathrm{Sw}_x(\mathcal{F})=0$ when the restriction of $\mathcal{F}$ to $\hat{X}_x^{\bullet}$ is tame.
  • If $\mathcal{G}$ is a tame local system at $\hat{X}_x^{\times}$, then $\mathrm{Sw}_x(\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}) = \mathrm{Sw}_x(\mathcal{F})\mathrm{rank}(\mathcal{G}).$

Here are some computations.

Ví dụ

If $X = \mathbb{A}^1$ and $\mathcal{F} = \mathcal{L}_{\psi}$, then by an elementary argument, we see that

$$\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*,H_c^1(\mathbb{A}^1,\mathcal{L}_{\psi})) = \sum_{x \in k} \psi(x) = 0$$ and hence $\chi_c(\mathbb{A}^1,\mathcal{L}_{\psi})=0$. By Grothendieck-Ogg-Shafarevich formula, we see that

$$0 = \chi_c(\mathbb{A}^1)\mathrm{rank}(\mathcal{L}_{\psi}) - \mathrm{Sw}_{\infty}(\mathcal{L}_{\psi})$$ and from this we deduce that $\mathrm{Sw}_{\infty}(\mathcal{L}_{\psi}) = 1$.

Ví dụ

For each $a \neq 0$, we see that $X_a \simeq \mathbb{G}_m$ so by Grothendieck-Ogg-Shafarevich formula,

$$\chi_c(X_a,h_a^*\mathcal{L}_{\psi}) = \chi_c(X_a) - \mathrm{Sw}_0(h_a^*\mathcal{L}_{\psi}) - \mathrm{Sw}_{\infty}(h_a^*\mathcal{L}_{\psi}) = - \mathrm{Sw}_0(h_a^*\mathcal{L}_{\psi}) - \mathrm{Sw}_{\infty}(h_a^*\mathcal{L}_{\psi}).$$ By the properties of Swan conductors

$$\begin{align*} \mathrm{Sw}_0(h_a^*\mathcal{L}_{\psi}) & = \mathrm{Sw}_0(x^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes y^*\mathcal{L}_{\psi}) \\ & = \mathrm{Sw}_0(x^*\mathcal{L}_{\psi})\mathrm{rank}(y^*\mathcal{L}_{\psi})  = 1 \end{align*}$$ since $y^*\mathcal{L}_{\psi}$ is even unramified (not just tame) and by the previous example. By symmetry, $\mathrm{Sw}_{\infty}(h_a^*\mathcal{L}_{\psi}) = 1$ and finally this all implies that $\chi_c(X_a,h_a^*\mathcal{L}_{\psi})=2$.

 

Weight theory of Deligne

 

We fix once for all an identification $\iota: \overline{\mathbb{Q}}_l  \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathbb{C}$ so that we can speak of an absolute on $\overline{\mathbb{Q}}_l$. Given a smooth $\mathbb{Q}_l$-sheaf $\mathcal{F}$ on an algebraic variety $X/k$, $k_n/k$ a finite extension of $k$.

$$\mathcal{F}: \pi_1(X) \longrightarrow \mathrm{GL}(r,\mathbb{C})$$ and a point $x \in X(k_n)$, then we say that

  • $\mathcal{F}$ is pure of weight $w$ if for each $n$, every eigenvalue of $\mathrm{Frob}^{*n}_x$ has eigenvalues with absolute values $\left|k \right|^{w/2}$.
  • $\mathcal{F}$ is mixed of weight $\geq w$ if if for each $n$, every eigenvalue of $\mathrm{Frob}^{*n}_x$ has eigenvalues with absolute values $\geq \left|k \right|^{w/2}$.
  • $\mathcal{F}$ is mixed of weight $\leq w$ if if for each $n$, every eigenvalue of $\mathrm{Frob}^{*n}_x$ has eigenvalues with absolute values $\leq \left|k \right|^{w/2}$.

We call the celebrated theorem due to Deligne, originally known as Weil conjectures.

