Ví dụ, một đính lý trong một mảng này có thể được "dịch" sang một mảng khác thông qua category, và như vậy ta có thể thu được một định lý mới (hoặc một định lý đã có sẵn, nhưng xem như cách chứng minh là mới, thông qua category theory và kết quả của mảng kia). Đã có trường hợp nào mà category theory giúp phát hiện ra định lý mới như vậy chưa nhỉ? Anh nghĩ chắc là phải có chứ?
Nếu học category theory, thì anh trông đợi là sẽ được học những ví dụ hay làm những bài tập tương tự như vậy. Còn nếu chỉ có định nghĩa, thì học category theory để làm gì?
Đến đây làm nhớ tới một câu mà Dieudonné nói với Grothendieck, đại loại "il ne faut pas généraliser pour le plaisir de généraliser". Cụm từ "abstract nonsense" chắc cũng xuất phát từ việc cho rằng category theory chỉ để trừu tượng hoá lên mọi thứ chứ chẳng dùng được làm gì. Nhưng ngày nay thì đã rất rõ ràng rằng điều đó không đúng (và lưu ý rằng "abstract nonsense" ngày nay được mọi người dùng với nghĩa tích cực chứ không phải tiêu cực).
Anh đang hiểu theo cách em đã cảnh báo ở trên, em nói rằng chữ theory trong category theory không có nghĩa là một theory như các ngành cụ thể, mà ở sơ khởi nó chỉ thuần tuý là một cách diễn đạt nhiều khái niệm trong toán học dưới một ngôn ngữ hình thức và cho gọn, cho đẹp hơn. Một khi người ta học đủ họ sẽ tự nhận ra sự tương đồng giữa các cách viết định nghĩa, lập luận trong các ngành, và cần thiết để có một cách trình bày gọn gẽ hơn, đó là cái lý thuyết phạm trù làm. Nhưng Không có việc chuyển dịch một định lý từ cái này sang cái kia, em có thể nói cụm từ abstract nonsense cá nhân em không dùng nó với nghĩa tiêu cực nhưng cũng không tích cực. Nếu ai cũng chỉ học category theory xong vẽ ra mấy cái biểu đồ thì như anh Nxb bảo thì ai cũng làm toán được hết. Bản chất vẫn là nội tại của ngành mình làm.
Nói thế không có nghĩa là có thể coi thường cái cách lý thuyết phạm trù làm người ta viết mọi thứ chuẩn chỉ hơn, như Brian Conrad nói before functoriality, people still live in caves. Lý thuyết phạm trù, ngoài việc giúp trình bày còn mang lại cái philosophies. Ví dụ điển hình là quan điển functor of points (hàm tử điểm) của Grothendieck hay gọi là relative point of view, hay gì cũng được, xuất phát từ bổ đề Yoneda. Bổ đề Yoneda nói rằng một vật trong một phạm trù được xác định nếu ta biết tất cả các cấu xạ đi vào vật đó (thế nên Serre mới viết ...comme Grothendieck nous l'a appris, les objets d'une catégorie ne jouent pas un grand rôle, ce sont les morphismes qui sont essentiels.). Hoặc một cái khác là tính phổ dụng (universal property) và một thứ quan trọng nữa lý thuyết phạm trù dạy cho ta, đó là xây dựng cái gì thì cũng phải có tính hàm tử (functoriality). Em sẽ để ra vài ví dụ:
- Đầu tiên, và kinh điển nhất, là đối ngẫu của không gian vector $V$ trên $\mathbf{R}$ (bất cứ trường nào cũng được): đối ngẫu một lần $V^{\vee}$ thì đẳng cấu với $V$ (vì có cùng số chiều). Nhưng bất biến về số chiều thì quá thô, đẳng cấu này dựa vào việc chọn một cơ sở của $V$, có rất nhiều cơ sở, làm sao mà biết cái nào chuẩn nhất? Tuy nhiên đối ngẫu hai lần $V^{\vee \vee}$ thì tự nhiên, tồn tại một phép xây dựng $V \longmapsto V^{\vee \vee}$ tự nhiên theo nghĩa cứ có một đồng cấu không gian vector $V \longrightarrow W$ thì có một đồng cấu $V^{\vee \vee} \longrightarrow W^{\vee \vee}$. Trong trường hợp đối ngẫu một lần, phép hợp thành cũng cho ta $W^{\vee} \longrightarrow V^{\vee}$, nhưng do phụ thuộc vào cơ sở, nó không tương thích với phép xây dựng $V \longmapsto V^{\vee}$.
