Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

Chủ đề của tôi gửi

Topo học và lý thuyết đồng luân

30-11-2018 - 19:42

Mình đã rất đắn đo không biết nên viết bài viết này vì nó khá trừu tượng nhưng mong bạn đọc hãy kiên nhẫn để khám phá những mô tả sơ khai đầu tiên của một trong những lý thuyết lớn nhất thế kỉ $20$, Topo đại số.

 

Topology

 

File gửi kèm  Konigsberg_bridges.png   78.84K   1 Số lần tải

Bản đồ khu vực cầu Königsberg.

 

Thế kỉ $18$, cụ thể vào năm $1736$ thì Leonhard Euler đưa ra một bài báo về bài toán bảy cây cầu ở Königsberg. Sau đó năm $1750$ ông phát hiện ra công thức $V - E + F = 2$ cho các đa diện lồi. Đánh dấu sự bắt đầu của ngành topo. Các thế hệ nhà Toán học tiếp theo như Riemann, Betti, Cauchy, Noether, ... cũng đã có những đóng góp rất đáng kể.

 

Nhưng phải thật sự tới bài báo Analysis Situs của Henri Poincare năm $1895$ thì topo đại số mới chính thức trở thành một ngành nghiên cứu sống động và trở thành một trong các chủ đề chính của Toán học thế kỉ $20$. Trong bài báo này ông giới thiệu nhóm cơ bản, đồng luân, đồng điều, đồng thời đưa ra những mô tả đầu tiên về đối ngẫu Poincare và giả thuyết Poincare (một trong bảy giả thuyết thiên nhiên kỉ, được giải bởi Griogi Perelman năm $2006$). 

 

Sau này người ta phát triển thành hai hướng làm topo chính là: topo đại số và topo vi phân. Như hai cái tên thì một bên sử dụng công cụ của đại số và một bên sử dụng các công cụ của giải tích để tấn công những vấn đề khác nhau. (trong bài viết này mình viết chính về topo đại số)

 

Nền tảng của bất kì loại topo là topo đại cương, nhưng được xây dựng hoàn toàn bởi lý thuyết tập hợp dựa trên cơ sở là tổng quát hóa không gian metric cho những nhà giải tích. (có lẽ vậy mà Grothendieck từng muốn tìm kiếm một lý thuyết topo khác) vậy nên nếu bạn muốn học nó thì chỉ cần một chút giải tích là được. 

 

Khái niệm đồng phôi và phân loại không gian

 

Các khái niệm của topo như đã nói dựa hoàn toàn vào lý thuyết tập hợp, một trong các khái niệm quan trọng nhất của nó là khái niệm ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo $f: X \to Y$ (bạn đừng quá quan trọng từ không gian, và ánh xạ liên tục về cơ bản nó giống khái niệm ánh xạ liên tục ở bậc THPT), nói nôm na ánh xạ liên tục là một cách co dãn vật thể một cách liên tục nhưng không cắt, rách, thủng nó. Khi bạn có hai không gian $X,Y$ và hai ánh xạ liên tục $f:X \to Y$ và $g: Y \to X$ sao cho $f(g(y))=y,g(f(x))=x \forall x \in X, y \in Y$ thì ta gọi $X,Y$ là đồng phôi. Tức là bạn có thể gọi chúng bằng cùng một cái tên, chúng có thể biến đổi liên tục về nhau như hình sau:

 

File gửi kèm  Mug_and_Torus_morph.gif   203.14K   1 Số lần tải

Cốc có quai và bánh vòng.

 

Vì lẽ đó người ta hay gọi các nhà topo học - topologists là những người không phân biệt được cái cốc có quai với một cái bánh vòng. Hình sau thì lại đồng phôi với hình cầu mặc cho việc bạn có thể tưởng tượng được được không: ( chứa phần đặc bên trong)

 

File gửi kèm  download.png   4.33K   1 Số lần tảiFile gửi kèm  images.jpg   5.81K   0 Số lần tải

Cầu sừng Alexandre và quả cầu thông thường.

