Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Online Đăng nhập: Hôm nay, 21:12
****-

Chủ đề của tôi gửi

Tổng hợp định lý cơ bản về các loại module xạ ảnh , nội xạ , flat

03-09-2017 - 00:44

$1)$ Một $R$ module trái $P$ là xạ ảnh khi và chỉ khi mọi dãy khớp $0 \to A \to B \to P \to 0$ đều chẻ , nói cách khác hàm tử covariant là khớp . 

$2)$ Một $R$ module $P$ là xạ ảnh khi và chỉ khi nó là direct summand của một module tự do .

$3)$ ( dual basis ) Cho một $R$ module trái $A$ , là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại một họ $\phi_{i} : A \to R , i \in I$ và $a_{i} \in A$ sao cho với mọi $x \in A$ thì $\phi_{i}(x) = 0$ với hầu hết trừ hữu hạn $i$ và $x = \sum_{i \in I} \phi_{i}(x)a_{i}$

Nhắc lại một module là biểu diễn hữu hạn nếu nó có dạng $(X | Y)$ với $X , Y$ hữu hạn , nói cách khác là hai điều kiện sau : 

$a)$ Tồn tại dãy khớp $R^{m} \to R^{n} \to M \to 0$

$b)$ Tồn tại dãy khớp $0 \to K \to F \to M \to 0$ với $F$ tự do và $F,K$ hữu hạn sinh . 

$4)$ Mọi module hữu hạn sinh xạ ảnh thì biểu diễn hữu hạn . 

$5)$ Một module là Noether khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong ba điều kiện : có $\mathbb{ACC}$ ( ascending chain condition ) trong cái module trái , mọi họ $F$ module con của nó có phần tử cực đại , mọi ideal trái là hữu hạn sinh . 

$6)$ ( Hilbert Basis Theorem ) Cho $R$ là noether thì $R[x]$ cũng là noether 

Nhắc lại rằng vành $R$ gọi là IBN ( invariant basis number ) nếu $R^{m} = R^{n} <=> m = n$ . 

$7)$ Vành noether có IBN 

$8)$ Module $E$ là nội xạ khi và chỉ khi mọi dãy khớp $0 \to E \to M \to N \to 0$ là chẻ trái , hay hàm tử contravariant của $E$ khớp .

$9)$ ( Baer Criterion ) Một $R$ module trái $E$ là nội xạ khi và chỉ khi mọi $R$ map $f : I \to E$ có thể mở rộng ra $g : R \to E$ ( $g | I = f$ ) trong đó $I$ là một ideal trái của $R$ 

$10$ Tích trực tiếp của module nội xa ( tương ứng : xạ ảnh ) hoặc direct summand của module nội xa ( tương ứng : xạ ảnh ) thì cũng nội xạ ( tương ứng : xạ ảnh ) 

$11)$ Cho $R$ là Noether , một họ $(E_{i})_{i \in I}$ là nội xạ khi đó $\bigoplus E_{i}$ cũng là nội xạ 

$12)$ ( Bass-sapp) Cho $R$ là vành mà mọi tổng trực tiếp các module nội xạ là nội xạ , thế thì $R$ là noether ( đảo của $11$ ) 

$13)$ Một module $E$ nội xạ khi và chỉ khi với mọi dãy khớp , trong đó $N$ là module cyclic $0 \to E \to M \to N \to 0$ thì phải chẻ trái . 

Nhắc lại rằng cho $M,E$ là hai $R$ module , $E$ đc gọi là essential extension of $M$ ( gọi là ee ) nếu tồn tại $R$ đơn cấu $\alpha : M \to E$ cho sao $S \cap \alpha(M) = 0$ với mọi module con của $E$ , nếu $\alpha$ không là toàn ánh thì gọi là proper ee . 

