bangbang1412

Trong đề $2007$ chúng ta còn các phần sau:

Exercise $1$. Phần $1-7$ tuy nhiên chỉ trừ phần $7$ ra thì các phần còn lại là khá dễ.

Do không ai đề nghị nên mình đề nghị chúng ta chuyển sang đề $2010$.

Đề lần này là tiếng Pháp, tuy nhiên nếu đã quen mặt chữ tiếng Anh và dùng một chút google dịch thì ai cũng có thể hiểu đề. Nếu có có thời gian dịch đề này ra giùm thì tốt.

Edit: Mình mới nhận thấy cách thức ra đề những năm càng về sau càng khó, có vẻ nó giản lược hóa từ một research proj nào đó rồi cho vào đề, trong khi các năm đầu thì chia chủ đề cụ thể hơn và có thể tìm thấy trong các standard textbook. Lấy ví dụ đề $2010$ ở trên nguyên part đầu là nội suy Lagrange và tối ưu trên $C[a,b]$, cái này sách tối ưu hóa nào cũng có; ví dụ một cuốn tiếng Việt như vậy là tối ưu hóa của thầy Phạm Kỳ Anh.  Vậy nên ai hứng thú có thể chiến ngược từ trên xuống, bắt đầu từ năm $2017$ (năm $2018,2019$ chỉ có oral test).

Exercise $2$.

Cái này hay nè, vì nó có cả trong class field theory và Milnor K-theory for fields. Hồi trước mình chỉ có cơ hội chôm chỉa một ít hai nhóm $K_0,K_1$ mà đã lăn nhoài ra vì mệt. Trong phần này cái cách người ta định nghĩa một Steinberg symbol giống như tame symbol cho discrete valuation field. Nhờ một định lý của Matsumoto mà người ta có thể tính nhóm $K_2$ của một trường $F$ như sau:

$$K_2F = F^{\times} \otimes F^{\times} / \left \{ \text{ideal sinh bởi} \ a \otimes (1-a) \right \}$$

Nhưng thôi, nói xa quá; quay lại chủ đề chính.

$1$. Hiển nhiên.

$2$.

• $\phi(a,1)=\phi(a,1.1) = \phi(a,1)+\phi(a,1) \Rightarrow \phi(a,1) = 0$.
• Ta có $\phi(a^{-1},1-a^{-1})=0 \Rightarrow \phi(a,1-a^{-1})=0$ do $\phi(1,a)=0$ từ đó $\phi(a,-a)=\phi(a,-a)+\phi(a,1-a^{-1}) = \phi(a,1-a)=0$.
• $\phi(a,a)+\phi(a,-1)=\phi(a,-a)=0$ nhưng lại do $\phi(a,-1)+\phi(a,-1)=0 \Rightarrow \phi(a,a)=\phi(a,-1)$.
• Từ $(b)$ ta có $\phi(ab,-ab)=0 \Rightarrow \phi(a,-a)+\phi(a,b)+\phi(b,a)+ \phi(b,-b) = 0\Rightarrow \phi(a,b)+\phi(b,a)=0$.

$3$.

$(a)$. Phần này khá hiển nhiên, lưu ý ta đang làm việc với trường $\mathbb{C}$ nên mọi thứ khá là tốt, cụ thể ở đây ta viết $f(t) = t^{v(f)}\frac{P(t)}{Q(t)}$ với $P, Q \in \mathbb{C}[t], (P,Q)=1$ và $P(0),Q(0) \neq 0$. Khi đó $v_0(f) = v(f)$ và $\lambda(f) = \frac{P(0)}{Q(0)}$. Tính duy nhất là khá hiển nhiên.

$(b)$. Suy ra từ tính duy nhất của phần $(a)$.

$(c)$ Tiên đề $(S_1)$ suy ra từ việc $v,\lambda$ là các đồng cấu, ta chứng minh $\phi_0(f,1-f)=0 \ \forall f \neq 1$. Để làm điều này ta cần chia ra hai trường hợp:

• Trường hợp $v(f)=0$ tức là (giống với kí hiệu phần $(a)$) $f(t) = \frac{P(t)}{Q(t)} \Rightarrow 1 - f(t) = \frac{Q(t) - P(t)}{Q(t)}$ khi này rõ ràng $\lambda(f) = \frac{P(0)}{Q(0)}$. Nếu $\lambda(f) = 1$ thì $\phi_0(f,1-f)= (-1)^{0}1^{v(1-f)}\lambda(1-f)^{0} = 1$ còn nếu $\lambda(f) \neq 1$ thì $P(0) \neq Q(t)$ do đó cả tử và mẫu của $1 - f$ không là bội của $t$ nên $v(1-f)=0$ từ đó cũng suy ra $\phi(f,1-f)=1$.
• Trường hợp $v(f) > 0$ thì ta có $f(t) = t^{v(f)}\frac{P(t)}{Q(t)} \Rightarrow 1 - f(t) = \frac{Q(t) - t^{v(f)}P(t)}{Q(t)}$ khi đó ta thấy $v(1-f)=0, \lambda(1-f)=1$ và cũng suy ra $\phi_0(f,1-f)=1$.
• Trường hợp $v(f) < 0$ thì $1- f(t) = \frac{t^{-v(f)}Q(t) - P(t)}{t^{-v(f)}Q(t)}$ và do đó $v(1-f) = v(f), \lambda(1-f)=-\lambda(f)$ nên $\phi_0(f,1-f) = (-1)^{v(f)^2}\lambda(f)^{v(f)}(-\lambda(f))^{-v(f)} = 1$ do $v(f)(v(f)-1)$ luôn là số chẵn.

$(d)$. Dễ thấy nếu $f \in \mathbb{C}[t] \Rightarrow f(t) = t^{v(f)}P(t), P(0) \neq 0$ do đó:

$$\phi_0(f,t) = (-1)^{v(f).1}\lambda(f)^{v(t)} \lambda(t)^{-v(f)}=(-1)^{v(f)}.P(0).1^{-v(f)} = P(0)$$

là hệ số nhỏ nhất của $f$ khác $0$.

$4$. Ta viết lại biểu thức ở phần $3.(a)$, kí hiệu $f(\frac{1}{t}) = \overline{f}(t), f(t+\alpha) = f_{\alpha}(t)$ trong đó $g(t)= t^{v(g)}\frac{R(t)}{S(t)}$:

$$f(\frac{1}{t}) = (\frac{1}{t})^{v(f)} \frac{P(\frac{1}{t})}{Q(\frac{1}{t})}  = t^{\mathrm{deg}Q - \mathrm{deg}(P) - v(f)} \frac{t^{\mathrm{deg}(P)}P(\frac{1}{t})}{t^{\mathrm{deg}(Q)}Q(\frac{1}{t})}$$

Từ đó ra suy ra $v(\overline{f}) = -\mathrm{deg}(f)$ và $\lambda(\overline{f}) = \frac{c(P)}{c(Q)}=c(f)$. Ta suy ra công thức của $\phi_{\infty}(f(t),g(t))$:

$$\begin{align*} \phi_{\infty}(f(t),g(t)) & = \phi_0(\overline{f}(t),\overline{g}(t)) \\ & = (-1)^{v(\overline{f})v(\overline{g})} \lambda(\overline{f})^{v(\overline{g})} \lambda(\overline{g})^{-v(\overline{f})}\\ & = (-1)^{(\mathrm{deg}(f)\mathrm{deg}(g)} c(f)^{-\mathrm{deg}(g) }c(g)^{\mathrm{deg}(f)} (*)\end{align*} $$

Chú ý điều cần chứng minh là

$$\phi_0(f(\frac{1}{t}),g(\frac{1}{t})) = \phi_0(f(\frac{1}{t}+\alpha),g(\frac{1}{t}+\alpha))$$

Chứ không phải:

$$\phi_0(f(\frac{1}{t+\alpha}), g(\frac{1}{t+\alpha})) = \phi_0(f(\frac{1}{t}),g(\frac{1}{t}))$$

Nhưng dễ thấy phép tịnh tiến $t \mapsto t+ \alpha$ không làm thay đổi bậc và hệ số dẫn đầu nên ta có đpc.

$5$. Ta cần chứng minh $\phi_0(f_{\alpha},g_{\alpha}) = 0$ với hầu hết $\alpha \in \mathbb{C}$, thật vậy do $\mathbb{C}$ là đóng đại số nên:

$$P(t) = c(P)\prod (t - p_i), Q(t) = c(Q) \prod (t - q_j)$$

và do đó

$$f(t + \alpha) = (t+\alpha)^{v(f)} \frac{c(P)\prod (t + \alpha - p_i)}{c(Q)\prod (t + \alpha - q_j)}$$

Nên nếu $\alpha \neq  0,p_i, q_j $ thì ta có ngay $v(f_{\alpha}) = 0$. Tình huống tương tự cũng xảy ra với $g$. Do đó với hầu hết $\alpha$ thì $v(f_{\alpha}) = v(g_{\alpha}) = 0 \Rightarrow \phi_0(f_{\alpha},g_{\alpha})=0$. Ánh xạ $(f,g) \mapsto \prod_{\alpha \in \mathbb{C}} \phi_{\alpha}(f,g)$ là một dạng do từng thành phần của nó là một dạng.

$6$. Phần này đề cần sửa thành $f,g$ không có thành phần chung.

Hiển nhiên $\phi(f_{\alpha},g_{\alpha}) = \phi(f,g)$ do $t \mapsto t + \alpha$ là một song ánh từ $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ - tuy nhiên mình không hiểu gợi ý này để làm gì? Sử dụng tiên đề $(S_1)$ và tính đóng đại số ta chỉ cần chứng minh một trong bốn trường hợp sau:

$$(f,g) \in \left \{ (t- \alpha, t - \beta), (t - \alpha, \frac{1}{t-\beta}),(\frac{1}{t-\alpha},t - \beta),(\frac{1}{t-\alpha},\frac{1}{t - \beta}) \mid (\alpha,\beta) \in \mathbb{C}^2 \right \}$$

• $\phi(t - \alpha,t - \beta)\phi_{0}(\frac{1}{t} - \alpha, \frac{1}{t} - \beta) = 1$ nhưng ở đây $\phi_0(\frac{1-t\alpha}{t},\frac{1-t\beta}{t}) = (-1)^{(-1)(-1)} \times 1^{-1} \times 1^1 = -1$ còn $$\phi(t - \alpha, t - \beta) = \phi_0(t, t - \beta+\alpha) \phi_{0}(t - \alpha + \beta,t) = \frac{\phi_0(t-\alpha+\beta,t)}{\phi_0(t-\beta+\alpha,t)} = -1$$

Các trường hợp khác tính tương tự.