 

Bài toán quan trọng và khó nhất trong topo có lẽ là bài toán phân loại không gian topo chính xác tới một đồng phôi, tức là cho trước hai không gian $X,Y$ người ta hỏi liệu rằng hai không gian này có đồng phôi với nhau không? Nhưng như bạn đã biết và có thể cảm nhận, việc chỉ dựa vào lý thuyết tập hợp mà làm việc này thì gần như là bất khả thi vì vậy người ta đưa các bất biến đại số hoặc bất biến giải tích vào. Nếu ở cấp THPT khi bạn làm toán tổ hợp chắc từng gặp bất biến - vậy bất biến ở đây hiểu theo một nghĩa giống hệt. Tức là những thứ, những tính chất không thay đổi sau một phép đồng phôi. 

 

Một số ví dụ về các bất biến đơn giản:

 

- Giống của không gian, nói nom na bạn có thể hiểu là số lỗ thủng trên bề mặt không gian, một hình có hai lỗ thủng thì không thể đồng phôi với một hình có ba lỗ thủng, ví dụ như sau:

 

File gửi kèm  download (1).jpg   4.85K   1 Số lần tảiFile gửi kèm  download.jpg   4.42K   1 Số lần tải

$2$-torus và $3$-torus.

 

- Tính định hướng được, ví dụ quá nổi tiếng mà các bạn học sinh thường thấy là dải Mobius thì không đồng phôi với mặt cầu:

 

File gửi kèm  download (2).jpg   3.87K   1 Số lần tảiFile gửi kèm  220px-Sphere-wireframe.png   104.6K   1 Số lần tải

Dải Mobius và mặt cầu.

 

- Đặc trưng Euler cho đa diện là một loại bất biến.

 

 Giả thuyết nổi tiếng Poincare phát biểu một điều kiện để một đa tạp (một loại không gian topo khá đẹp đẽ) đồng phôi với mặt cầu ba chiều. Nó dựa vào một bất biến đại số là nhóm cơ bản - một trong các khái niệm cơ bản của ngành topo đại số.

 

Đi vào các bất biến của topo đại số

 

Bạn đọc có lẽ đừng vội hoảng sợ với các thuật ngữ, cứ bình tĩnh đọc tiếp nhé!

 

Việc phân loại không gian topo chính xác tới một đồng phôi có vẻ là điều bất khả thi nên người ta muốn làm yếu nó đi một chút, lúc này ta có một kiểu định nghĩa khác gọi là cùng kiểu đồng luân, và đưa ra các bất biến cho đồng luân. Lý thuyết đồng luân tập trung vào việc phân loại không gian chính xác tới một đồng luân, tức là xem xét khi nào hai không gian đồng luân với nhau.

 

- Có vài bất biến trong topo theo nghĩa sơ khai như: tính liên thông, liên thông đường; tính compact. 

 

- Một số bất biến đại số:

 

+ Các nhóm đồng điều $H_{0},H_{1},H_{2},...$ đo độ thủng ở một số chiều nhất định của không gian.

 

+ Các nhóm đối đồng điều $H^{0},H^{1},H^{2},...$ là một phiên bản khác của đồng điều.

 

+ Các nhóm đồng luân $\pi_{0},\pi_{1},\pi_{2},...$ , cụ thể là nhóm cơ bản $\pi_{1}$ mà mình đã nhắc ở trên, vậy nhóm cơ bản là gì?

 

Chú thích:

 

+ Nhóm là một đối tượng đại số được nhà Toán học Galois sử dụng để giải bài toán nổi tiếng về việc không giải được của phương trình bậc cao hơn $4$.

