NguyenThinhTin

Tên: Nguyễn Thịnh Tín THPT chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

Chuyên đề: Dãy số và giới hạn, Phuong trình hàm

Địa chỉ liên lạc: Face: https://www.facebook...tin.nguyenthinh

Ta chứng minh các bất đẳng thức phụ:
$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$ (1)
Từ (1) $\Rightarrow$ $2a^{2}+2b^{2} \geq a^{2} +2ab +b^{2} \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab (*)$ ( Không phải là suy ra mà là tương đương )
vì a,b$>$0 nên (*) luôn đúng (BĐT Cô-si) do đó (1) luôn đúng Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$ (2)
Từ (2) suy ra: $3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
Hay $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ (**)
Vì (**) luôn đúng nên (2) luôn đúng Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
$a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}$ (BĐT Cô-si mở rộng cho 4 hạng tử với a,b,c,d $>$ 0) (3)
Ta có: Vì a,b,c $>$ 0 nên:
Từ (1) cho ta: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b}{^{\sqrt{2}}}$
Từ (1) cho ta: $\sqrt{c^{2}+4b^{2}}\geq \frac{c+2b}{^{\sqrt{2}}}\geq \frac{c+a+b}{\sqrt{2}}$ (vì a$\leq$b
Từ (2) cho ta: $\sqrt{4(a^{2}+b^{2})+c^{2}}\geq \frac{2a+2b+c}{\sqrt{3}}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$ ( Dấu lớn hơn hoặc bằng nhé)
Từ (3) cho ta : $a^{4}+3=a^{4}+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a}=4a$
Từ (3) cho ta: $b^{3}+b+2=b^{3}+b+1+1\geq 4\sqrt[4]{b^{3}b}=4b$
$c^{2}-2c+4\geq 2c$
Do đó: $a^{4}+b^{3}+c^{2}+b-2c=(a^{4}+3)+(b^{3}+b+2)+(c^{2}-2c+4)-9\geq 4a+4b+2c-9=2(2a+2b+c)-9=3$
Từ đó ta có P$\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{c+a+b}{\sqrt{2}}+ \frac{6}{\sqrt{3}}+3=\frac{2a+2b+c}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{3}}+3=\frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{3}}+3\approx 10.7067423$ ( Nên để dưới dạng căn chứ không cần tính ra như vậy)
Vậy giá trị nhở nhất của P la 10.7067423 khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix} a=b=1 & \\c=2 \end{matrix}\right.$
_______________________________
@Joker: Đáp số đúng. Viết nhầm vài chỗ
Chấm điểm d=9.

S = 12 + 3*9 = 39