$7$. Đây là một cách viết lại $6.$ và sử dụng công thức $(*)$, thật vậy ta có:

$$\phi_{\infty}(f,g)\phi(f,g)=1 \Rightarrow \phi_{\infty}(f,g) = \phi(f,g)^{-1}$$

Nhưng theo $(*)$ thì:

$$\phi_{\infty}(f,g) = (-1)^{\mathrm{deg}(g)\mathrm{deg}(f)}\frac{c(g)^{\mathrm{deg}(f)}}{c(f)^{\mathrm{deg}(g)}}$$

Trong khi đó như đã nói, trong tích $\prod_{\alpha \in \mathbb{C}} \phi_{\alpha}(f,g)$ ta chỉ cần quan tâm tới các $\alpha$ là nghiệm của $A, B, C, D$. Lưu ý rằng $A, B, C, D$ là đôi một nguyên tố cùng nhau, ta thử tính $\prod_{A(\alpha)=0} \phi_{\alpha}(f,g)$:

$$\prod_{A(\alpha)=0} \phi_{\alpha}(f,g) = \prod_{A(\alpha) = 0}\phi_0(f(t+\alpha),g(t+\alpha)) = g(\alpha)^{-\mathbb{mul}(A,\alpha)}$$

Ở đây $\mathbb{mul}(f,\alpha)$ là bội số của $\alpha$ trong phân tích của $A$. Từ đó dễ dàng suy ra đpcm do ta có:

$$\begin{align*} \phi(f,g) & = \prod_{\alpha \in \mathbb{C}} \phi_{\alpha}(f,g) \\  & = \prod_{A(\alpha)=0}\phi_{\alpha}(f,g) \times \prod_{B(\alpha)=0} \phi_{\alpha}(f,g) \times \prod_{C(\alpha)=0} \phi_{\alpha}(f,g) \times \prod_{D(\alpha)=0} \phi_{\alpha}(f,g) \end{align*}$$

Mình post lời giải một số phần mình giải được.

Exercise $1$.

$1$. Trước tiên đặt $\sum a_n = L, S_n = \sum_{k \leq n} a_k$ ta chứng minh tồn tại giới hạn $\underset{x \to 1^{-}}{\lim} f(x) = L$. Ta có:

$$\left | f(x) - L \right | \leq \left | f(x) - S_n \right | + \left | S_n - L \right | \leq \left | \sum_{k \leq n} a_k x^k - S_n \right |  + \left |  \sum_{k > n} a_k x^k \right | + \left | S_n - L \right |$$

Đây là chỗ ta sẽ dùng hội tụ đều, với mọi $\epsilon > 0$ chọn $n_0$ sao cho:

$$\begin{cases} \left | S_n - L \right | < \epsilon \ \forall n > n_0 \\ \left | \sum_{k > n_0} a_k x^k \right | < \epsilon \end{cases}$$

Vấn đề ta nếu làm vậy thì $n_0=n_0(\epsilon,x)$, để loại sự phụ thuộc của $x$ ta cần tính hội tụ đều của chuỗi trên $[0,1]$. Lý do lấy trên đoạn $\geq 0$ cũng rất thú vị:

Bổ đề: (tổng Abel) Cho $(b_n)$ là một dãy không âm và giảm. Giả sử $(a_n)$ là một dãy bao gồm các tổng riêng $\left | \sum_{k \leq n} a_k \right | \leq A \ \forall n \geq 0$. Khi đó với mọi $n > m \geq 0$:

$$\left | \sum_{k=m+1}^n a_k b_k \right |  < 2Ab_{m+1}$$

Chứng minh: Sử dụng khai triển Abel quen thuộc.

Bây giờ ta sẽ chứng minh chuỗi ban đầu hội tụ đều trên $[0,1]$, từ đó suy ra $\underset{x \to 1^{-}}{\lim} f(x) = L$. Do $\sum a_n = L$ nên với mọi $\epsilon > 0 \ \exists n_0 = n_0(\epsilon): \left | \sum_{k=m+1}^n a_k\right | < \epsilon/2$.

Theo bổ đề trên:

$$\left | \sum_{k=m+1}^n a_k x^k \right | \leq 2(\epsilon/2)x^{m+1}  < \epsilon$$

Ở đây ta đã dùng $x \in [0,1]$, và do đó theo tiêu chuẩn Cauchy cho tính hội tụ đều ta thấy chuỗi này hội tụ đều trên $[0,1]$.

$2$. Lấy ý tưởng từ chuỗi $\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}$ mình xét chuỗi $\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^k x^k = \frac{1}{1 + x}$ khi đó hàm $f(x) = \frac{1}{1+x}$ có giới hạn trái $\underset{x \to 1^{-}}{\lim} f(x) = \frac{1}{2}$ nhưng chuỗi $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$ là dao động (không hội tụ cũng không phân kì).

Exercise $2$

$1$. Không giảm tổng quát có thể giả sử $G = H$, khi đó bất đẳng thức là hiển nhiên do $\left | G \right | = \left | \left \{ i(g) \mid g \in G \right \} \right | \leq \left | \cup_{g \in G} M(g) \right |$.

$2$. Ta phát biểu lại bài toán dưới dạng định đồ thị hai phe - định lý đám cưới Hall:

Giả sử $Z=X + Y$ là một đồ thị hai phe. Với mỗi $A \subset X$ kí hiệu $N(A)$ là tập các đỉnh thuộc $Y$ mà kề với đỉnh nào đó thuộc $A$. Khi đó nếu $\left | N_Z(A) \right | \geq \left | A \right | \forall A \in 2^X$ thì tồn tại một đơn ánh $f: X \to Y$ sao cho $x$ kề $f(x)$ với mọi đỉnh $x \in X$.

Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số phần tử của $X$. 

Khi $\left | X \right | = 1$ thì định lý hiển nhiên đúng.

Giả sử khẳng định đúng tới $\left | X \right | \leq n - 1$, ta sẽ chứng minh có đúng tới $n$. Ta phải chia ra hai trường hợp:

• $\forall A \in 2^X: \left | N(A) \right | > \left | A \right |$. Lấy $x \in X$ bất kì thì theo giả thiết $\left | N(x) \right | \geq 1$ nên tồn tại $y \in Y$ kề với $x$. Xét đồ thị hai phe $Z'=(X - \left \{ x \right \}) + (Y - \left \{y \right \})$ ta sẽ chứng minh tồn tại một đơn ánh $f: X - \left \{x \right \} \to Y - \left \{ y \right \}$ và sau đó bổ sung $f(x) = y$ là được. Thật vậy theo giả thiết quy nạp chỉ cần kiểm tra điều kiện bất đẳng thức, xét $B \in 2^{X - \left \{x \right \}}$ khi đó do ta đã bỏ đi điểm $x$ nên $\left | N_{Z'}(B) \right | \geq \left | N_Z(B) \right | - 1 \geq \left | B \right |$.
• $\exists A \in 2^X, A \neq X: \left | N(A) \right | = \left | A \right |$. Theo giả thiết quy nạp tồn tại đơn ánh $h: A \to G(A)$ của đồ thị hai phe $A + G(A)$. Tiếp đó xét đồ thị $Z'=(X - A) + (Y - G(A))$, lấy $B \in 2^{X-A}$ khi đó ta có $\left | N_{Z}(A \cup B) \right | = \left | N_Z(A) \right| + \left | N_{Z'}(B) \right | = \left | A \right| + \left | N_Z(B) \right| \geq \left | A  \cup B \right | = \left |A \right| + \left | B \right| \Rightarrow \left | N_{Z'}(B) \right | \geq \left | B \right |$ nên lại theo giả thiết quy nạp tồn tại đơn ánh $k: X - A \to Y - G(A)$. Gộp hai đơn ánh này lại có có một đơn ánh $f: X \to Y$ như sau:

$$f(x) = \begin{cases} h(x) & \text{nếu} \ x \in A \\ k(x) & \text{nếu} \ x \in X - A \end{cases}$$

$3$. Đặt $X$ là tập tất cả $13$ túi và $Y$ là tập cũng gồm $13$ túi nhưng mỗi túi chỉ chứa một loại quân theo số, ví dụ toàn ace. Một túi bên $Y$ sẽ được nối với một túi bên $Y$ nếu hai túi đó cùng chứa một quân nào đó. Mỗi túi bên $X$ được nối với ít nhất một túi bên $Y$, và nhiều nhất là bốn túi bên $Y$.  Điều kiện bất đẳng thức trong định lý Hall ở đây khá hiển nhiên do các túi bên $Y$ là hoàn toàn phân biệt. Từ đó ta có đpcm.

$4$. Gọi $X, Y$ lần lượt là tập các lớp kề trái và phải. Đặt $X = \left \{L_1,...L_n \right \}, Y = \left \{R_1,...,R_n \right \}$. Bài toán tương đương với việc tìm một song ánh $f: \left \{1,2,...,n \right \} \to \left \{1,2,...,n \right\}$ sao cho $L_i \cap R_{f(i)} \neq 0$. Xét đồ hai phe $X + Y$, đỉnh $L \in X$ sẽ nối với $R \in Y$ nếu $L \cap R \neq 0$. Lưu ý rằng do các lớp kề trái và phải phủ $A$ nên luôn có cạnh được nối (tức là không có trường hợp đồ thị này không có cạnh nào). Lại thấy rằng nếu $L \cap R \neq \varnothing, L \cap R' \neq \varnothing \Rightarrow R = R'$ nên với mỗi tập con $T \subset X$ thì $\left | T \right | = \left | N(T) \right |$. Từ dodsd áp dụng định lý Hall ta có đpcm.

Exercise $3$

$1$. Đây thường được gọi là bất đẳng thức Hardamak, ý tưởng chứng minh là dùng phân tích QR dựa trên phép trực giao hóa Gram-Schmidt. Khi đó mọi ma trận $A = [\mathbb{a_1},..., \mathbb{a_n}]$ trong đó $\mathbb{a_i}$ là các vector cột sẽ có phân tích $A = QR$ với $Q$ là trực giao và $R$ là ma trận chéo trên với các phần tử trên đường chéo là $\left \langle \mathbb{e_i}, \mathbb{a_i} \right \rangle$ trong đó $\mathbb{e_i}$ là vector đơn vị nào đó. Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left | \mathrm{det}(A) \right | = \left | \prod_{i=1}^n \left \langle \mathbb{e_i}, \mathbb{a_i} \right \rangle \right | \leq \prod_{i=1}^n \left \| \mathbb{a_i} \right \|$$

Trong trường hợp bài toán này do các vị trí của ma trận chỉ là $\pm 1$ nên độ dài mỗi vector cột là không quá $n^{1/2}$ mà có $n$ vector cột nên ta có đpcm.