 

+ Các đối tượng mà mình nêu gọi là các hàm tử. Sauder MacLane là một nhà topo học sáng tạo ra lý thuyết phạm trù & hàm tử để mô tả topo và cùng với lý thuyết tập hợp mô tả lại các đối tượng trong Toán học một cách có hệ thống. Người ta hay gọi phạm trù các không gian topo, phạm trù các nhóm, .... vì mục đích quy gộp một số đối tượng và liên kết giữa chúng. Bạn có thể tham khảo bài dịch đang dở của mình & bạn mình ở đây

 

Nhóm cơ bản và nhóm đồng luân cấp cao

 

Trước tiên bạn đọc hãy lấy một tờ giấy, lấy hai điểm $x,y$ trên tờ giấy rồi vẽ một đường vòng vèo từ $x$ tới $y$ miễn là không nhấc bút khỏi giấy, một đường như vậy trong ngôn ngữ topo là một cung(path). Toán học hơn, một cung từ $x$ tới $y$ là một ánh xạ liên tục $f: [0,1] \to X$ sao cho $f(0)=x,f(1)=y$. Nếu bạn chịu khó tưởng tượng thì sẽ mường tượng ra việc đoạn thẳng $[0,1]$ bị bẻ cong rồi gán hai đầu $0 \mapsto x, 1 \mapsto y$ sau đó nhét vào không gian $X$. Bây giờ với hai cung từ $x$ tới $y$ được biến đổi liên tục tới nhau thì người ta gọi chúng đồng luân với nhau:

 

File gửi kèm  HomotopySmall.gif   176.68K   0 Số lần tải

Hai cung đồng luân với nhau

 

Trong một không gian, nếu cứ hai điểm $x,y$ bạn lại có một cung, thì người ta gọi không gian là liên thông cung hoặc liên thông đường. Như kiểu có một đường từ nhà bạn tới nhà bạn trai - bạn gái bạn trên nước Việt Nam này ấy. Việc hai vị trí trong một không gian có một đường chia không gian này thành các lớp liên thông cung, tức là thành những khu vực riêng biệt không thể nối với nhau, như hình sau với ba khu vực liên thông:

 

File gửi kèm  images.png   5.05K   1 Số lần tải

Rõ ràng từ một điểm trong hình tròn này bạn không thể nối tới một điểm trong hình tròn khác mà không cắt biên.

 

Tập hợp các khu vực liên thông cung tạo thành bất biến cơ bản nhất, nhóm đồng luân thứ $0$, $\pi_{0}(X)$

 

Sau đó, trong một không gian, bạn chỉ xét các cung tại một điểm $x$ cố định như theo quan hệ đồng luân, tức là hai cung đồng luân nhau ta coi nó là một. Tập hợp các lớp tương đương này gọi là nhóm cơ bản của không gian $X$ tại $x$, kí hiệu $\pi_{1}(X,x)$. Nó có một cấu trúc đại số khá thú vị, cấu trúc nhóm, tức là bạn có thể đem nhân hai cung với nhau như sau: bạn có hai cung đi từ $x$ tới chính nó $x$, kí hiệu cung $\alpha,\beta$. Khi đó bạn tưởng tượng $x$ là nhà bạn, còn $\alpha$ là việc bạn đi từ nhà tới quán nhậu với bạn bè rồi quay về trong vòng $1h$, trong khi đó $\beta$ là đi chơi với bạn gái ở một khu vực khác cũng trong $1h$. Bình thường thì bạn chỉ làm một việc, nhưng hôm nay bạn nhân hai việc $\alpha \times \beta$ vào thành một việc khá mạo hiểm: $1/2h$ đầu bạn đi từ nhà ra chỗ anh em nhậu rồi quay lại nhà sắm sửa cho thơm tho sạch mùi bia rồi lại từ nhà ra chỗ hẹn với bạn gái xong quay về nhà trong $1/2h$ tiếp theo. (giả sử thôi)

 

Chú ý: Trong ngô ngữ Toán học thì với $\alpha:[0,1] \to X,\beta:[0,1] \to X, \alpha(0)=\alpha(1)=\beta(0)=\beta(1)=x$ thì $(\alpha \times \beta)(x) = \alpha(2x)$ nếu $x \in [0,1/2]$ và $\beta(2x-1)$ nếu $x \in [1/2,1]$. Phép nhân này không giao hoán $\alpha \times \beta \neq \beta \times \alpha$, bạn thử giải thích bằng ví dụ của mình ấy!

