Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 10:45
****-

Chủ đề của tôi gửi

Môn toán phổ thông

14-05-2017 - 01:35

Bài viết này viết giành phần nhiều cho các bạn học sinh phổ thông và một số sinh viên . Mình / em / cháu xin phép xưng tôi - bạn trong bài viết . Bài viết tập trung chủ yếu vào chủ đề toán bậc phổ thông và bình luận một số thực trạng hiện nay và sẽ trình bày nhiều quan điểm cá nhân .
$1)$ Đam mê toán và phân biệt một số từ ngữ
- Tại sao mọi người lại đam mê toán : có rất nhiều lý do , bạn có thể đọc sách nhìn thích thích công thức , tài năng bẩm sinh và cứ thế theo thôi , bị ảnh hưởng bởi ai đó ... Ví dụ như tôi đam mê toán khi biết nhiều hơn về tiểu sử các nhà toán học . Đam mê không bao giờ là sai , tôi xin khẳng định điều đó , ít nhất là trường hợp này .
- Từ ngữ cần phân biệt : ở đây tôi tạm gọi là môn toán và toán học . Nói đến đây nhiều người đã hiểu rồi , còn nếu ai chưa hiểu thì cứ theo sát bài viết là hiểu liền . Tại sao lại phân biệt cái này , dĩ nhiên nhiều người có thể nói tôi quá để ý , bản thân tôi không muốn tách rời hai từ này nhưng với tình trạng hiện nay ở bậc phổ thông trở xuống làm tôi phải để ý hơn khi dùng từ . Cá nhân tôi thấy không đồng ý khi : bạn bảo bạn đam mê toán học - nhưng bạn không biết ông nào làm toán , ít nhất phải biết một chút về Gauss , Euler , Terence Tao , Perelman,... tốt hơn thì Galois , H.Cartan , Serre , Atiyah , Grothendieck ,... bạn bảo bạn đam mê toán học , thế cụ thể đam mê cái gì , mình đam mê bất đẳng thức . Vậy rõ ràng là đã dùng sai từ ở đây .
$2)$ Hệ thống lý thuyết
- Tôi có thể " phân hoạch " môn toán đã nói ở trên làm hai phần : thi học sinh giỏi và thi đại học . Ở đây sẽ tập trung chính vào điều thứ nhất , phần thứ hai sẽ dần dần nói vì dù sao nó cũng bám sát với sách giáo khoa , trong sách giáo khoa có phần đọc thêm mà tôi cho là cũng khá thú vị ( không biết ai đọc không ) .
- Lý thuyết môn toán có chặt chẽ không , lấy từ đâu : tất nhiên là có chặt chẽ , tại sao chặt chẽ . Vì nó lấy từ toán học . Nhưng mà từ bao giờ rồi , hầu hết lý thuyết môn toán là thứ toán học mà đã được nghiên cứu từ hàng mấy thể kỉ trước . Nói thế này hơi ích kỉ như kiểu tôi bắt các bạn phải tìm hiểu gốc gác vậy , nhưng đã mang danh đi thi học sinh giỏi ít nhất nên tìm hiểu một chút lý thuyết các bạn học lấy từ đâu .
- Lý thuyết toán học thì sao : dĩ nhiên đây là câu hỏi khó mà có lẽ đa phần chúng ta không trả lời được . Nhưng riêng tôi thì cũng cảm nhận được cỗ máy khổng lồ này nằm ngoài tầm tưởng tượng của mình như thế nào . Buồn hơn , nhiều bạn học được vài chiêu trò ( trick ) trong toán học , giải được dăm ba bài toán đã nghĩ thứ mình học được là số một trên đời , văn thơ hơn thì gọi là ếch ngồi đáy giếng . Bất cứ khi nào , ở cấp bậc nào bạn cảm thấy kiến thức là đủ , không cần học thêm thì tức là bạn không xứng đáng học tiếp nữa. Không phủ nhận các thủ thuật đôi khi đóng góp rất lớn cho toán học , nhưng với môn toán thì không và làm xấu hình ảnh của nó trong mắt khá nhiều người . Toán học ngày nay đã đi quá xa , và dĩ nhiên các vấn đề của nó xuất phát từ các điều khác , mà gốc gác của toán học xuất phát từ các nhu cầu thực tế dù đi lên cao thì nó cũng không thay đổi điều đó theo một khía cạnh nào đó .
$3)$ Đề thi , luyện thi học sinh giỏi