Định lý

(Deligne) Let $X/k$ be a variety and $\mathcal{F}$ is a $l$-adic sheaf mixed of weight $\leq 0$, then every eigenvalue of 

$$\mathrm{Frob}^*:H_c^i(X \otimes_k \overline{k},  \mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) \longrightarrow H_c^i(X \otimes_k \overline{k},  \mathcal{F} \otimes_k \overline{k})$$ has absolute values $\leq \left |k \right|^{i/2}$

In Weil II, Deligne proved something much stronger where one replaces $U \longrightarrow \mathrm{Spec}(k)$ by a morphism $f: X \longrightarrow Y$, then $R^if_!\mathcal{F}$ is mixed of weight $\leq w +i$  whenever $\mathcal{F}$ is mixed of weight $\leq w$. However, the Target theorem is enough to deduce the last part of the Weil conjectures and estimates of Kloosterman sums. 

 

From Deligne's weight theorems, the computation $\dim \ H^1_c(X_a \otimes_k \overline{k} ,h_a^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes_k \overline{k}) = 2$, and 

$$\mathrm{Kl}(a,\psi) = - \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^*, H^1_c(X_a \otimes_k \overline{k}, h_a^*\mathcal{L}_{\psi} \otimes_k \overline{k})).$$ we see that

$$\left | \mathrm{Kl}(a,\psi) \right| \leq 2p^{1/2}.$$

More generally, if we define a generalized Kloosterman sum as 

$$\mathrm{Kl}_m(a,\psi) = \sum_{x_1\cdots x_m = a, x_i \in k}\psi(x_1 + \cdots + x_m)$$ then we have an estimate $\left |\mathrm{Kl}_m(a,\psi) \right | \leq mp^{(m-1)/2}$.  




#741136 Chuyện về những người ăn học không đến nơi đến chốn - bb1412 và vth

Gửi bởi bangbang1412 trong 21-08-2023 - 22:37

Bạn Lê Đăng Khương ngày nào còn tranh luận ở đây giờ đã bỏ học HUS từ sớm để về làm giáo viên, lập ra một đạo phái con của đạo phái mạng nhện. Nhìn và nghĩ mà thấy lực bất tòng tâm với thời đại.

 

Từng đọc trên diễn đàn toán học một topic rất sôi nổi là "Học gì ở toán phổ thông". Hình như những dự định của các anh không còn tiếp tục? Hẳn là mọi người có lí do và kế hoạch riêng. Mong các anh sẽ tiếp tục. Những cố gắng của các anh có thể giúp được ai đó, dù chỉ một thôi, cũng là rất đáng quý.

Chào em, có ba điều anh muốn nói

  • Thứ nhất, em không nên coi thường những ai làm hình học affine.
  • Thứ hai, anh không coi đó là chuyện tới mức thời đại.
  • Thứ ba, bọn anh vẫn học toán.



#741019 Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ X

Gửi bởi bangbang1412 trong 12-08-2023 - 13:53

File gửi kèm  z4597257711933_474c97dc99ee73cfd5b42e24aa6b0d12.jpg   107.04K   16 Số lần tải

Hình: Một em bé chụp tại VMC.

File gửi kèm  z4597257714691_57d967e8725dfb8c26aff408f4eea369.jpg   47.91K   16 Số lần tải

Hình: thầy Nguyễn Duy Tân tại phiên báo cáo toàn thể với tiêu đề On the Massey Vanishing Conjecture in Galois cohomology of fields.




#738547 $\sum \left(\frac{a}{2a+b}\right)^3\geq\fr...

Gửi bởi bangbang1412 trong 12-04-2023 - 06:13

Do $a,b,c>0$
Ta có: $\sum (\frac{a}{2a+b})^{3} = \sum(\frac{1}{2+\frac{b}{a}}) ^{3}$
Đặt $x=\frac{b}{a}$ ; $y=\frac{c}{b}$ ; $z=\frac{a}{c}$
Khi đó bất đẳng thức cần CM là $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{1}{9}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
 $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{3}{\prod (2+x)}$
Theo AM-GM: $\prod (2+x)\leq(\frac{6+\sum x}{3}) ^{3}$
=> $\sum(\frac{1}{2+x}) ^{3}\geq \frac{81}{(6+\sum x)^{3}}$
Do bất đẳng thức là thuần nhất đồng bậc nên ta chuẩn hóa $x+y+z=3$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ $<=> a=b=c$


Từ chỗ $\prod(x+2)$ không dùng AM-GM được như bạn truongphat266 đã nhận xét, thay vào đó hãy dùng Holder ba biến với lưu ý $xyz=1$.