 

Có trong tay hai đối tượng $\pi_{0}(X),\pi_{1}(X,x)$ bạn sẽ hỏi liệu các nhóm $\pi_{n}(X,x), n \geq 2$ hình thù như thế nào. Vâng rất đơn giản thôi, lấy ví dụ $\pi_{2}(X,x)$ là nhóm đồng luân thứ hai của $X$ tại $x$. Bạn lấy một hình vuông $[0,1] \times [0,1]$ thay vì đoạn thẳng $[0,1]$ và xét tất cả các ánh xạ liên tục từ $[0,1] \times [0,1]$ vào $X$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông $(0,0);(0,1);(1,0);(1,1)$ đều được ánh xạ tới $x$. Điều này na ná việc bạn túm bốn đỉnh của một tấm vải cứng hình vuông vào một điểm rồi ném nó vào trong $X$ là một cái hộp. Tương tự khi $n=1$ thì nhóm này $n=2$ có phép nhân và quan hệ đồng luân cũng phức tạp hơn nhiều. 

 

Tương tự ta có các nhóm $\pi_{n}(X,x) \forall n \geq 2$. Điểm khác biệt là khi $n \geq 2$ thì phép nhân này giao hoán, mô tả bằng hình vẽ sau trong trường hợp $n=2$:

 

File gửi kèm  images (1).png   1.7K   1 Số lần tải

 

chúng được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao, đóng vai trò quan trọng trong Topo đại số và lý thuyết đồng luân nói chung và riêng. 

 

Một cuộc đau đầu tập thể từ thế kỉ $20$ tới nay

 

Giáo sư Ngô Bảo Châu trên blog cá nhân từng viết:

 

Có ai đi hết mặt cầu

Đồng luân mấy nẻo về đâu hết đời.

 

Cuộc đau đầu tập thể của các nhà topo học - topologists là làm sao tính được nhóm đồng luân của mặt cầu $S^{2}$, tức là nhóm đồng luân của hình $5$ ấy bạn đọc! Và nói chung hơn nữa là nhóm đồng luân thứ $m$ của mặt cầu $n$ chiều, $\pi_{m}(S^{n},x)$. Rất nhiều công cụ hiện đại đã được sinh ra để giải quyết cuộc đau đầu tập thể này. Tuy nhiên nó vẫn tiếp diễn, thậm chí người ta còn không biết được các tập hợp này có bao nhiêu phần tử dù hầu hết chúng là hữu hạn.

 

File gửi kèm  hott_spheres.png   78.13K   1 Số lần tải

Bảng một số nhóm đồng luân của các mặt cầu số chiều thấp.

 

Nhà Toán học trẻ nhất từng được giải thưởng Fields (ở tuổi $27$), Jean Pierre Serre nhận giải này do một công trình về dãy phổ Serre, từ đó kết hợp với các không gian Eilenberg-Mac lane ông tính ra một số khá lớn các nhóm đồng luân của mặt cầu và xem xét khi nào các nhóm này là hữu hạn hay không (định lý hữu hạn Serre).

 

Dĩ nhiên, nếu mai mốt bạn tính được hết các nhóm này thì rất nhiều người sẽ ngả mũ chào bạn, và việc giải Fields trao vào tay sẽ là tất yếu! (rất nhiều giải Fields đã được trao cho các công trình về topo)

 

Ứng dụng của Topo nói chung

 

Mình không chuyên về các ngành nhỏ hơn hoặc đủ khả năng đi sâu vào các đối tượng rộng hơn nhưng cũng nêu ra một số ứng dụng trong các ngành khác:

 

- Computer science:

 

  + Topological data analysis (TDA): phân tích dữ liệu topo, một ngành sử dụng công cụ từ lý thuyết topo đại số,  và ứng dụng ngược lại vào lý thuyết Morse của topo vi phân. Về những ứng dụng khác trong công nghệ bạn đọc tham khảo ở đây.