- Đề thi : đề thi cũng có nhiều cấp bậc dễ khó khác nhau . Nhưng nói chung tôi sẽ phân ra hai kiểu chính : xào nấu và lấy từ một lý thuyết toán cao cấp . Lý do thì cũng đơn giản thôi , bài hay thì cũ rồi và nghĩ ra bài mới thì chỉ có hai kiểu trên , nhưng cả hai kiểu đều là đánh đố nhau . Thà lấy từ lý thuyết toán cao hơn , học sinh không giải được còn biết vì sao và hứng thú tìm hiểu nguồn gốc , còn xào nấu đôi khi tác giả bài toán còn không hiểu sao lại có cái đó . Với tôi không chấp nhận một điều gì đó không đủ chắc chắn và không dựa trên một nhu cầu nào đó . Lại một lần nữa hơi phiến diện , nói đây là phân tích , tôi không bác bỏ các kì thi nhưng chỉ muốn học sinh ngoài học thi thì nên tìm hiểu một chút gì đó gọi là " gốc gác " vấn đề . Bản thân chúng ta ai cũng đủ khả năng cảm nhận bài nào vô nghĩa cái nào không nếu phân tích đủ sâu nên thôi tạm dừng điều này .
- Luyện thi : chắc các bạn cũng hay trêu nhau về các anh chàng thủ khoa không đi học thêm mà vẫn thủ khoa . Nói ngày xưa các học sinh đi thi học sinh giỏi chắc chỉ có tự học , một thời gian trước chắc chỉ có luyện thi đại học may ra mới học thêm nhiều . Bây giờ thì luyện thi học sinh giỏi không khác gì luyện thi đại học nên đôi khi các bạn đi thi hsg đừng vỗ ngực tự hào hơn ôn thi đại học .
$4)$ Ôn thi đại học môn toán và thực trạng hiện nay
- Ai cũng biết bộ vừa sửa đổi môn toán từ thi tự luận sang trắc nghiệm và điều này vô tình tạo chỗ làm ăn cho một số thành phần mutit về môn toán nhưng luôn vỗ ngực : tao là số một , tao mà đứng thứ hai không thằng nào dám đứng thứ nhất .
Vậy thật sự các thành phần này biết gì và làm gì ?
- Nói là biết gì thì theo tôi đa số là không biết gì .
- Làm gì thì mới có nhiều cái để nói . Thứ nhất chưa nói làm gì , đa số các thành phần mà ai cũng biết là ai không quan tâm đến kết quả các em học sinh , chạy theo tiền là chính mà ta hay gọi là nước đục thả câu . Đi dạy mà nhờ người khác soạn bài rồi đứng lên nói , hoặc có ông bảo luôn : tao không biết gì đâu , cứ nói bừa thôi . Thêm vài ba bang hội chặt chém nhau vì cái máy tính casio , viết sách sai thì bảo là gõ máy nhầm . Ngoài ra còn có đặc điểm là các thành phần này gõ và soạn thảo văn bản rất tốt , theo tôi thì nghề thật của họ ở các quán photocopy mà ở đó chuyên có mấy anh gõ thuê ấy .
- Họ có một lực lượng hùng hậu ủng hộ là các học sinh , tại sao ? Để trả lời câu này thì tôi nghĩ có cách giải thích này hợp lý mà vừa muốn chê vừa không . Học sinh ngày nay đa phần kém , lười tư duy , chạy theo số đông . Một phần cũng vì nhiều môn học quá nên đành phải vậy . Nghịch lý ở cái nhiều ông treo đầu dê bán thịt chó cơ nhưng tôi không tiện nói tên . Thế mà học sinh vẫn phải lao vào vì sợ trượt đại học . Theo tôi cứ như mấy anh thủ khoa , không đi học thêm mà học sách giáo khoa + tư duy một chút là hiểu gốc gác vấn đề ngay mà làm bài vẫn tốt . Nên khuyên các bạn học sinh : nên biết phân biệt đúng sai phải trái . Có thể tình cảm hình thành trong quá trình các bạn học nhưng không có nghĩa những người mà các bạn sùng bái đó xứng đáng được gọi là thầy cô và để các bạn mù quáng đến mức quá lên như vậy . Tôi thì hay gọi là lưu manh giả danh tri thức .
$5)$ Tổng kết vài điều
- Vậy thì xin mạn phép xin lỗi nếu ở các mục trên có quá công kích ai đó . Đam mê cái gì cũng vậy không vi phạm các chuẩn mực là được . Nhưng vẫn phải biết dùng từ cho đúng , thể hiện sao cho phải và đừng bảo vệ cái sai , cho nó là sai lầm nhỏ mà dù tuy nhỏ nhưng ảnh hưởng to .
- Gửi đến cả các bạn nghĩ môn toán ở bậc phổ thông là ghê gớm lắm : câu trả lời nó chưa là cái gì cả và quá nhỏ bé . Câu này chắc là sẽ khó hiểu với nhiều bạn vì cái đầu một số bạn dừng ở 2 chữ " phổ thông " . Tôi cũng kịch liệt phản đối sinh viên các kiểu mà bày đặt viết sách , viết sai theo kiểu dốt nát thì cố biện minh , nếu đó là sinh viên theo ngành toán càng đáng trách . Dù làm cái gì thì phải có cái tâm nghĩ cho người khác nữa nhé ! Còn việc đưa cho nó đi đúng hướng có lẽ tôi không dám bàn .

