Bài 1 : Chứng minh phương trình $a^{2}+b^{2}=c^{2}+3$ có vô số nghiệm nguyên .
Đặt $c=2k+1$ thì phương trình trở thành $a^{2}+b^{2}=4k^{2}+4k+4$
Đặt $a=2m,b=2n$ thì $m^{2}+n^{2}=k^{2}+k+1$
Chọn $m=k$ khi đó chỉ cần có $n^{2}=k+1$ và do luôn tồn tại nên phương trình này có vô số nghiệm dạng
$(a,b,c)=(2k,2n,2k+1)$ trong đó $k,n$ nguyên dương liên hệ với nhau bởi $n^{2}=k+1$ , ta có đpcm
Bài 5: $19x^{2}+5y^{9}+1890z^{1945}=t^{2003}$
Với dạng này ta có thể xây dựng họ nghiệm như sau và ta có thể giải bài toán tổng quát với phương pháp :
$a_{1}x_{1}^{k_{1}}+a_{2}x_{2}^{k_{2}}+.....+a_{n}x_{n}^{k_{n}}=t^{s}$
Chỉ cần tính tổng các hệ số $a_{1}+a_{2}+.........+a_{n}=b$ và áp dụng công thức :
$b^{y}+b^{y}+...............+b^{y}=b^{y+1}$ và giải các hệ $x_{i}^{k_{i}}=b^{y}$ cho phù hợp là có thể kết luận phương trình có vô số nghiệm nguyên .
Theo đó ta có thể dễ dàng chứng minh phương trình ban đầu có vô số nghiệm nguyên .
Bài 3 : Ta có thể tính tổng ở tử như sau :
$1^{2}+2^{2}+........+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Nên biểu thức ban đầu là số chính phương khi và chỉ khi phương trình :
$(n+1)(2n+1)=6m^{2}$ có vô số nghiệm nguyên .
Đặt $n=6k-1$ thì $k(2n+1)=m^{2}<=>k(12k-1)=m^{2}$
Chọn $k=a^{2},12k-1=12a^{2}-1=b^{2}=>b^{2}-12a^{2}=-1$ có vô số nghiệm vì nó là pt Pell loại $2$ , và do đó ta có đpcm .
- Zaraki, Yagami Raito, DarkBlood và 9 người khác yêu thích