 

  + Homotopy type theory: lý thuyết loại đồng luân.

 

- Biology: nhận các ứng dụng trực từ lý thuyết nút (knot theory) về các chuỗi DNA và dĩ nhiên lý thuyết nút là một chuyên ngành của topo.

 

- Physics: 

  

 + Topological quantum field theory: lý thuyết trường lượng tử topo, tính toán các bất biến topo.

 

 + Calabi-Yau manifolds in string theory: phân loại các đa tạp Calabi-Yau trong lý thuyết dây.

 

 + Spacetime topology: topo không thời gian.

 

 + Low-dimensional topology in physics: đa tạp số chiều thấp trong vật lý.

 

- Robotics: lấy các kết quả từ lý thuyết đồng luân để có được các kết quả trong hệ thống động học sử dụng cho robot.

 

Tác giả: Phạm Khoa Bằng - bangbang1412.

K$62$ Cử nhân tài năng Toán học - đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.


Vành đối đồng điều của không gian Eilenberg-Maclane với hệ số trong $\mathbb...

20-11-2018 - 22:52

Mình mới viết một file nho nhỏ về vành đối đồng điều của không gian $K(\mathbb{Z}/2,n)$ với hệ số trong $\mathbb{Z}/2$. Share chút cho mn, click vào đây.

 

File gửi kèm  46486307_1470840436394173_5537951412945682432_o.jpg   39.13K   1 Số lần tải

 

P/s: Em không có định làm paper nên anh Nxb có đọc được đề nghị không ném đá em. =)) 


Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết học của To...

20-11-2018 - 22:42

Đóng tạm cái Topic ở đây, từ thứ $5$ sẽ đăng một Series $12$ phần về "Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết học của Toán học."

 

Giới thiệu:

 

- Saunders Maclane, cùng với Samuel Eilenberg là hai người sáng lập ra lý thuyết phạm trù, một ví dụ nữa là các không gian Eilenberg-Maclane $K(G,n)$'s

- Doctoral advisor của Maclane là Hermann Weyl.

- Ông có các học trò rất nổi tiếng như Roger Lyndon, Irving Kaplansky, David Eisenbud, John Thompson ...

- Một cuốn sách nổi tiếng của ông là Category for working mathematician. - ( mình chưa bao giờ học phạm trù ở cuốn này ).

 

:D Mình nghĩ đôi khi lịch sử là cái rất hay để kích thích việc học Toán. Hy vọng mình sẽ làm series này đều đặn.


Số nhóm con có chỉ số hữu hạn

12-10-2018 - 16:37

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, thì số nhóm con có chỉ số $n$ trong $G$ là hữu hạn.

 


$k[G] \cong \prod Mat_{n_{i}}(k)$

05-10-2018 - 17:18

Giả sử $k$ là một trường đóng đại số, $G$ là một nhóm. Gọi $k[G]$ là các tổng hình thức có giá hữu hạn $\sum_{g \in G}a_{g}g, a_{g} \in k$, nó nhận một cấu trúc $k$ - không gian vector với cơ sở là $G$. Chứng minh rằng nếu nếu $G$ là một nhóm hữu hạn có cấp không là bội của đặc số của $k$ thì $k[G]$ đẳng cấu tuyến tính với $\prod Mat_{n_{i}}(k)$ nào đó, ở đây $Mat_{n}(k)$ là tập các ma trận cấp $n \times n$ trên trường $k$. Hơn nữa chứng minh trong các phân tích trên thì các số $n_{i}$ xác định duy nhất sai khác một phép hoán vị.