$2$. Cũng như Hoàng, ý tưởng phần này sử dụng định nghĩa định thức, tuy nhiên mình chưa nghĩ ra cách làm thật chặt chẽ.

Các phần sau đã được Hoàng giải quyết ở trên.

Phục vụ anh em giải trí Tết nên mình mở topic này với mong muốn giải được hết các đề thi Toán (major) viết của trường đại học sư phạm Paris (ENS) từ năm $2007-2017$. Tất cả đề các năm đã được đăng trên website của trường ENS. Thể thức là mỗi khi giải quyết một đề thì người cuối cùng sẽ đề xuất đề tiếp theo và cứ như vậy cho tới khi hết.

Hầu hết các đề major math là khá khó, nên ai đủ khả năng giải quyết các đề là khá kinh khủng. Về cơ bản kiến thức chỉ là đại số tuyến tính, giải tích thực và phức. Tuy nhiên về kĩ thuật thì vô vàn, luyện xong cơ bắp cũng to ra vài phần.

Mình suggest trước đề năm $2016$ mà mình mất nguyên một tối gần như không giải được tới các main points - mời mọi người thảo luận.

P/s: với những ai chưa có nick, đừng ngại, lập một nick mất vài phút thôi.

Em thấy các bài viết từ nhiều năm trước thì mọi người hoạt động rất sôi nổi nhưng tại sao bây giờ ít người vậy ạ

• Quan trọng là em quan tâm tới đối tượng nào? Về mảng THCS và THPT thì có vẻ vẫn thế nhưng các mảng Olympic, Đại học và sau Đại học hay Toán học hiện đại thì đúng là số lượng giảm nếu không muốn nói là gần như không có ai.
• Một phần có thể do diễn đàn mình hợp với đối tượng học sinh hơn, và học sinh học xong cấp ba thì cũng không có mấy ai tiếp tục higher education in math nữa. Riêng những ai theo đuổi toán tiếp thì cũng quá bận không có thời gian online - tuy nhiên theo anh đây không hẳn là yếu tố chính.
• Tốt nhất là chờ đợi các lứa sau này hoặc các cao thủ ẩn danh một ngày ngoi lên mặt đất. Bản thân anh cũng đi vận động mọi người vào thảo luận ở đây nhưng chắc bây giờ vẫn chưa tới lúc. Tuy nhiên theo anh thấy cũng có vài tín hiệu là diễn đàn sẽ sôi động trở lại.

Trong phần này, ta bắt đầu với phạm trù mô hình để ở phần sau sẽ giới thiệu về tập đơn hình (simplicial set) và cặp tương đương Quillen nổi tiếng giữa hai phạm trù mô hình $\mathbb{Sets}$ và $\mathbb{Tops}$. 

Để bắt đầu với phạm trù mô hình, ta cần hiểu một chút về lý thuyết đồng luân. Trước tiên làm lý thuyết đồng luân tức là nghịch đảo một số cấu xạ trong một phạm trù hợp lý mà ta mong muốn, ví dụ từ định nghĩa hai không gian đồng luân thì một đồng luân giữa chúng (nếu có) luôn nghịch đảo được. Ngoài ra ta cần lưu ý hai lớp cấu xạ yếu hơn sau

• Một ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo $f: X \to Y$ được gọi là đồng luân yếu nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên tất cả các nhóm đồng luân $f_{*,n}: \pi_n(X) \to \pi_n(Y)$. Như điểm quan trọng là đồng luân yếu chưa chắc là đồng luân.
• Trong phạm trù các xích phức (chain complexes) với các thành phần là $R$-module và cấu xạ là các đồng luân xích (chain homotopy) ta có thể định nghĩa tựa đẳng cấu (quasi-isomorphism) nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên các nhóm đồng điều.

Ý tưởng cơ bản nhất của việc nghịch đảo cấu xạ là khái niệm địa phương hóa.

Địa phương hóa phạm trù

Định nghĩa: Xét một phạm trù nhỏ (small category) $\mathcal{C}$ và một tập hợp các cấu xạ $M$ khi đó địa phương hóa của $\mathcal{C}$ tại $M$, kí hiệu $\mathcal{C}[M^{-1}]$ là một phạm trù trang bị một hàm tử $q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[M^{-1}]$ thỏa mãn:

• Với mọi $m \in M$ thì $q(m)$ là một đẳng cấu.
• Với mọi hàm tử $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ sao cho $F(m)$ là đẳng cấu với mọi $m \in M$ tồn tại duy nhất một hàm tử nâng $S_M: \mathcal{C}[M^{-1}] \to \mathcal{D}$ thỏa mãn $S_M \circ q \cong S$.
• Phép hợp thành $(\square) \circ q: \mathcal{D}^{\mathcal{C}[M^{-1}]} \to \mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ là một hàm tử đầy đủ trung thành.

Ví dụ:

• Một groupoid là một địa phương hóa tại tất cả các cấu xạ trong một phạm trù nào đó. Một nhóm là một groupoid gồm chỉ một vật, ở đây nổi tiếng nhất phải kể tới groupoid cơ bản (fundamental groupoid).
• Trong phạm trù nhóm $\mathbb{Grps}$ xét các lớp cấu xạ $M:\left \{A \to B \mid A/[A,A] \cong B/[B,B] \right \}$ khi đó địa phương hóa $\mathbb{Grps}[M^{-1}] = \mathbb{Ab}$ là phạm trù các nhóm abel.
• Trong phạm trù các không gian topo $\mathbb{Tops}$ xét các lớp cấu xạ đồng luân và đồng luân yếu, địa phương hóa ta được các phạm trù đồng luân $\mathbb{Tops}[H^{-1}], \mathbb{Tops}[W^{-1}]$. Ta kí hiệu $\mathrm{Ho}(\mathbb{Tops}) = \mathbb{Tops}[W^{-1}]$ - thường được biết với cái tên phạm trù đồng luân.

Nhưng trong đa số trường hợp thì hom-sets của phạm trù địa phương hóa là quá lớn, trở thành một lớp (proper class) chứ không phải là một tập hợp. Một trong các cách chỉnh sửa vấn đề này là sử dụng phạm trù mô hình - có động lực từ lý thuyết đồng luân.

Nếu ta chỉ địa phương hóa lớp $W$ thậm chí sửa vấn đề set-theoretic bằng cách lấy lớp các đồng luân giữa chúng thì vẫn chưa đủ, do cách làm này không phải một bất biến đồng luân. Hình thức hơn, có những đồng luân yếu $Z \to X$ không cảm sinh đẳng cấu $[X,Y] \to [Z,Y]$ và nếu ta không xem xét sự khác nhau giữa các không gian đồng luân yếu, ta sẽ gặp vấn đề như những không gian đồng luân yếu có thể không đồng luân; nói như vậy tức là ta bỏ qua vai trò lớp $H$ - vốn đóng một vai trò quan trọng cốt lõi trong thực hành. Tuy nhiên có một cách sửa vấn đề rất tốt, thanks Whitehead - father of CW-complexes theory

Định lý (Whitehead) Một đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một đồng luân.

Định lý (xấp xỉ CW) Với mọi không gian topo $X$ tồn tại một CW-phức $X^{cw}$ và một đồng luân yếu $X^{cw} \to X$.

Định nghĩa: Phạm trù đồng luân $\mathrm{Ho}(\mathbb{Tops})$ có vật là các không gian topo và các cấu xạ:

$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ho}(\mathbb{Tops})}(X,Y) = [X^{cw},Y^{cw}]$$

Vấn đề ở đây là phạm trù $\mathbb{Tops}$ có cấu trúc đủ tốt nhưng làm sao ta định nghĩa đồng luân yếu và làm lý thuyết đồng luân trên các phạm trù khác. Cần lưu ý rằng hầu hết các cấu trúc này thể hiện qua các fibration và cofibration theo nghĩa topo.

Phạm trù mô hình

Phạm trù mô hình được đề xuất bởi Quillen, là một cách tiên đề hóa phạm trù và cho ta một phạm trù đồng luân giống như cách ta làm với phạm trù các không gian topo. Ví dụ trong phạm trù các xích phức $\mathrm{Ch}_{\geq 0}(R)$ thì đại số đồng điều có thể hiểu là lý thuyết đồng luân.

Định nghĩa: Một phạm trù mô hình $M$ là một phạm trù đã chọn ba lớp các cấu xạ đồng luân yếu, fibration, cofibration. Một cấu xạ vừa là đồng luân yếu vừa là (co)fibration được gọi là acyclic (co)fibration. Chúng phải thỏa mãn năm tiên đề:

• (MC1) $\mathcal{M}$ có mọi giới hạn nhỏ và đối giới hạn nhỏ.
• (MC2) Nếu $f,g$ là hai cấu xạ và $gf$ định nghĩa được khi đó nếu hai trong ba cấu xạ này là đồng luân yếu thì cấu xa còn lại cũng là đồng luân yếu.
• (MC3) Nếu $f: A \to A'$ là co rút của $g: B \to B'$ (tức là tồn tại $i: A \to B, j: A' \to B', r: B \to A, s: B' \to A'$ sao cho $j \circ f = g \circ i, f \circ r = s \circ g$) thì $g$ thuộc lớp nào sẽ kéo theo $f$ thuộc lớp đó.
• (MC4) Cofibration tính nâng đồng luân trái với acyclic fibration và fibration có tính nâng đồng luân trái với acyclic cofibration.
• (MC5) Mọi cấu xạ $g$ phân tích được thành $g=qi = pj$ trong đó $i$ là cofibration, $q$ là acyclic fibration, $p$ là fibration và $j$ là acyclic cofibration.

Lưu ý. Ở đây đồng luân yếu đóng vai trò đồng luân, fibration là toàn cấu đủ tốt và cofibration là nhúng đủ tốt.

Hai mô hình quan trọng là mô hình xạ ảnh và mô hình nội xạ:

Ví dụ:

• Trong phạm trù $\mathrm{Ch}(R)$ là phạm trù các xích phức không bị chặn, ta định nghĩa đồng luân yếu là các tựa đẳng cấu, cofibration là các đơn cấu tại từng bậc với hạt nhân là vật xạ ảnh, fibration là các toàn cấu tại từng bậc - mô hình này được biết tới là mô hình xạ ảnh và ta cũng có thể định nghĩa mô hình nội xạ.
• Phạm trù $\mathbb{Tops}$ là phạm trù mô hình với đồng luân yếu lấy theo nghĩa thông thường, fibration là Serre fibration (weak fibration) và cofibration (không phải theo nghĩa topo) là các cấu xạ có tính nâng đồng luân trái với các acyclic Serre fibration.
• Ta cũng có thể lấy một mô hình khác trong $\mathbb{Tops}$ trong đó đồng luân yếu là đồng luân, fibration là strong fibration - nâng đồng luân trái với mọi cấu xạ, cofibration là cofibration theo nghĩa topo.