Chuyện hài hước của trẻ con

09-04-2017 - 00:12

File gửi kèm  haihuoc.png   222.21K   4 Số lần tải

Không may là mình đang chán nản buồn phiền nhiều chuyện tự nhiên có thằng cu làm mình vui cả tối vì độ hài hước của nó , anh em cứ cười đi tôi k nói gì đâu


Bài toán đóng gói hình cầu

18-03-2017 - 01:06

File gửi kèm  cannon-balls.jpg   82.36K   6 Số lần tải

 

Có lẽ bạn đã có lần nhìn thấy trong quá khứ qua tranh ảnh người ta xếp các quả đạn đại bác thành chồng để chuẩn bị bắn pháo . Hoặc gần như chắc chắn bạn đã thấy người ta xếp một đống các quả cam lên nhau ở cửa hàng tạp hóa trong địa phương bạn . Trong cả hai trường hợp , đống xếp có thể là một tháp tam giác , mỗi quả ở trên xếp gọn gàng vào một khe giữa các quả ở dưới , dường như đây là cách tốt nhất để làm điều này . Vậy làm thế nào bạn biết rằng nó đúng ? 

Đó là một ví dụ của bài toán đóng gói hình cầu ( sphere packing or Kepler conjecture ) . Một vấn đề yêu thích của các nhà toán học trong hàng thế kỉ . Trường hợp ba chiều có các ứng dụng rất rõ ràng ( chúng ta thường cần đóng gói vật thể hình cầu trong không gian ) , nhưng vấn đề này có thể phát biểu ở bất kì chiều nào . Trong một không gian $d$ chiều kí hiệu là $R^{d}$ . Hình cầu $d-1$ chiều là tập hợp các điểm cách gốc tọa độ một khoảng cách là $1$ . Với $d=2$ đó là hình tròn , với $d=3$ đó là hình cầu mà ta thường thấy ( có thể ví như bề mặt quả cam ) . Phát biểu đúng của bài toán là tìm sự dày đặc lớn nhất  ( tỉ trọng ) của một gói cầu . Có thể hiểu là cho một không gian $d$ chiều hữu hạn chúng ta muốn tìm một cách sắp xếp các hình cầu vào không gian này sao cho nó chiếm một không gian lớn nhất có thể . 

Lời giải cho trường hợp $d=2$ và $d=3$ đã có từ hàng thế kỉ nay . Gần đây ,nhà toán học Maryna Viazovska thuộc đại học Humboldt tại Berlin thông báo đã giải quyết được trường hợp $d=8$ và cùng với sự hợp tác với một số nhà toán học khác đã giải quyết được trường hợp $d=24$ 

Nghiên cứu về các gói bắt đầu với cái gọi là lưới sắp xếp . Tâm của các hình cầu trong mỗi cách sắp xếp nằm tại các điểm của một lưới trong không gian xung quanh và thể hiện một mức độ đối xứng cao . Bước đầu tiên là xác định mức độ dày đặc nhất có thể của một lưới các gói và hy vọng nó là một cách tổng thể hoặc không . Trường hợp $d=2$ với các hình tròn đã được giải trong trường hợp lưới bởi Joseph Louis Lagrange năm $1773$ . Nó là một gói chưa thật rõ ràng dựa trên sự xếp chồng mặt phẳng bằng cách hình lục giác đều mà tâm mỗi hình tròn là đỉnh của các lục giác . Mật độ của sự sắp xếp này là $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \sim 0,9069$ và nó được chứng minh bởi Laszlo Fejes Toth năm $1940$ rằng đây là phương án tối ưu .

