nguyenqn1998

Giảm $a,b,c$ đi cùng một lượng $c=min{a,b,c}$ ta thấy vế phải không đổi , còn vế phải là $(a^{2}+b^{2}+2c^{2}-2ac-2bc)\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 

Nên bdt chỉ cần chứng minh với $2$ biến $a,b$ còn $c=0$ 

Khi đó ta cần có $(a^{2}+b^{2})^{3}\geq 27(ab)^{2}(a-b)^{2}$

Sau khi khai triển , và dùng $AM-GM$ ta thu được bdt luôn đúng 

$(a^{2}+b^{2})^{3}\geq 27(ab)^{2}(a-b)^{2}$

AM-GM là ra rồi đâu cần khai triển

$27(ab)^2(a-b)^2=27.(ab)(ab)(a^2-2ab+b^2) \leq (a^2+b^2)^3$

Bài 14:

Cách 1 trâu bò 

cách 2 ngắn gọn 

ta c/m bất đẳng thức sau $\sqrt{1+x^3}\leq 1+\frac{x^2}{2}$

thật vậy $\sqrt{1+x^3}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)}\leq \frac{1+x+1-x+x^2}{2}=1+\frac{x^2}{2}$

Áp dụng: 

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1+(\frac{b+c}{a})^3)}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}(\frac{b+c}{a})^2}\geq \frac{1}{1+\frac{b^2+c^2}{a^2}}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

=> dpcm

bạn Nguyên nên đánh dấu số bài.

 

 

Bài 14: Cho ba số a,b,c không âm.CMR

 

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geq 1$

Ta có 

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3)}}=\sum\frac{a^2}{\sqrt{a^4+a(b+c)^3)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum\sqrt{a^4+a(b+c)^3}}$

Bất đẳng thức cần c/m tương đương 

$(a+b+c)^4\geq \sum a^4+a(b+c)^3=a^4+b^4+c^3+\sum ab(a^2+b^2)+6abc(a+b+c)$

khai triển (a+b+c)^4 rút gọn và áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3 số và AM-GM có dạng (ab+bc+ca)^3$\geq$3abc(a+b+c) ta được dpcm

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

 

 

Bài 1: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi: $U_0=U_1=1, U_{n+2}=\sqrt[3]{U_{n+1}}+\sqrt[3]{U_n},\forall n\in \mathbb{N}$

Chứng minh rằng dãy $(U_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ biến thiên trong đoạn $[1;2]$ và thỏa mãn: $a+b+c=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

Bài 3: Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự $(a,b,c)$, với $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $[a,b,c]=2^3.3^5.5^7.7^{11}$ ? (Kí hiệu $[a,b,c]$ là bội chung nhỏ nhất của ba số $a,b,c$ nguyên dương)

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$

 

Bài 4: các bạn tự vẽ hình nhá

Gọi K là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A

AG là đường kính (O)

Gọi L là giao điểm của DX và EF

N là giao điểm của AI và BC

Ta có: $\angle$ITA=$\angle$ATG=90 => T,I,G thằng hàng(*)

ta cần c/m: L,I,G thẳng hàng

Ta có $\bigtriangleup DIN \sim \bigtriangleup KAG$$\bigtriangleup DIN \sim \bigtriangleup KAG$ (g-g)

=> $\frac{DN}{KG}=\frac{r}{AK}=\frac{r}{2RsinG}=\frac{r}{sin(C+A/2)}$$\frac{DN}{KG}=\frac{r}{AK}=\frac{r}{2RsinG}=\frac{r}{sin(C+A/2)}$

mà $sin(C+A/2)=\frac{LH}{DN} => \frac{LH}{KG}=\frac{r}{2R}(1)$

ta có: $IK=BK=\frac{BC}{2cosA/2}=\frac{2RsinA}{2cosA/2}=2RsinA/2$

=>$\frac{HI}{IK}=\frac{rsinA/2}{2RsinA/2}=r/2R(2)$

Từ (1),(2) => $\frac{LH}{KG}=\frac{HI}{IK}$=>L,I,G thằng hàng

=> T,L,I thẳng hàng (do (*))

mà DN//AN (cùng vuông góc EF)

=>$\angle FXL=\angle FAI$

mà $\angle FAI=\angle FIL$

=> TXLF nội tiếp 

=>FT vuông góc TX (Q.E.D)

Cho $a,b>0$ và thỏa mãn: $a+b+4ab=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:$$\frac{1}{ab+1}+2\left(\frac{1}{a+6}+\frac{1}{b+4}\right)$$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx+2xyz=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{2+yz}+\frac{1}{3+zx}$$

Cho a,b,c>0 CMR:

$\sum\frac{a(b+c)^2}{2a+b+c}\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}$

Bài 11: Cho x,y,z,t $\in \mathbb{R}$ m,n>0 C/m

$x^2+my^2+z^2+nt^2 \geq \sqrt{\frac{2mn}{m+n}}(xy+yz+zt+tx)$

Bài 6

    Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.CMR

                    $\frac{1}{a+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{b+\sqrt{3b+1}}+\frac{1}{c+\sqrt{3c+1}}\leq 1$

Bài 7

    Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$,ta có

                    $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)$

Bài 8

     Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.CMR với mọi $k>0$,ta có

                     $(b+c)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^{2}+1}}+(c+a)\sqrt[k]{\frac{ca+1}{b^{2}+1}}+(a+b)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^{2}+1}}\geq 6$   

Bài 7: Ta có

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)=((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)\leq \frac{(2a^2+2b^2)^2}{4}=(a^2+b^2)^2$

Q.E.D

Bài 8: dùng AM-GM rồi biến đổi

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=a+b+c+2. Tìm min

A=abc(a-1)(b-1)(c-1)

đáp án bài 5 http://www.artofprob...f=951&t=545437

đáp án bài 6 http://www.artofprob...f=951&t=545435