Trong dãy bài viết này mình muốn trình bày và tiếp cận phạm trù bậc cao, chủ yếu là $(\infty,1)$-phạm trù và lý thuyết đồng luân của chúng. Ở bài viết đầu tiên, mình bắt đầu lại với định nghĩa cổ điển như phạm trù tensor,làm đầy pham trù và không gian metric.

Prerequisite cho bài viết này là một chút topo đại số và phạm trù cơ bản.

Phạm trù tensor (hoặc phạm trù monoidal)

Phạm trù tensor, nói một cách cơ bản là trang bị một tích tensor thỏa mãn một vài luật cụ thể; nhưng cần hiểu nó hình thức hóa lại một số phạm trù như $\mathbb{Sets}$ hay $\mathrm{Mod}_R$ trong đó $R$ là vành giao hoán có đơn vị mà ở đó tích Cartersian và tích tensor đóng vai trò "tích tensor" trong phạm trù này.

Định nghĩa: Một phạm trù tensor $\mathcal{C}$ là một phạm trù được trang bị một tích tensor $\otimes: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ (ở đây để cho đơn giản ta luôn hiểu tích tensor này lấy trên các vật của $\mathcal{C}$ - mà không viết $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$) trong đó với hai vật $x,y$ ta nhận được một vật kí hiệu là $x \otimes y$ cùng với:

• Một vật đơn vị $I$.
• Với mọi bộ ba vật $x,y,z$ tồn tại một đẳng cấu kết hợp $a_{x,y,z}: (x \otimes y) \otimes z \to x \otimes (y \otimes z)$ tự nhiên theo cả ba biến $x,y,z$.
• Với mọi vật $x$ tồn tại một đẳng cấu trái và một đẳng cấu phải $l_x: I \otimes x \to x, r_x: x \otimes I \to x$ tự nhiên theo $x$.
• Với mọi bộ bốn vật $x,y,z,w$ ta có:

$$(id_{w} \otimes a_{x,y,z}) \circ a_{w, x \otimes y, w} \circ (a_{w,x,y} \otimes id_{z}) = a_{w,x,y \otimes z} \circ a_{w \otimes x,y,z}$$

• Với hai vật $x,y$ bất kì ta có:

$$(id_x \otimes l_y) \circ a_{x,I,y} = r_x \otimes id_y$$

Ngoài ta cũng có thể định nghĩa phạm trù mô hinh đối xứng, nhưng điều đó chưa thật quan trọng lúc này.

Phạm trù làm đầy (enriched category)

Trong rất nhiều tình huống, tập $\mathrm{Hom}$ giữa các vật trong một phạm trù có thể trang bị một cấu trúc nào đó, vì lý do đó ta có thể nghĩ tới ý tưởng mở rộng $\mathrm{Hom}$ thành vật trong một phạm trù nào đó tức là biến hom-sets $\mathrm{Hom}(\square,\square)$ thành hom-objects trong một phạm trù mới. Phạm trù mới này phải là phạm trù tensor vì như vậy ta mới có phép hợp thành
$$\mathrm{Hom}(x,y) \otimes \mathrm{Hom}(y,z) \to \mathrm{Hom}(x,z)$$
Định nghĩa: Cho $(C,\otimes, I)$ là một phạm trù tensor. Một phạm trù $\mathcal{D}$ được gọi là làm đầy trên $\mathcal{C}$ nếu:

• Có một lớp nhỏ hơn các vật trong $\mathcal{D}$, kí hiệu $\mathrm{ob}(\mathcal{D})$ mà ta sẽ làm đầy quanh các vật này.
• Với mọi cặp vật $x,y \in \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ tồn tại một vật $\mathrm{Hom}(x,y) \in \mathcal{C}$ (đây là vật chứ không phải hom-sets).
• Với mọi bộ ba vật $x,y,z \in \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ tồn tại một phép hợp thành

$$c_{x,y,z}: \mathrm{Hom}(x,y) \otimes \mathrm{Hom}(y,z) \to \mathrm{Hom}(x,z)$$
Với mọi vật $x \in \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ tồn tại một cấu xa đơn vị $\eta_x: I \to \mathrm{Hom}(x,x)$ thỏa mãn các luật:

• (Giao hoán) Với mọi bộ ba vật $x,y,w$:

$$\begin{cases} c_{x,x,y} \circ (\eta_x \otimes id_{\mathrm{Hom}(x,y)})= l_{\mathrm{Hom}(x,y)} \\ c_{w,x,x} \circ (id_{\mathrm{Hom}(w,x)} \otimes \eta_x) = r_{\mathrm{Hom}(x,y)} \end{cases}$$

• (Kết hợp) Với mọi bộ bốn vật $x,y,z,w$:

$$c_{w,y,z} \circ (c_{w,x,y} \otimes id_{\mathrm{Hom}(y,z)}) = c_{w,x,z} \circ (id_{\mathrm{Hom}(w,x)} \otimes c_{x,y,z})$$
Ví dụ:

• Các phạm trù nhỏ địa phương - (locally small categories) là các phạm trù mà hom-set chỉ là một tập hợp (set) chứ không phải là lớp (proper class). Chúng được làm đầy từ $(\mathbb{Sets},\times, \left \{ \cdot \right \})$.
• $2$-phạm trù làm đầy từ $\mathbb{Cat}$ - phạm trù của các phạm trù nhỏ với cấu xạ là các hàm tử.

Không gian metric

Trước khi đi tới định nghĩa tiếp theo ta nhắc lại rằng mọi poset (partially ordered set: tập sắp thứ tự bộ phận) đều là một phạm trù gầy, tức là với mọi cặp vật $x,y$ thì có một cấu xạ $x \to y \Leftrightarrow x \leq y$. Tuy nhiên ta cũng có thể định nghĩa $x \to y \Leftrightarrow x \geq y$. Do đó ta kết thúc phần này bằng định nghĩa:

Định nghĩa: Một không gian giả metric là một phạm trù làm đầy từ poset $([0,+\infty],\geq)$ trong đó tensor $\otimes$ là phép cộng $+$ và phần tử đơn vị $I$ là $0$.

Tớ không biết nhiều người lắm, nhưng để tớ thử.

 

Theo tớ trao đổi với nhiều người thì tốt nhất khi mọi người đang ở trong cùng một trang (i.e. có cùng động lực để học cái gì đó, background cũng xấp xỉ nhau). Ví dụ theo kiểu seminar. Mọi người chọn một topic lớn nào đó làm mục tiêu rồi ta hỏi/thảo luận bắt đầu từ đầu. 

Nhưng nếu thế thì thực ra theo tớ khoảng 3-5 người là đủ rồi, miễn là mọi người đều tham gia thảo luận. Chứ 10 người kiếm khó lắm, nếu mà học cái gì đó cao. 

 

Tớ vẫn thỉnh thoảng lên Facebook, cậu add tớ với. 

Add rồi nhé, cậu xem thế nào mở đầu phong trào đi. Tớ đợi rồi vào sau thôi.

Tài liệu sau đây khá nổi tiếng, dài, nặng, trừu tượng, và phù hợp cho việc tự học:

• Ravi Vakil - Foundations of Algebraic Geometry, Stanford University.

Không có cách nào khác ngoài đâm đầu vào một trong những cái tường như thế này:

• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry.
• Alexandre Grothendieck & Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique.

 

Cơ học lượng tử

 

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.

Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

Hôm nay mình trình bày kĩ hơn định lý giao hoán tử (commutator theorem) và hệ quả của nó là nguyên lí bất định Heisenberg. Như hôm qua đã phát biểu qua, nguyên lí bất định nói rằng ta không thể đo chính xác cả vị trí lẫn xung lượng. Khi quan sát một hệ thì ta phải tác dụng vào hệ ít nhất một photon, do đó gây nên nhiễu loạn. Đối với hệ vĩ mô thì tác động là không đáng kể nhưng điều này có vai trò quan trọng với hệ vi mô. Chẳng hạn để xác định vị trí của một electron ta phải chiếu vào đó một photon: để có thể xác định vị trí electron ta phải dùng photon có bước sóng ngắn. Photon va vào electron gây nhiễu loạn, vì vậy nếu ta đo cả xung lượng thì phép đo sẽ kém chính xác: đo vị trí càng chính xác thì đo xung lượng càng kém chính xác. 

Nguyên lý bất định đã phát tín hiệu về sự cáo chung cho giấc mơ của Laplace về một lý thuyết khoa học, một mô hình của vũ trụ hoàn toàn có tính chất bất định: nếu như người ta không thể dù chỉ là đo trạng thái hiện thời của vũ trụ một cách chính xác thì người ta chắc chắn không thể tiên đoán những sự kiện tương lai một cách chính xác! 

Vẫn để cho đơn giản, ta xét một hạt chuyển động một chiều trên trục thực $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ không phụ thuộc thời gian. Một trạng thái của hệ gồm một hạt này là một không gian một chiều của không gian Hilbert các hàm giá trị phức $(\mathbb{R} \to \mathbb{C})$ $L^2(\mathbb{R})$ (như phát biểu trong tiên đề). Với mỗi trạng thái $\psi$ ta yêu cầu:

$$\left \| \psi \right \| = \int_{\mathbb{R}} \left | \psi \right |^2=1$$

Kỳ vọng, variance và standard deviation của trạng thái $\psi$

$$\left\{\begin{matrix} \mu_{\psi} = \int_{\mathbb{R}}q \left | \psi(q) \right|^2 dq \\ \text{var}\psi = \int_{\mathbb{R}}(q-\mu_{\psi})^2\left | \psi(q) \right|^2 dq  \\ \text{sd}_{\psi} = \sqrt{\text{var}\psi} \end{matrix}\right.$$

Thậm chí với mỗi trạng thái $\psi$ còn cảm sinh một "tích vô hướng":

$$\mu_{\psi}(G) = \left \langle  G\psi, \psi \right \rangle = \int_{\mathbb{R}}(G\psi)(q)\overline{\psi(q)}dq$$

và như vậy $\text{var}_{\psi}(G) = \left \langle  (G - \mu I)^2\psi,\psi \right \rangle$ và $\text{sd}_{\psi}(G) = \sqrt{\text{var}_{\psi}(G)}$. 