$14)$ Một $R$ module $M$ là nội xạ khi và chỉ khi nó không có ee thực sự nào 

$15)$ Các phần sau đây đúng : 

$a)$ $R$ là một $R$ module flat 

$b)$ Tổng trực tiếp của các $R$ module là flat khi và chỉ khi từng module thành phần flat 

$c)$ module xạ ảnh thì flat 

$16)$  ( bổ đề này rất quan trọng , khá giống với nhóm đồng điều trong topo đso , về phần compact , đây có thể gọi là phiên bản đại số ) Cho dãy khớp $R$ module $0 \to A \overset{i}{\rightarrow} B$ , tensor dãy khớp này với $M$ , nếu $u \in Ker(1_{M} \otimes i)$ thì tồn tại module hữu hạn sinh $N \subset M$ sao cho tồn tại $u' \in KN \otimes A$ sao cho $u' \in Ker(1_{N} \otimes i) , u = (f \otimes 1_{A})(u')$ trong đó $f : N \to M$ là inclusion 

$17)$ Nếu mọi module con hữu hạn sinh của $R$ module $M$ là flat thì $M$ flat 

Với mọi $R$ module $M$ ta đặt $M^{*} = Hom(M , Q/Z)$ 

$18)$ Dãy $A \to B \to C$ là khớp khi và chỉ khi $C^{*} \to B^{*} \to A^{*}$ là khớp 

$19)$ ( LAmbek ) Một $R$ module $B$ là flat khi và chỉ khi $B^{*}$ là nội xạ 

$20)$ Một module biểu diễn hữu hạn $B$ là hữu hạn khi và chỉ khi nó xạ ảnh .

$21)$ ( Villamayor ) Cho một dãy khớp $0 \to K \to F \to A \to 0$ trong đó $F$ tự do thế thì $A$ là flat khi và chỉ khi với mọi $v \in K$ có một $R$ map $\phi : F \to K$ sao cho $\phi(v)=v$ 

$22)$ Module hữu hạn sinh $B$ là xạ ảnh khi và chỉ khi nó biểu diễn hữu hạn và flat . 


Module biểu diễn hữu hạn là flat khi và chỉ khi xạ ảnh

01-09-2017 - 10:39

Một module $M$ trên vành $R$ gọi là biểu diễn hữu hạn nếu có một dãy khớp $F \to G \to M \to 0$ với $F,G$ là các module tự do . Chứng minh một module biểu diễn hữu hạn là flat khi và chỉ khi nó xạ ảnh . 

( module flat là module làm cho hàm tử tensor khớp thêm bên trái , module xạ ảnh làm hàm tử covariant Hom khớp phải )


Pontrjagin $\mathbb{Hom}_{\mathbb{Z}}(G ,...

31-08-2017 - 11:09

Cho nhóm abel $G$ và một phần tử $a \neq 0 \in G$ . Chứng minh tồn tại $f \in \mathbb{Hom}_{\mathbb{Z}}(G , \mathbb{R/Z})$ sao cho $f(a) \neq 0$ 


Chứng minh $M$ là nội xạ

25-08-2017 - 20:07

Cho $R$ là một vành đơn vị , một ideal trái $I$ của $R$ thì rõ ràng có thể xem là một $R$ module . Gọi $M$ là một module , $a \in M$ , định nghĩa ánh xạ $f_{a} : I \to M$ sao cho $f_{a}(i) = ia$ . Chứng minh $M$ là nội xạ khi và chỉ khi tất cả các đồng cấu module từ một ideal $I$ của $R$ vào $M$ có dạng $f_{a}$ với $a$ nào đó .


$x = \sum f_{i}(x) x_{i}$

23-08-2017 - 22:01

Chứng minh một module $M$ là nội xạ nếu và chỉ nếu tồn tại một họ các phần tử $x_{i} \in M$ và $f_{i} \in \mathbb{Hom}_{R}(M,R)$ sao cho $x = \sum f_{i}(x)x_{i}$ với mọi $x \in M$ . Tổng này ám chỉ hầu hết các chỉ số bằng $0$ . Nếu $M$ hữu hạn sinh thì có một họ như vậy gồm hữu hạn phần tử