Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


nguyenqn1998

Đăng ký: 20-02-2013
Offline Đăng nhập: 06-01-2016 - 21:02
*----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Trận 10 - Bất đẳng thức

26-05-2014 - 15:35

Đặt $a =\frac{1}{x} ,b =\frac{1}{y} ,c =\frac{1}{z}$

Thay vào điều kiện ta có a+b+c=3

Thay vào bất đẳng thức . Ta cần chứng minh $\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)}  \leq \frac{3}{4}$

$\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)} =\sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2) +a^2+b^2} \leq \sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2+2)} =\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2} \leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{3}{2}$

Mà $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

Ta sẽ chứng minh

$\frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6} \geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2) +18$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq a^2+b^2+c^2 +18$

Mà $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq \sum 2(b^2 +ac)=(a+b+c)^2 +a^2+b^2+c^2 \geq 18 +a^2+b^2+c^2 .$

Như vậy ta có dpcm 

Vậy BĐT cần chứng minh đúng .Dấu = xảy ra khi x=y=z =1


Trong chủ đề: CM vuông góc BI

22-04-2014 - 20:57

Áp dụng định lý Brokard cho tứ giác AEHF nội tiếp ta có đpcm


Trong chủ đề: Trận 7 - Số học

11-04-2014 - 20:29

Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+y^2+z^2=x^2y^2$

Toán thủ ra đề: vutuanhien

Nếu x và y đều là số lẻ thì $x^2\equiv 1(mod 4)$ và $y^2\equiv 1(mod 4)$

=> $x^2y^2\equiv 1 (mod 4)$

Từ giả thiết suy ra z lẻ nên $z^2\equiv 1 (mod 4)$

=> $x^2+y^2+z^2\equiv 3 (mod 4)$ (Vô lý)

Vậy x chẵn hoặc y chẵn

Giả sử x chẵn => $y^2+z^2 \equiv 0 (mod 4)$

.Nếu y lẻ z chẵn hoặc y chẵn z lẻ thì $y^2+z^2\equiv 1 (mod 4)$(vô lý)

.Nếu y,z đều lẻ thì $y^2+z^2 \equiv 2$ (Vô lý)

Vậy y,z đều chẵn

=> $x=2x_{1},y=2y_{1},z=2z_{1}$

=> $x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2=4x_{1}^2y_{1}^2$

Lập luận hoàn toàn tương tự ta được: 

$x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2=16x_{2}^2y_{2}^2$

với $\frac{x}{2^{2}},\frac{y}{2^{2}},\frac{z}{2^{2}}$

Quá trình này có thể tiếp tục mãi với các số : $\frac{x}{2^{n}},\frac{y}{2^{n}},\frac{z}{2^{n}}$

là số chẵn với mọi n, do đó $(x;y;z)$ chỉ có thể là $(0;0;0)$


Trong chủ đề: Trận 4 - Đa thức, phương trình hàm

01-03-2014 - 00:06

Cho $x=y=0$ ta được $2f(0)=[f(0)]^2\Leftrightarrow \begin{matrix} f(0)=0\\ f(0)=2 \end{matrix}$

Xét trường hợp $f(0)=0$. Cho $x=0$ ta được $f(-y)=-f(y)$ với mọi $y\in \mathbb{R}$. Thay $y$ bằng $-y$ ta có: $f(x+y)-f(xy)=f(x)+f(y)-f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Từ đó ta có $f(x+y)+f(x-y)=2f(x),\forall x ,y\in \mathbb{R}$. Cho $x=y$ ta có $f(2x)=2f(x),\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó $f(x+y)+f(x-y)=f(2x),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Đặt $u=x+y,y=x-y$ ta có $f(u)+f(v)=f(u+v),\forall u,v\in \mathbb{R}$. Hay $f(x)+f(y)=f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Cho $x=y$ Khi đó $f(x^2)=(f(x))^2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó $f(a)>0$ với mọi $a>0$ 

Giả sử $x>y$ khi đó $f(x)=f(x-y)+f(y) > f(y)$ (do hàm $f$ lẻ), trường hợp $x=y=0$ khi đó $f(x)=f(y)=0$ =>$f $ đơn điệu tăng $\rightarrow f(x)=ax,\forall x\in \mathbb{R}$, $a$ là một hằng số.

Mà ta cũng có $f(xy)=f(x).f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$. Từ đó suy ra $\begin{matrix} f(x)\equiv 0\\ f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R} \end{matrix}$.

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Xét trường hợp $f(0)=2$. Cho $x=0$ ta có $f(y)=f(-y),\forall y\in \mathbb{R}$.

Thay $y=-y$ ta có $f(x+y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Do đó suy ra $f(x+y)=f(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}$. Chọn $x=y=\frac{u}{2}$ thì ta có $f(u)=2,\forall u\in \mathbb{R}$. Hay $f(x)=2,\forall x\in \mathbb{R}$. Thế lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)\equiv 0;f(x)\equiv 2;f(x)\equiv x$.


Trong chủ đề: Cho $ab+bc+ac=3$

22-02-2014 - 14:26

Bất đẳng thức này chỉ đúng khi $ab\geqslant 1$.

do sự tồn tại theo dirichlet bạn àh