Một trạng thái $T$ gọi là observable nếu tồn tại không gian con $D(T) \subset L^2(\mathbb{R})$ trù mật trong $L^2$ mà $T:D(T) \to L^2(\mathbb{R})$ là một toán tử tuyến tính tự liên hợp. Trong số các toán tử ta quan tâm ở đây có toán tử động lượng:

$$G: D(G) \to L^2(\mathbb{R})$$

$$\psi \mapsto -i\hbar \frac{d\psi}{dq}$$

trong đó $D(G)$ là tập tất cả các hàm $\phi$ thuộc $L^2(\mathbb{R})$ mà liên tục tuyệt đối trên mọi tập compact của $\mathbb{R}$ đồng thời $G\phi \in L^2(\mathbb{R})$. Motivation cho định nghĩa này khá lằng nhằng nên mình sẽ bỏ qua, dẫu sao nó không thực sự quá quan trọng. 

Với hai toán tử tự liên hợp $S,T$ trong không gian trên cùng một không gian Hilbert phức ta định nghĩa được giao hoán tử $[S,T]=ST - TS$ xác định trên miền $D(ST) \cap D(TS)$. Định nghĩa toán tử $Q\psi(q) = q\psi(q)$ thì bằng biến đổi đơn giản ta có quan hệ Heisenberg:

$$[D,Q] = -i\hbar I$$

Định lý: (định lý giao hoán tử) Với hai toán tử $S,T$ tự liên hợp vói domain và range là không gian con của $L^2(\mathbb{R})$ thì ta luôn có:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right | \leq 2\text{sd}_{\psi}(S)\text{sd}_{\psi}(T)$$

Chứng minh:

Đặt $A = S - \mu_{\psi}(S)I, B= T-\mu_{\psi}T$ khi đó dễ thấy $[S,T]=[A,B]$ và $A,B$ cũng là các toán tử tự liên hợp:

$$\mu_{\psi}([S,T]) = \left \langle [A,B]\psi, \psi \right \rangle = \left \langle AB\psi,\psi \right \rangle - \left \langle BA\psi ,\psi \right \rangle =  \left \langle B\psi,A\psi  \right \rangle - \left \langle A\psi,B\psi \right \rangle$$

Như vậy theo bất đẳng thức Schwarz:

$$\left | \mu_{\psi}([S,T]) \right| \leq 2\left \| A\psi \right \|\left \| B\psi \right \|=2\text{sd}_{\psi}(T)\text{sd}_{\psi}(S)$$

Hệ quả: (nguyên lý bất định Heisenberg) Trong định lý giao hoán tử nếu $S = G, T = Q$ ta có:

$$\text{sd}_{\psi}(G)\text{sd}_{\psi}(Q) \geq \frac{\hbar}{2\pi}$$

Trường hơp tổng quát và các dạng phát biểu khác có thể tham khảo ngay trên Wiki.( đành vậy)

Phát biểu chặt chẽ ba tiên đề của một hệ cơ học lượng tử:

Tiên đề $1$: (Trạng thái) Trạng thái của một hệ cơ học lượng tử được cho bởi một vector khác không $\psi$ trong một không gian Hilbert phức $\mathfrak{H}$ được trạng bị một tích Hermite.

Tiên đề $2$: (Quan sát được) Các trạng thái quan sát được của một hệ cơ học lượng tử là các toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert $\mathfrak{H}$ của nó. 

Tiên đề $3$: (Động lực) Có một distinguished observable, Hamiltonian $H$ sao cho tiến hóa thời gian (time evolution) của hệ $\mid \psi(t) > \in \mathfrak{H}$ cho bởi phương trình Schrodinger:

$$i\hbar\frac{d}{dt} \mid \psi(t) > = H  \mid \psi(t)>$$

Cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử có thể phát biểu bằng nhiều cách, cơ học sóng của Schrödinger, cơ học ma trận của Heisenberg hoặc tích phân đường Feymann. Ở đây hôm nay mình muốn trình bày cơ học lượng tử dựa vào phương trình sóng của Schrödinger. Quay lại với de Broglie với ý tưởng mỗi electron là một sóng và như vậy mọi vật chất đều có hai thuộc tính sóng hạt, không hiểu bằng cách nào mà Schrödinger lại thích thú với ý tưởng này và viết ra phương trình Schrödinger. Trong cơ học Newton ta có phương trình $\vec{F}=m\vec{a}$ thì trong cơ học sóng có phương trình Schrödinger, cho phép mô tả toàn bộ trạng thái vật lý của hệ. Ví dụ phương trình trạng thái lượng tử của hạt tự do với khối lượng $m$
$$i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}$$
ở đây $\hbar$ là hằng số Plank thu gọn $(=h/2\pi)$ hoặc phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian tổng quát
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\textbf{r},t) = \left [-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+ V(\textbf{r},t)\right]\psi(\textbf{r},t)$$
ở đây $\textbf{r}$ là vector vị trí (position vector) và $V(\textbf{r},t)$ là thế (potential) và $\Delta=\nabla^2$ là toán tử Laplace. Thông thường ta quan tâm đến thế không phụ thuộc thời gian thì phương trình Schrödinger sẽ là:
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\textbf{r},t) = \left [-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\textbf{r}) \right]\psi(\textbf{r},t)$$
Ở đây ta chưa tính đến các hiệu ứng tương đối. Bản thân hàm sóng $\psi$ không có ý nghĩa vật lý nhưng Born đã mang lại đột phá với ý tưởng bình phương module của nó có thể hiểu là xác suất tìm thấy hạt nên ta phải chuẩn hóa nó, ví dụ trường hợp một chiều
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \left | \psi(x,t) \right |^2 dx = 1$$
Trước khi đi sâu hơn vào lý thuyết này, ta nên tiên đề hóa nó bằng toán học, ở đây mình chỉ xin phép nêu ra một tiên đề trong số đó vì mình quan tâm hơn tới khía cạnh toán học của nó:

Tiên đề: Mọi đại lượng quan sát được $G$ trong cơ học lương tử được mô tả bằng một toán tử $\widehat{G}$ và các phép đo $G$ sẽ thu được các giá trị riêng của $\widehat{G}$.

Như vậy tiền đề cho cơ học lượng tử sẽ là đại số tuyến tính và giải tích hàm. Từ đây về sau mình chỉ quan tâm trường hợp một chiều, trường hợp chiều cao hơn "khá tương tự". Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian có thể thu được từ phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian bằng phương pháp tách biến $\psi(x,t)=\phi(x) \sigma(t)$
$$\frac{1}{\sigma(t)} i\hbar \frac{d\sigma(t)}{dt} = \frac{1}{\phi(x)}\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x) \right] \phi(x)=E$$
hằng số $E$ gọi là mức năng lượng của hệ, với phương trình $i\hbar\sigma'(t)=E\sigma(t)$ ta có nghiệm $\sigma(t)=e^{-iEt/\hbar}$ nên việc của ta là giải phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m} + V(x) \right] \phi(x) = E \phi(x)$$
Thông thường trong Vật lý người ta hay viết các toán tử phụ thuộc vào không gian, ví dụ với toán tử động lượng trong trường hợp một chiều $\widehat{p}= -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$
$$\widehat{x} = x, \widehat{p_x} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \ \text{trong không gian tọa độ}$$
$$\widehat{p_x}=p_x, \widehat{x} = i\hbar \frac{\partial}{\partial p_x} \ \text{trong không gian động lượng}$$

Nguyên lý bất định Heisenberg: Nôm na ta không thể đo được chính cả cả động lượng lẫn vị trí của hạt, ở dạng Toán học:
$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$
Tiếp theo mình bàn đến hai bài toán cơ bản của cơ học lượng tử, là giếng thế(hữu hạn hoặc vô hạn nhưng ở đây mình quan tâm tới hữu hạn) hữu hạn (finite potential well) và dao động tử điều hòa (harmonic oscillation). Ngoài ra còn có hiện tượng chui hầm - tunnelling effect.

Giếng thế hữu hạn
Xét hố thế hình chữ nhật:

trong đó $V(x) = 0$ khi $\left | x \right | > a$ và $V(x) = -V_0 < 0$ khi $\left | x \right | < a$ (latex diễn đàn lỗi không chia trường hợp được). Tùy vào mức năng lượng $E$ âm hay dương mà ta tfm được hàm sống ở các khu vực khác nhau, để đơn giản khu vực $x < -a, -a < x < a, a < x$ sẽ được kí hiệu là $(1),(2),(3)$ và hàm sóng tương ứng $\psi_1, \psi_2, \psi_3$, số sóng $k = \sqrt{2mE}{\hbar}, k'=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar^2$. Mình tổng kết các kết quả
Khi $E > 0$:
$$\psi_1(x) = e^{ikx} + Re^{-ikx}, x < -a$$
$$\psi_2(x) = Ae^{ik'x} + Be^{-ik'x}, -a < x < a$$
$$\psi_3(x) = Te^{ikx}, x > a$$
trong đó ta cần các điều kiện tương thích ở các vị trí $x = a, x= -a$ để giải hệ số:
$$e^{-ika} + Re^{ika} = Ae^{-ik'a} + Be^{ik'a}$$
$$ik(e^{-ika} - Re^{ika}) = ik'(Ae^{-ik'a} - Be^{ik'a})$$
$$Ae^{ik'a} + Be^{-ik'a} = Te^{ika}$$
$$ik'(Ae^{ik'a} - Be^{-ik'a}) = ikTe^{ika}$$
và ta giải được hai hệ số:
$$R = ie^{-2ika} \frac{(k'^2 - k^2)\sin(2k'a)}{2kk'\cos(2k'a) - i(k'^2+k^2)\sin(2k'a)}$$
$$T = e^{-2ika}\frac{2k'k}{2kk'\cos(2k'a) - i(k'^2+k^2)\sin(2k'a)}$$
Khi $E<0$ ta có hệ tương tự nên bỏ qua, điểm cốt yếu ở đây là $E > 0$ và $E < 0$ đại diện cho hai bài toán Sturn-Liouville khác nhau của phương trình vi phân thường cấp hai.