- Cho $G$ là một nhóm, làm thế nào để tạo ra một nhóm giao hoán (commutative group, hoặc abelian group) từ $G$? Có một cách, lấy tâm của $$Z(G) = \left \{g \in G \mid gx = xg \forall x \in G \right \}$$ Tuy nhiên cách làm này có quá nhiều bất lợi, tâm của một nhóm có thể rất bé (ví dụ tâm của nhóm ma trận của là bội của ma trận đơn vị), và quan trọng hơn, nếu có một đồng cấu nhóm $G \longrightarrow H$, ta không có một đồng cấu nhóm giao hoán $Z(G) \longrightarrow Z(H)$. May mắn, ta có một cách khác, là xét abel-hoá $G^{ab}$ của $G$, tức là nhóm thương $G/[G,G]$ trong đó $[G,G]$ là nhóm con các giao hoán tử, i.e. sinh bởi các phần tử $aba^{-1}b^{-1}$. Xây dựng này thì có tính hàm tử nên nó tốt. Nó còn tốt hơn nữa do nó là đảo ngược quá trình ta đưa một nhóm abel thành một nhóm. Khi anh có một nhóm abel $G$, anh có thể xem nó như một nhóm (mà quên mất tính giao hoán), quá trình này gọi là quên (forgetful functor). Khi anh xem xét một đồng cấu $G \longrightarrow H$ với $H$ abel, $G$ bất kỳ, thực chất anh đã quên mất tính abel của $H$ (do đồng cấu của nhóm abel cũng chỉ là đồng cấu nhóm). Làm thế nào để không mất thông tin? Đó là với bất kỳ đồng cấu nào thế kia, nó đều tách thành hợp thành $G \longrightarrow G^{ab} = G/[G,G] \longrightarrow H$, tức là tách qua nhóm abel hoá của $G$, và thực chất ta đang làm với các nhóm abel. Rồi bấy giờ chúng ta hãy thử chứng minh $(G \times H)^{ab} \cong G^{ab} \times H^{ab}$. Đây là một bài tập đơn giản, nhưng không khai sáng lắm nếu ta viết ra cụ thể một đẳng cấu. Tính phổ dụng cho ta một chứng minh độc đáo hơn.
- Nếu chưa thoả mãn với ví dụ này, hãy xét tiếp với tích tensor $V \otimes_{\mathbf{R}} W$ của hai không gian vector $V,W$ trên $\mathbf{R}$ chẳng hạn. Tích tensor trong đại số tuyến tính dù được xây dựng tường minh nhưng tính phổ dụng mới là cái độc đáo của nó. Nó nói rằng phép xây dựng tensor là cách ta "đơn" tuyến tính hoá một cái gì đó song tuyến tính. Rất nhiều chứng minh ví dụ như kiểu $V \otimes W \cong W \otimes V$ mà viết cụ thể ra thì rất mệt, tính phổ dụng cho tư duy gọn gàng hơn, và chứng minh khai sáng hơn. Tóm lại ta "không" nhớ về vật, mà ta nhớ về cấu xạ giữa vật. Ta cũng "không" nhớ về xây dựng, mà ta nhớ tính phổ dụng (tức là mục đích của nó là gì). Theo nghĩa này, lý thuyết phạm trù là một cách thay đổi tư duy: lý thuyết phạm trù là cách thể hiện mối tương quan giữa các đối tượng và là chọn ra một xây dựng tự nhiên nhất.
- Đây là một "phản ví dụ" cho cái mà anh muốn hỏi: liệu có thể chứng minh một định lý ở lĩnh vực này và áp dụng category theory để translate sang lĩnh vực khác không? Câu trả lời là có, nhưng không đơn giản như thế. Nguyên lý GAGA (Géométrie algébrique et géométrie analytique) của J. P. Serre nói rằng một một tương ứng $1-1$ giữa các đa tạp xạ ảnh đại số xạ ảnh phức (projective complex algebraic variety) và các không gian giải tích compact (compact analytic space). Nói khác đi, một bài toán về đa tạp đại số xạ ảnh trên trường $\mathbf{C}$ có thể nghiên cứu bằng công cụ giải tích phức và ngược lại. Nói tổng quát hơn, hình học đại số trên $\mathbf{C}$ dù làm bằng đại số hay giải tích thì cũng như nhau! Nhưng đây không phải là lý thuyết phạm trù, nếu anh đọc chứng minh của nguyên lý này, hoàn toàn không có gì là phạm trù mà chỉ là đại số giao hoán và giải tích phức. Phạm trù chỉ là cách viết $X$ (đa tạp đại số) biến thành $X^{an}$ (không gian giải tích) thì là một tương đương phạm trù (equivalence of categories).