 

File gửi kèm  Circle_packing_hexagonal.jpg   45.26K   6 Số lần tải

 

Câu hỏi về các quả đạn pháo lần đầu tiên được tìm hiểu bởi Thomas Harriot vào năm $1587$ sau khi Sir Walter Raleigh hỏi về một phương pháp xếp tốt nhất cho các quả đạn pháo ở trên boong tàu . Và đã có một phương pháp gọi là sự sắp xếp các khối tâm mặt trong đó mỗi hình cầu có $12$ hình cầu xếp xung quanh nó . Carl Fiedrich Gauss đã chứng minh rằng đây là sự sắp xếp tốt nhất với mật độ $\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \sim 0,74048$ và khẳng định điều này là tối ưu trong số tất cả các gói được gọi là " Dự đoán Kepler . Điều này cuối cùng được chứng minh thởi Thomas Hales năm $1998$ thông qua một máy tính , mà lần đầu tiên để lại một sự thú vị nếu nó thực sự đúng . Có rất nhiều cách sắp xếp có cùng mật độ tuy nhiên đều là các biến thể của cách xếp pháp và cam . 

Lưu ý rằng các cách sắp xếp này thể hiện rất nhiều sự đối xứng , do đó một cách tự nhiên để tìm các lưới như vậy trong chiều cao hơn là giải pháp tốt nhất cho các gói dày đặc . Không gian $8$ chiều có một mạng tinh thể đặc biệt gọi là lưới $E8$ . Đây là các điểm mà tọa độ của nó là tất cả các số nguyên hoặc là một nửa các số nguyên và thêm vào một số chẵn ( ví dụ $(1,2,-1,0,4,-2,-1,-1) , (\frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 0 , \frac{-1}{2} , \frac{7}{2} , 0 , \frac{-1}{2} , \frac{5}{2} )$) . Sử dụng các điểm này làm tâm các quả cầu thì thu được một sự sắp xếp có mật độ $\frac{\pi^{4}}{384} \sim 0,25367$ . Lưu ý rằng mật độ nhỏ hơn khi số chiều tăng lên .Điều này không quá ngạc nhiên vì hình cầu đơn vị chiếm ít hơn và ít hơn khối lượng biên của nó trong các chiều cao hơn  .

Các kĩ thuật của Viazovska đã sử dựng đê chứng minh mạng $E8$ tối ưu thực sự là quá cao để có thể nói ở đây . Nhưng đây là một tiến bộ rất lớn , và hy vọng các nhìn sâu sắc về sự cơ bản của nó sẽ giúp ích cho các chiều cao hơn , ví dụ $d=24$ . 

 

Dịch từ : forbes.com 

Người dịch : Phạm Khoa Bằng - bangbang1412


Về nhóm đồng điều của các cube suy biến

11-03-2017 - 18:09

Gọi $I^{n}=[0,1] \times [0,1]... \times [0,1]$ là cube kì dị thứ $n$ . Một cube kì dị trong không gian topo $X$ là ánh xạ liên tục $T : I^{n} \to X$ , ví dụ $n=0,n=1$ thì tương ứng là $1$ điểm và $1$ path trong $X$ . Gọi $Q_{n}$ là nhóm abel tự do trên tập tất cả các cube singular . Một cube singular được gọi là degenerate nếu có không phụ thuộc vào một tọa độ nào đó . Dĩ nhiên tập các cube singular $=$ cube degenerat $+$ cube nondegenerate . Vậy gọi tương ứng $D_{n},C_{n}$ tương ứng nhóm abel tự do sinh bởi cube degenerate và nondegenerate ta có :

$$Q_{n} = D_{n} \bigoplus C_{n}$$

Vậy ta định có thể viết thành không gian thương theo tính chất của direct sum $C_{n} = Q_{n} / D_{n}$ . Giờ ta sẽ định nghĩa biên của một cube theo một cách đại số . Gọi $1 \leq i \leq n$ là một chỉ số cố định xét ánh xạ là các $(n-1)$ cube singular

$$A_{i}^{n}T,B_{i}^{n}T : I^{n-1} \to X$$

$$A_{i}^{n}T(s_{1},...s_{n}) = T(s_{1},s_{2},...s_{i-1},0,s_{i+1},...s_{n})$$

$$B_{i}^{n}T(s_{1},...s_{n}) = T(s_{1},s_{2}....s_{i-1},1,s_{i+1},...s_{n})$$

Biên của $T$ được định nghĩa là : 

$$\partial_{n} T : Q_{n}(X) \to Q_{n-1}(X)$$

$$\partial_{n} T = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i}(A_{i}^{n}T - B_{i}^{n}T)$$