Dao động tử điều hòa
Có thể hiểu dao động vật khối lượng $m$ gắn vào lò xo với thế $V(x) = kx^2/2$ với $k$ là hằng số đàn hồi và dao động trên khoảng $[-A,A]$. Tình huống tương tự xảy ra trong cơ học lượng tử, nếu đặt $\omega = \sqrt{k/m}$ ta có phương trình Schrödinger (vẫn là một chiều):
$$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}(\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 - E)\psi(x)$$
khác với cơ học cổ điển, vật chỉ dao động trong vùng bị chặn bởi hai vị trí tường $x = -A, x= A$ và xác suất tìm thấy dao động điều hòa cao nhất ở cạnh hai vị trí này và thấp nhất ở $x = 0$. Năng lượng thấp nhất có thể là $0$ thì trong cơ học lượng tử năng lượng không là không và xác suất tìm thấy hạt (do đặc trưng xác suất của hàm sóng) có thể bên ngoài vùng $[-A,A]$
 

bằng cách dùng hai toán tử nâng vào hạ (rising and lowing operators)
$$a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\widehat{x}+\frac{i}{m\omega}\widehat{p})$$
$$a^{\dagger} =\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\widehat{x}-\frac{i}{m\omega}\widehat{p})$$
ta có thể tìm các mức năng lượng của phương trình này (xem thêm ở đây):
$$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar \omega$$
và hàm sóng tương ứng:
$$\psi_n(x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2}H_n(\beta x)$$
trong đó $\beta = \sqrt{m\omega/\hbar}$, $N_n$ là hằng số chuẩn hóa tích phân và $H_n$ là đa thức Hermite thứ $n$

Mình sẽ kết thúc bài này bằng một ví dụ:

Ví dụ: Chứng minh rằng với dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản $(n=0)$, xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển (classically forbidden region) là xấp xỉ $15,8 \%$.

Chứng minh:
Trước tiên ta phải tìm $A$, ở đây ta sẽ dùng trực giác cổ điển, trước tiên hàm sóng ở trạng thái cơ bản:
$$\psi_0(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar}$$
ở các vị trí $A,-A$ (turning points) thì không có động năng nên thế năng bằng năng lượng
$$E_0 = \frac{\hbar\omega}{2} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$
$$\Rightarrow A = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$$
xác suất tìm thấy hạt trong vùng cấm cổ điển:
$$P = \int_{A}^{+\infty} \left |\psi_0(x) \right|^2 dx + \int_{-\infty}^{-A} \left |\psi_0(x) \right|^2 dx = 2 \int_A^{\infty} \left | \psi_0(x) \right |^2 dx = \frac{1}{A\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}(A - \text{Erf}(A)) \sim 2 \times 7.9 \sim 15.8 \%$$
Ta có đpcm.

Với lý thuyết phạm trù: Toán học thoát khỏi các đẳng thức

Bài dịch rất tâm huyết của bạn Nguyễn Hoàng Khang - lớp K19 tài năng Toán học - Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP.HCM.

Nguồn: Tạp chí Quantamagazine.

Dấu bằng là nền tảng của toán học. Nó dường như phát biểu một điều hết sức cơ bản và được chấp nhận một cách không phải bàn cãi: những đối tượng này đều giống nhau, đều là một cả mà thôi. 

Nhưng càng ngày, càng có một cộng đồng lớn hơn của những nhà toán học coi dấu bằng là một sai lầm cơ bản của toán học. Họ coi nó chỉ là một lớp vỏ bọc dùng để che đậy những thứ phức tạp hơn trong quan hệ định lượng giữa các đối tượng – những thứ phức tạp mang sức mạnh để có thể giải quyết được một số lượng khổng lồ các bài toán. Họ muốn tái xây dựng toán học theo một ngôn ngữ lỏng hơn của sự tương đương.

“Chúng ta đã sáng tạo nên khái niệm về sự bằng nhau”, Jonathan Campbell của đại học Duke nói, “đáng lẽ nó đã phải là sự tương đương từ đầu thì tốt hơn”

Nhân vật nổi bật nhất trong cộng  đồng này là Jacob Lurie. Trong tháng $7$ vừa rồi, Lurie, $41$, rời khỏi biên chế giáo sư ở đại học Harvard để tới với một vị trí tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study) ở Princeton, New Jersey, nhà của nhiều trong số những nhà toán học được kính nể nhất thế giới.

Ý tưởng của Lurie mang tính cách mạng ở một mức độ hiếm thấy trong bất kì ngành nào. Thông qua những cuốn sách mà anh đã phát hành, gồm hàng ngàn trang đặc và đầy tính kĩ thuật, anh đã xây dựng nên một cách tiếp cận mới lạ một cách đáng ngạc nhiên để hiểu một số những khái niệm căn bản nhất trong toán học bằng cách đi vượt lên trên dấu bằng. “Tôi nghĩ anh ấy cảm thấy đây là cách đúng để xem xét toán học,” Michael Hopkins, một nhà toán học tại Harvard và người hướng dẫn của Lurie ở bậc sau đại học, đã nói.

Lurie xuất bản cuốn sách đầu tiền của anh, Higher Topos Theory, vào năm $2009$. Cuốn sách dày $994$ trang này được xem như là một cuốn giáo trình về cách xem xét các mảng toán học kinh điển trong ngôn ngữ của “infinity categories” (phạm trù vô hạn). Trong những năm sau đó đến nay, ý tưởng của Lurie đã được đưa vào một số lượng ngày càng rộng các ngành toán học. Nhiều nhà toán học coi nó như một thứ gì không thể thiếu cho tương lai của ngành. “Không ai quay lại một khi họ đã học infinity categories,” John Francis của đại học Northwestern đã nói.

Jacob Lurie, nhà toán học tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study, đã được trao giải thưởng đột phá trong toán học (Breakthrough Prize in Mathematics) trị giá 3 triệu $ vào năm 2014.

Nhưng sự lan tỏa của infinity categories cũng đã cho chúng ta thấy những khó khan mà một ngành khoa học đáng tôn kính như toán học phải trải qua mỗi khi nó cố gắng thu nhập một ý tưởng lớn, đặc biệt khi ý tưởng ấy thách thức đến ý nghĩa của những khái niệm quan trọng nhất của nó. “Có một mức độ bảo thủ nhất định trong cộng đồng toán học,” Clark Barwick của đại học Edinburgh nói. “Tôi chỉ không nghĩ có thể mong chờ rằng bất kì một số lượng nhà toán học nào có thể chấp nhận bất kì công cụ gì từ bất cứ đâu trong một thời gian rất ngắn nếu không cho họ được những lí do thuyết phục để nghĩ về chuyện đó.”

Dù nhiều nhà toán học đã tiếp nhận infinity categories, một số lượng tương đối ít trong họ đã thực sự đọc công trình dài và cực kì trừu tượng của Lurie một cách hoàn chỉnh. Và cũng vì vậy, một số những công trình dựa trên ý tưởng của anh ấy không được tỉ mỉ và chính xác như chuẩn mực thường thấy trong toán học.

“Tôi đã thấy có người nói, ‘Nó ở đâu đó trong công trình của Lurie,’ ” Inna Zakharevich, một nhà toán học ở đại học Cornell, đã nói. “Và tôi nói, ‘Thật à? Cậu đang trích dẫn tới $8,000$ trang chữ.’ Đó không phải là một sự trích dẫn, đó là một sự ngụy biện.”

Các nhà toán học vẫn đang vật lộn với cả tầm quan trọng của những ý tưởng của Lurie và cả cái cách khác thường mà nó đã được đề ra. Họ vẫn đang chắt lọc và sắp xếp lại cách trình bày của infinity categories để làm nó dễ tiếp cận với nhiều nhà toán học hơn. Họ đang thực hiện, theo một nghĩa nào đó, việc dịch một văn bản giáo điều thành những luật lệ thông thường hơn. Và trong việc làm như thế, họ đang xây dựng một tương laic ho toán học được xây dựng không phải dựa trên quan hệ bằng, mà dựa trên quan hệ tương đương.

Tháp vô hạn của sự tương đương

Sự bằng nhau toán học có vẻ như là một ý tưởng gì đó khó phải bàn cãi. Hai hạt đậu cộng một hạt đậu bằng ba hạt đậu. Còn gì để nói về điều ấy nữa đâu? Nhưng những ý tưởng đơn giản nhất có thể là những thứ kém đáng tin cậy nhất.

Từ cuối thế kỉ $19$, nền tảng của toán học đã được xây dựng dựa trên những tập hợp của các phần tử đối tượng. Lí thuyết tập hợp cung cấp cho ta những luật, hay tiên đề, để xây dựng và biến đổi những tập hợp này. Một trong những tiền đề, để ví dụ, nói rằng ta có thể thêm vào một tập hợp có hai phần tử với một tập hợp có một phần tử để tạo thành một tập hợp mới có ba phần tử: $2 + 1 = 3$.

Nói một cách chính xác, cách mà ta có thể cho thấy hai lượng đối tượng bằng nhau là ghép đôi chúng lại: ghép một hạt đậu ở bên phải dấu bằng với một hạt đậu bên trái dấu bằng. Nhận xét thấy rằng sau khi tất cả các sự ghép đôi đều đã được hoàn tất, không còn có hạt đậu nào đơn lẻ nữa.

Lí thuyết tập hợp quan sát được rằng hai tập hợp, mỗi tập hợp có ba phần tử, có thể ghép đôi vừa đủ với nhau, nhưng nó không thể dễ dàng nhận thức được những cách khác nhau mà các phần tử trong chúng có thể ghép đôi. Ta có thể ghép đôi hạt đậu đầu tiên bên phải với hạt đầu tiên bên trái, hoặc ta cũng có thể ghép đôi hạt đậu đầu tiên bên phải với hạt đậu thứ hai sang, và cứ tiếp tục như thế (có tổng cộng sáu cách ghép đôi như vậy). Khi ta nói rằng hai cộng một bằng ba và dừng lại ở đó, ta đang lờ đi những cách khác nhau mà chúng bằng nhau. “Vấn đề là, có nhiều cách để ghép đôi,” Campbell nói. “Chúng ta đã quên mất những cách ấy khi chúng ta nói về sự bằng nhau.”

Đây là lúc mà quan hệ tương đương lẻn đi vào. Trong khi bằng là một quan hệ cứng nhắc – hai vật chỉ có thể bằng hoặc không bằng nhau – tương đương có thể có nhiều dạng.

Khi ta có thể ghép đôi chính xác mỗi phần tử thuộc tập hợp này với một phần tử của tập hợp kia, đó là dạng mạnh của quan hệ tương đương. Nhưng trong một mảng của toán học gọi là lí thuyết đồng luân, hai hình dạng (hoặc không gian hình học) tương đương với nhau nếu ta có thể kéo giãn hoặc nén ép cái này thành cái kia mà không cắt hoặc làm đứt nó.

Từ một góc nhìn của lí thuyết đồng luân, một cái đĩa dẹt và một điểm duy nhất trong không gian là tương đương – ta có thể nén ép cái đĩa xuongs thành một điểm duy nhất. Tuy nhiên ta không thể ghép đôi những điểm ở trong cái đĩa với những điểm ở trong điểm. Vì hiển nhiên, có vô số điểm ở trong cái đĩa, nhưng chỉ có một điểm ở trong mỗi điểm.