- Một cái tương đương khác như vậy gọi là tương ứng Dold-Kan, nó nói rằng phạm trù các nhóm abel đơn hình (simplicial abelian groups) và phạm trù các phức (complexes) là tương đương nhau. Tức là dù anh làm với mô hình đại số (phức) hay mô hình tổ hợp (simplicial objects) thì cũng như nhau. Nhưng đọc chứng minh thì hoàn toàn không có gì gọi là thuần tuý phạm trù, toàn là dãy phổ (spectral sequences) với đại số đồng điều (homological algebra). Ở đây còn có một cầu nối rất sâu sắc giữa hai kiểu mô hình này, đó là chúng cùng là các phạm trù mô hình (model categories) riêng, sinh bởi đối phân thớ (proper + cofibrantly generated model categories). Ở đây mới bắt đầu có thể nói phạm trù (hoặc infinity category mà anh Nxb làm) thực sự là một ngành nghiên cứu.
- Một ví dụ khác, cao cấp hơn nữa cho những ai quan tâm về việc phạm trù có thể giúp định hình tư duy như thế nào và tại sao lại nên có một phạm trù tốt. Tức là rất nhiều xây dựng trong các ngành là "cái bóng" (shadow) của một xây dựng nào đó "bên trên": đối đồng điều là cái bóng của motives hoặc lý thuyết về các derivator trong bản thảo 2000 trang của Grothendieck (the theory of derivators). Cái này không phải là em nói về lý thuyết derivator như một chuyên gia, mà như tư cách một người học, tức là có trải nghiệm cụ thể với lý thuyết. Lý thuyết về derivator có thể coi là cái "motive" thật sự (in some sense, of course!) của hình thức luận sáu hàm tử (six functors formalism). Mục đích ban đầu của Grothendieck khi đề xuất nó là do xây dựng trụ (cone) của phạm trù tam giác (triangulated categories) không có tính hàm tử (nhiều người vì lý do này tin rằng phạm trù tam giác vẫn chưa phải là xây dựng tốt, cũng như người ta tin đối đồng điều étale thì vẫn chưa phải là đối đồng điều "đúng" cho đa tạp đại số; xin nói thêm hơi dài chỗ này một chút: cái Grothendieck muốn cho lý thuyết motive là tìm được phạm trù motives trộn - aka category of mixed motives mà từ đó các đối đồng điều đều là cái bóng của các vật trong phạm trù này. Cái đúng theo philosophy của Grothendieck là phạm trù đúng, đúng tức là tốt, chứ không phải một đối tượng cụ thể tốt (một phạm trù tốt mà vật xấu thì còn tốt hơn một phạm trù xấu mà vật tốt - có thể nói vậy). Ví dụ một quá trình $$D^b(X_{\overline{k}},\mathbf{Q}_l) \longmapsto H^{\bullet}_{et}(X_{\overline{k}};\mathbf{Q}_l) \longmapsto \zeta_X(T)$$ là đi từ categorical-level invariant thu được set-level invariant và lấy toàn tử Frobenius thu được element-level invariant), tức là từ phạm trù, được bất biến đại số, và được hàm. Derivators là chỗ mà ta làm việc "rất hình thức" nhưng các xây dựng thì lại tổng quát (mà không hề nonsense) tới mức có thể đặc biệt hoá (chiếu xuống) các xây dựng cụ thể tới một cách bất ngờ. Ví dụ các định lý đổi cơ sở (Bech-Chevalley), dãy địa phương của một cặp bù trừ lược đồ đòng mở,... đều có thể viết thành ngôn ngữ phạm trù hết. Khi em học về các xây dựng của lý thuyết phạm trù mô hình (nhất là tính tam giác hoá của phạm trù đồng luân của một phạm trù định điểm) thì rất bối rối vì dù các chứng minh cũng không quá khó (lấy động lực từ tôpô cả, nhưng mà vẫn khó, phần nữa phong cách Pháp họ còn không viết nhiều ví dụ) nhưng vẫn rất loằng ngoằng. Lý thuyết derivator là một cách định hình hoá lại cái mindset của em. Cái cone construction thực chất ban đầu nằm trong phạm trù gốc, nhưng thực chất lý thuyết derivator nói nó nên nằm ở "một phạm trù cao hơn". Tìm kiếm các phạm trù ngày nay không còn là công việc xa lạ với những người làm hình học đại số.
Tặng anh và anh Nxb cái meme em làm:
Cuối cùng là tự pr, hồi mới học tô-pô đại số em có viết cái note này để tổng hợp các ví dụ. Như anh có thể thấy, sau mỗi khái niệm là một loạt các ví dụ. Nên em nghĩ là nếu anh muốn học thì có hai cách: lao vào tô-pô đại số hoặc như anh Nxb bảo, kiếm cái gì đó ứng dụng vì giờ người ta cũng mang nó đi nhiều nơi mà. Ngay cả mấy ông triết chủng cũng còn học phạm trù cơ mà.
- Nesbit, perfectstrong, Nxb và 1 người khác yêu thích