Trước tiên ( Massey ) ta có một số đẳng thức sau gọi là $(*)$ 

$$A_{i}A_{j}T = A_{j-1}A_{i}T$$

$$B_{i}B_{j}T = B_{j-1}B_{i}T$$

$$A_{i}B_{j}T = B_{j-1}A_{i}T$$

$$B_{i}A_{j}T = A_{j-1}B_{i}T$$

Ta sẽ thấy rằng nếu $T$ là $n-cube$ degenerate trong $X$ thì $\partial_{n}(T) \in D_{n-1}(X), \partial_{n}(D_{n}(X)) \subset D_{n-1}(X)$ , xét dãy : 

$$C_{n+1}(X )\overset{\partial_{n+1}}{\rightarrow} C_{n}(X) \overset{\partial_{n}}{\rightarrow}C_{n-1}(X)$$

Khi đó restrict này sẽ thỏa mãn đẳng thức $\partial_{n-1}(\partial_{n}T) = 0$ thật vậy bạn có thể chứng minh từ các đẳng thức đã nêu ta có thể xét một chuỗi các đồng cấu $\partial_{1},\partial_{2},...$ thỏa mãn $\partial_{n-1}\partial_{n}=0$ giờ ta xét hai tập : 

$$Z_{n}(X) = kernel \partial_{n} = \left \{ u \in C_{n}(X) | \partial(u)=0 \right \}$$

$$B_{n}(X) = image \partial_{n+1} = \partial_{n+1}(C_{n+1}(X))$$

Dễ thấy rằng $B_{n}(X) \subset Z_{n}$ ta xét nhóm thương sau và gọi là nhóm đồng điều thứ $n$ của cube 

$$H_{n}(X) = Z_{n}(X) / B_{n}(X)$$ ( lúc ban đầu mình học thì nó gọi là kiểu $G/[G,G]$, còn một kiểu nữa không phải $I^{n}$ mà chỉ hạn chế trên singular complex $\Delta_{n} = \left \{ (t_{1},...t_{n}) | t_{i} \in [0,1] \forall 1\leq i \leq n , \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1 \right \}$ 

Nói chung cũng như kiểu nhóm cơ bản nó sẽ induce ra cái đồng cấu mà hai kg  cùng kiểu topo thì sẽ sinh ra đồng cấu tương ứng ở nhóm đồng điều thứ $n$ ngoài ra ta còn có một kết quả rất hay $H_{n}(S^{m}) \cong Z$ nếu $n=0,m$ và bằng $\cong 0$ nếu ngược lại . Một kết quả kinh điển mà mình biết nhưng bây giờ mới có khả năng chứng minh là không có một retraction thực sự nào từ $D^{n}$ vào $S^{n-1}$ kéo theo định lý bất động Brouwer . Thật vậy giả sử có một retraction $r : D^{n} \to S^{n-1}$ , xét inclusion map $j: S^{n-1} \to D^{n}$ ta có chuỗi $S^{n-1} \overset{j}{\rightarrow} D^{n} \overset{r}{\rightarrow} S^{n-1}$ ta có $r.j=id_{S^{n-1}}$ giờ ta induce nó thì sẽ có $(r.j)_{*} = r_{*}.i_{*} = id_{H_{n-1}(S^{n-1})}$ dẫn đến $r_{*} : H_{n-1}(D^{n}) \to H_{n-1}(S^{n-1})$ là toàn ánh nhưng không thể do $H_{n-1}(D^{n}) \cong 0$ còn $H_{n-1}(S^{n-1}) \cong Z$ 


Normal subgroup

26-02-2017 - 00:47

Let $p : E \to B$ be a covering map ; let $p(e_{0})=b_{0}$ . Show that $p_{*}(\pi_{1}(E,e_{0}))$ is a normal subgroup of $\pi_{1}(B,b_{0})$ if and only if every pair of point $e_{1},e_{2}$ of $p^{-1}(b_{0})$ there is an equivalence $h : E \to E$ with $h(e_{1})=e_{2}$
In this post , the symbol $f_{*}$ mean , given a continuous map $f : X \to Y$ then $f_{*} : \pi(X) \to \pi(Y)$ and $f_{*}([h]) = [f \cdot h]$ ( $(f \cdot h)(x) = f(h(x))$ ). We call two covering map :
$$p : E \to B$$
$$p' : E' \to B$$
is equivalence if exist a homeomorphism lifitng $h$ such that :
$$h : E' \to E$$
$$p \cdot h = p'$$
We have a convention that $E$ and $B$ is always path-connected and locally path-connected . Here is very simple problem but to solve it you must understand all lemma about equivalent homeomorphism of covering map .