Kể từ giữa thế kỉ $20$, các nhà toán học đã cố gắng thiết lập một sự thay thế cho lí thuyết tập hợp sao cho ở trong đó, phép toán tương đương sẽ có thể được áp dụng một cách tự nhiên hơn. Vào năm $1945$, các nhà toán học Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane giới thiệu một đối tượng cơ bản mới với quan hệ tương đương được cấy sẵn trong nó. Họ gọi nó là một phạm trù.

Các phạm trù có thể chứa bởi bất cứ thứ gì mà ta muốn. Chúng ta có thể có một phạm trù gồm những động vật lớp thú, phạm trù này sẽ chứa tất cả những động vật có long, máu nóng, tiết sữa của thế giới. Hoặc ta có thể tạo phạm trù của những vật thể toán học: tập hợp, không gian hình học hoặc hệ thống số.

Một phạm trù là một tập hợp với thêm một thông tin: một sự mô tả tất cả những cách mà hai đối tượng có quan hệ với nhau, gồm mô tả của tất cả những cách mà hai vật thể có thể coi là tương đương với nhau. Ta cũng có thể nghĩ về phạm trù như những vật thể hình học mà mỗi phần tử trong nó được đại diện bởi một điểm.

Để lấy ví dụ, bạn hãy tưởng tượng tới bề mặt của một hình cầu. Mỗi điểm trên bề mặt này có thể được thể hiện bởi một hình tam giác nhất định. Đường đi giữa những điểm này thể hiện mối quan hệ tương đương giữa chúng. Dưới góc nhìn của lí thuyết phạm trù, ta quên đi cái cách mà mỗi vật thể được định nghĩa một cách cụ thể và thay vào đó tập trung hơn tới việc một vật thể được đặt trong mối quan hệ như thế nào đối với những vật thể khác cùng loại với nó.

“Có nhiều thứ ta coi như là sự vật trong khi thực ra chúng là mối quan hệ giữa các đối tượng,” Zakhaverich nói. “Cụm từ ‘chồng của tôi,’ chúng ta nghĩ tới nó như là một đối tượng, nhưng ta cũng có thể nghĩ tới nó như là một mối quan hệ với tôi. Có một phần nào đó của anh ấy được định nghĩa bởi mối quan hệ của anh ấy với tôi.”

Phiên bản của Ellenberg và Mac Lane về lí thuyết phạm trù đã đủ tốt để xem xét những phiên bản mạnh của sự tương đương. Nhưng ở nửa cuối của thế kỉ $20$, nhiều nhà toán học dần bắt đầu nghiên cứu toán bằng những phiên bản yếu hơn của sự tương đương, chẳng hạn sự đồng luân. “Khi toán học trở nên tinh vi hơn, chúng ta không thể tránh khỏi đi đến việc cần những phiên bản yếu hơn của sự giống nhau,” Emily Riehl, một nhà toán học ở đại học Johns Hopkins đã nói. Ở những phiên bản yếu hơn của sự tương đương này, lượng thông tin về các cách mà hai vật được xem là có liên hệ với nhau tăng một cách đáng kể. Phiên bản phạm trù thô sơ của Eilenberg và Maclane không được thiết kế để xử lí vấn đề này.

Để thấy cách mà lượng thông tin được tăng lên, đầu tiên ta hãy gợi nhớ rằng hình cầu của chúng ta được biểu diễn bởi nhiều hình tam giác. Hai tam giác là tương đương đồng luân nếu ta có thể kéo dãn hoặc biến dạng hình này thành hình kia. Hai điểm trên một bề mặt là tương đương đồng luân nếu có một đường đi nối giữa chúng. Bằng việc nghiên cứu các đường đi đồng luân giữa các điểm trên một bề mặt, chúng ta thực chết đang nghiên cứu những cách khác nhau mà các tam giác biểu diễn bởi các điểm ấy liên hệ với nhau.

Tuy nhiên, chỉ nói rằng hai điểm được nối với nhau bằng các đường đi như nhau là chưa đủ. Ta cần xem xét sự tương đương giữa những đường đi đó nữa. Tức là ngoài việc xét xem hai điểm có tương đương nhau hay không, ta giờ đây cần đặt câu hỏi hai đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một cặp điểm có tương đương với nhau không – có đường đi nào nối giữa những đường đi đó không. Đường đi nối những đường đi này chính là hình có dạng đĩa được giới hạn bởi hai đường đi ban đầu. 

Ta có thể tiếp tục cứ như thế, hai đĩa được coi là tương đương nếu có một đường đi giữa chúng – và đường đi đó sẽ có hình dạng là một vật thể ba chiều. Những vật thể ba chiều này tiếp tục có thể được nối bởi những đường đi bốn chiều (đường đi nối giữa hai vật thể luôn có chiều cao hơn một so với chính những vật thể).

Cuối cùng, ta sẽ tạo được một tháp vô hạn những quan hệ tương đương giữa những quan hệ tương đương. Bằng cách xem xét toàn bộ cấu trúc này, ta tạo ra được một cái nhìn hoàn chỉnh về hai vật thể bất kì mà ban đầu ta chọn biểu diễn bằng điểm trên mặt cầu.

“Nó chỉ là một hình cầu thôi, nhưng thật ra thì, để hiểu được hình dạng của hình cầu, theo một nghĩa nào đó ta cần phải xét ra xa đến tận vô cùng,” David Ben-Zvi của đại học Texas, Austin đã nói.

Trong những thập kỉ cuối của thế kỉ 2$0$, nhiều nhà toán học nghiên cứu một lí thuyết về “infinity categories” – một thứ gì đó có thể theo dõi được tháp vô hạn các sự tương đương giữa những sự tương đương. Một vài trong số họ đã đạt được những bước tiến đáng kể. Chỉ một người trong số đó đến được đích cuối cùng.

Xây dựng lại Toán học

Bài báo đầu tiên của Lurie về infinity category không cho thấy nhiều khả quan. Vào ngày $5$ tháng $6$ năm $2003$, năm Lurie $25$ tuổi, anh đăng một bài viết $60$ trang tên “On Infinity Topoi” (về các infinity topo) lên trang web tiền ấn bản arxiv.org. Ở đấy, anh bắt đầu phác thảo những quy tắc mà các nhà toán học có thể sử dụng trong infinity categories.

Bài báo đầu tiên này không nhận được sự công nhận rộng rãi. Ít lâu sau khi đọc bài báo, Peter May, một nhà toán học ở đại học Chicago, đã gửi email cho người hướng dẫn của Lurie, Michael Hopkins, để nói rằng bài viết của Lurie có một số ý tưởng thú vị, nhưng nó có vẻ sơ sài và cần thêm tính chính xác.

“Tôi trình bày sự e dè của chúng tôi cho Mike, và Mike truyền đạt lại thông điệp đó cho Jacon,” May nói.

“Tôi không thể tưởng tượng viết được cuốn Higher Topos Theory, điều mà anh ta thực hiện trong hai hay ba năm, trong cả một đời người.”

Charles Rezk

 

Không rõ rằng Lurie đã coi email của May như là một thách thức hay anh đã có bước đi tiếp theo sẵn trong đầu. (Lurie từ chối nhiều lời thỉnh cầu phỏng vấn về câu chuyện này.) Nhưng có một điều rõ rang rằng sau khi nhận được sự phê bình, Lurie lao vào một quãng thời gian dài nhiều năm với năng suất cao mà giờ đây đã trở thành huyền thoại.

 

“Tôi không sống ở trong bộ não của Jacob, tôi không thể nói chính xác anh ta đã nghĩ gì trong quãng thời gian đó,” May nói. “Nhưng chắc chắn rằng đã có một sự khác biệt lớn giữa bản phác thảo chúng tôi đã phản hồi về và phiên bản cuối cùng, thứ ở một chiều không gian toán học cao hơn hẳn.”

 

Năm $2006$, Lurie công bố draft của cuốn Higher Topos Theory trên arxiv.org. Trong công trình khổng lồ này, anh ta tạo ra hệ thống công cụ cần thiết để thay thế lí thuyết tập hợp với một nền tảng toán học mới, một nền tảng dựa trên infinity categories. “Anh ấy đã tạo ra hàng ngàn trang giấy của thứ nền tảng công cụ mà giờ tất cả chúng ta đều đang dùng này,” Charles Rezk, một nhà toán học ở đại học Illinois, Urbana-Champaign, người hoàn thành những công trình sớm nhất trong lĩnh vực infinity categories, nói. “Tôi không thể tưởng tượng viết được cuốn Higher Topos Theory, điều mà anh ta thực hiện trong hai hay ba năm, trong cả một đời người.”

 

Rồi đến năm $2011$, Lurie tiếp tục công bố một công trình còn dài hơn. Với công trình này, anh ấy phát minh lại đại số.

 

Đại số cung cấp cho ta một bộ quy tắc chính thống đẹp để thao tác với các phương trình. Các nhà toán học rất thường xuyên dùng những quy tắc này để chứng minh những định lý mới. Nhưng đại số thực hiện chức năng của nó qua tiêu chuẩn của dấu bằng. Nếu ta loại bỏ tiêu chuẩn đó và thay nó bằng một thứ gì đó lỏng hơn, một số phép biến đổi trở nên khó hơn rất nhiều.

 

Lấy ví dụ một trong những quy tắc đầu tiên của đại số mà trẻ em học ở trường: tính kết hợp, nói rằng tổng hoặc tích của ba hay bốn số không phụ thuộc vào cách chúng được ghép cặp với nhau: $2 x (3 x 4) = (2 x 3) x 4$.

 

Chứng minh tính kết hợp đúng với một dãy bất kì gồm ba hay nhiều hơn phần tử là dễ khi chúng ta làm việc với quan hệ bằng. Nó là phức tạp thậm chí khi ta làm việc với những phiên bản mạnh của quan hệ tương đương. Khi ta đưa nó về những phiên bản yếu của sự tương đương, với tháp vô hạn đường đi giữa các đường đi của chúng, thậm chí một quy tắc đơn giản như quy tắc giao hoán cũng biến thành một mớ mịt mù.

 

 

‘Điều này phức tạp hóa mọi thứ một cách đáng kể, theo một góc nhìn nào đó, ta dường như không thể làm việc với phiên bản mới của toán học này mà ta đang hình dung ra,” David Ayala, một nhà toán học ở đại học bang Montana đã nói.

 

Trong Higher Algebra, phiên bản mới nhất của cuốn sách dài tới $1,553$ trang giấy, Lurie phát triển một phiên bản của quy tắc giao hoán cho infinity cantegories – cùng với nhiều những định lý đại số khác, chúng định ra một nền tảng cho toán học của sự tương đương.

 

Hợp tất cả lại, hai công trình của anh đã trở thành những cơn địa chấn, với mức độ ảnh hưởng đủ để bắt đầu cách mạng khoa học. “Tầm vóc của nó lớn khủng khiếp,” Riehl nói. “Nó là một thành tích ngang tầm với cuộc cách mạng trong hình học đại số của Grothendieck.”

 

Tuy thế, các cuộc cách mạng cần thời gian, và như nhiều nhà toán học đã quan sát được sau khi những cuốn sách của Lurie được công bố, những năm tiếp sau đó có thể trở nên hỗn độn.

 

Tiêu hóa con bò

 

Các nhà toán học nổi tiếng là những người suy nghĩ sáng suốt: một chứng minh là đúng hoặc sai, một ý tưởng là hợp lý hoặc không. Nhưng họ cũng là con người, và họ phản ứng với những ý tưởng mới bằng cái cách mà con người thường làm: với ý niệm chủ quan, xúc cảm, và một cảm giác về rủi ro cho bản thân.

 

“Tôi nghĩ nhiều bài viết trong toán học được viết trong ý tưởng rằng các nhà toán học đang tìm kiếm những sự thật trong sáng và rõ ràng,” Campbell nói. “Đó không phải thực sự những gì diễn ra. Họ là những con người với khẩu vị riêng và vùng mà họ cảm thấy thoải mái riêng, và họ sẽ gạt bỏ những thứ họ không thích vì lí do về mặt thẩm mĩ hay lí do cá nhân.”

 

“Nó kiểu giống như một con trăn khổng lồ đang muốn tiêu hóa hết một con bò ấy. Có một khối lượng lớn này đang trôi qua cả cộng đồng.”

Jonathan Campbell

 

Ở phương diện đó, công trình của Lurie đặt lên một thách thức lớn. Về cơ bản, nó là một sự khiêu khích: Đây là một cách tốt hơn để làm toán. Thông điệp này được đặc biệt chĩa thẳng tới những nhà toán học nào đã dành cả sự nghiệp của mình phát triển những phương pháp mà công trình của Lurie biến trở thành lạc hậu.

 

“Có một sự căng thẳng nhất định ở đây khi người ta thường không vui vẻ cho mấy khi thấy thế hệ tiếp theo viết lại công trình của họ,” Francis nói. “Đây là một đặc điểm có ảnh hưởng tới lí thuyết infinity categories, đó là nhiều những công trình trước đó sẽ phải được viết lại.”

 

Công trình của Lurie khó nuốt theo những cách khác. Khối lượng lớn của nó dẫn đến việc các nhà toàn học sẽ cần đầu tư nhiều năm để đọc sách của anh. Đó là một yêu cầu gần như bất khả thi cho những nhà toán học bận rộn ở chặng giữa sự nghiệp của họ, và nó là một thứ mang rủi ro cao đối với sinh viên sau đại học, những người chỉ có một vài năm để đúc kết được những kết quả mà đem lại được cho họ việc làm.

 

Công trình của Lurie cũng mang tính trừu tượng cao, kể cả khi so sánh với bản chất trừu tượng cao của tất cả mọi thứ khác trong toán học cao cấp. Xét theo khẩu vị, nó không phải dành cho tất cả mọi người. “Nhiều người đã coi công trình của Lurie như điều trừu tượng vô nghĩa, và nhiều người hoàn toàn thích thú với nó và làm quen với nó,” Campbell nói. “Và rồi có những phản ứng nửa mùa, bao gồm cả phản ứng hoàn toàn không hiểu gì về nó cả”

 

Cộng đồng khoa học đầy những khi tiếp thu ý tưởng mới, nhưng thường bằng một cách chậm chạp, và theo một hướng cả cộng đồng thực hiện bước tiến cùng nhau. Khi những ý tưởng mới được hình thành, chúng đặt ra một vấn đề cho bộ máy trí thức của cộng đồng. Nhiều thứ được trình bày mới cùng lúc, nó kiểu giống như một con trăn khổng lồ đang muốn tiêu hóa hết một con bò ấy,” Campbell nói. “Có một khối lượng lớn này đang trôi qua cả cộng đồng.”

 

Emily Riehl, một nhà toán học tại đại học Johns Hopkins, đang giúp đỡ để định hướng sự phát triển của lý thuyết phạm trù bậc cao.

 

Nếu bạn là một nhà toán học và xem cách tiếp cận của Lurie là một cách tốt hơn để làm toán, một con đường đơn độc nằm ở phía trước bạn. Ít người đã đọc công trình của Lurie, và không có cuốn giáo trình nào chắt lọc nó, và không seminar nào bạn có thể tham dự để có bước đà. “Cái cách mà bạn học về thứ này không gì khác là phải ngồi xuống và tự thân làm lấy,” Peter Haine, một sinh viên sau đại học của MIT, người đã dành một năm để đọc công trình của Lurie, nói. “Tôi nghĩ đó là cái khó. Không những bạn phải ngồi xuống và tự thân làm lấy – mà bạn phải ngồi xuống và tự làm lấy bằng cách đọc $800$ trang sách của Higher Topos Theory.”

 

Như nhiều phát minh mới, Higher Topos Theory yêu cầu các nhà toán học tương tác nhiều với bộ máy đã xây dựng nên nó. Nó giống như việc yêu cầu người muốn có bằng lái xe trước tiên phải học cách tạo ra động cơ xe đã. “Nếu có một phiên bản thân thiện hơn với người đọc, nó sẽ ngay lập tức trở nên dễ tiếp cận hơn cho một cộng đồng toán học rộng lớn hơn.” Dennis Gaitsgory, một nhà toán học ở Harvard, người đã từng cộng tác với Lurie, nói.

 

Khi mọi người bắt đầu đọc công trình của Lurie và dùng infinity categories cho chính việc nghiên cứu của họ, những vấn đề khác nảy lên. Nhiều nhà toán học sẽ viết bài của họ dùng infinity categories. Những người kiểm duyệt ở các tờ báo sẽ nhận chúng và hỏi: Đây là cái gì?

 

“Bạn gặp phải tình huống khi mà [các bài viết] hoặc được gửi lại từ các tờ báo với sự phê bình sai sót đến mức nặng nề và thể hiện một sự hiểu lầm sâu sắc, hoặc chúng mất vài năm để được công bố,” Barwick nói. “Nó có thể khiến cuộc sống của nhiều người trở nên phiền phức vì một bài viết không được công bố và nằm mãi trên website của bạn nhiều năm liền nhìn hơi hài hước.”

 

Nhưng vấn đề lớn nhất không phải là những bài viết không được công bố, mà là bài viết dùng infinity categories và được công bố - nhưng có lỗi sai.

 

Toán học không phải là một cuốn kinh thánh mà chỉ các tu sĩ mới có thể đọc được. Nó cần những tờ rơi cũng như những tàng sách, nó cần những công trình diễn dịch bên cạnh sự phát hiện đầu tiên.

 

Những cuốn sách của Lurie là những văn bản duy nhất và tối cao về infinity categories. Chúng hoàn toàn chuẩn xác, nhưng khó để nắm bắt một cách hoàn toàn. Chúng đặc biệt không phù hợp để dùng làm một cuốn sách hướng dẫn – khó để tìm được những định lý cụ thể, hoặc để kiểm tra một ứng dụng cụ thể của infinity categories mà ta có thể gặp phải trong bài viết của ai đó khác có đúng hay không.

 

“Hầu hết những người làm việc trong ngành chưa đọc công trình của Lurie một cách có hệ thống, “ André Joyal, một nhà toán học ở đại học Quebec ở Montreal, công trình trước đây của ông là một thành phần quan trọng trong sách của Lurie, nói. “Nó tốn nhiều thời gian và công sức, vậy nên chúng tôi kiểu như thừa nhận những thứ trong sách của anh ta là chính xác vì hầu hết những lúc chúng tôi kiểm tra thứ gì đó thì nó đều chính xác. Thật ra là tất cả mọi lúc.”

 

Sự khó tiếp cận của sách của Lurie đã dẫn tới sự sai sót trong một số những nghiên cứu dựa trên nó sau này. Những cuốn sách của Lurie khó đọc, khó để viện dẫn, và khó có thể được dùng để kiểm tra công trình của người khác.

 

“Có thể cảm nhận được một sự bất cẩn trong các bài viết xung quanh chủ đề infinity categories.” Zakharevich nói.

 

Dù tính chuẩn xác của nó, Toán học không phải là một cuốn kinh thánh mà chỉ các tu sĩ mới có thể đọc được. Nó cần những tờ rơi cũng như những tàng sách, nó cần những công trình diễn dịch bên cạnh sự phát hiện đầu tiên. Và ở thời điểm hiện tại, lí thuyết infinity categories vẫn đang tồn tại chủ yếu dưới dạng vài cuốn sách lớn trên kệ sách.

 

“Bạn có thể lấy thái độ rặng ‘Jacob sẽ nói chúng ta phải làm gì, mọi chuyện đều đang ổn,’” Rezk nói. “Hoặc bạn có thể có thái độ rằng ‘Chúng ta chưa biết cách thể hiện vấn đề của chúng ta một cách đủ tốt để người khác có thể tiếp nhận và áp dụng nó.’”

 

Nhưng một số nhà toán học đã thực sự chấp nhận thử thách biến infinity categories thành một kĩ thuật mà nhiều người hơn trong ngành có thể sử dụng.

 

Một lí thuyết thân thiện với người sử dụng

 

Để dịch infinity categories thành những thứ có thể thực sự làm toán, Lurie phải chứng minh các định lý về chúng. Và để làm điều đó, anh phải chọn một môi trường nào đó để tạo ra những chứng minh này, giống như việc ai đó nghiên cứu hình học phải chọn hệ tọa độ để làm việc trong. Các nhà toán học gọi đây là chọn một mô hình.

 

Lurie xây dựng infinity categories trong mô hình quasi-categories. Các nhà toán học trước đây đã từng xây dựng infinity categories ở trong những mô hình khác. Tuy những công trình đó kém đầy đủ hơn của Lurie nhiều, chúng dễ được sử dụng hơn trong một số trường hợp. “Jacob chọn một mô hình và kiểm tra rằng mọi thứ đều đúng trong mô hình đó, nhưng thường đó không phải là mô hình dễ làm việc với nhất,” Zakharevich nói.

 

Lí thuyết phạm trù kiểu như đang tự tạo ra chính nó.

Mấy bạn phản bác chuyện làm bất đẳng thức là do chưa thấy được ứng dụng của nó vào thực tế, chứ nếu mình cho vài thí dụ thấy rồi thì lại đâm mê

Cố học cho giỏi rồi tìm được nhiều ứng dụng rồi hãy phát biểu câu này.