Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


DSH

Đăng ký: 22-02-2013
Offline Đăng nhập: 29-05-2018 - 21:26
-----

#536510 Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.

Gửi bởi DSH trong 07-12-2014 - 11:36

Gọi hai số tốt là : $x;y (x \ge y)$

Xét số $xy$

Nhận thấy các số $n \in [1;x-1]$ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng các ước số của xy (do ước của xy bao gồm ước của x)

Các số $kx$ với $k \in [1;y-1]$

Ta biểu diễn k dưới các ước của $y$

Nhân tất cả các ước của y với x ta được biểu diễn $kx$

các ước đó của xy phân biệt do các ước của y phân biệt

Các số $\in [kx+1;(k+1)x-1]$ biểu diễn $kx + m (m \in [1;x-1])$ (kx viết dưới dạng các ước như trên)

Nhận thấy $kx$ đã biểu diễn được dưới các ước của xy lớn hơn x

m biểu diễn các ước của xy nhỏ hơn x nên các ước phân biệt

 

Nên xy cũng là số tốt $.$




#536440 ĐỀ SỐ 1 Luyện VMO 2015

Gửi bởi DSH trong 06-12-2014 - 19:44

Bài hình điểm Y  ???

 

Em làm thử câu 4

Số hình vuông  1x1 là : $(C^1_n)^2$

Số hình vuông 2x2 : $(C^2_n)^2$

...

Số hình vuông nxn: $(C^n_n)^2$

 

Tổng sẽ là : $C^n_{2n}-1$ 

 

Câu hỏi mở

1. Nếu cho hình chữ nhật $mxn$ thì số hình vuông ? hình chữ nhật ?

2. Nếu cho n x n điểm trong hệ tọa độ . Số hình vuông nối được từ $n^2$ điểm đã cho là bao nhiêu ?




#536434 CM đa thức f(x)= (P(x))2+1 bất khả quy

Gửi bởi DSH trong 06-12-2014 - 19:13

Dễ dàng giải ra $P(x)=x(x-1)...(x-2004)$ bằng phương pháp xét các nghiệm của $P(x)$

Như vậy đưa về bài toán 

Chứng minh:

$(\proud (x-a_i))^2+1$ BKQ với $a_i$ là các số phân biệt

Đây là bài toán quen thuộc




#409201 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố

Gửi bởi DSH trong 30-03-2013 - 21:00

Chứng minh rằng với p là số nguyên tố và $p^{2}+2$ cũng là số nguyên tố thì $p^{3}+2$ là số nguyên tố

p=3 Ngon

$p \ne 3 \to p^2 +2 \vdots 3$ hợp số

 

Vậy p=3




#405287 sẽ bổ sung nội dung sau

Gửi bởi DSH trong 15-03-2013 - 18:27

Bài này có thể giải được bằng potolemy và định lý hàm số Cos, mình xin trình bày như sau... Đùa tí, đại số thôi là đủ
HINT:
$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-(a-c))=(b+d)^2-(a-c)^2 \implies ac+(a-c)^2+bd=(b+d)^2 \implies a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2$

Có $(ad+bc)(ab+cd)=a^2bd+acd^2+b^2ac+bdc^2=bd(a^2+c^2)+ac(b^2+d^2)=bd(a^2-ac+c^2)+ac(b^2+bd+d^2)=(ac+bd)(b^2+bd+d^2)$

Mà, phương trình nghiệm nguyên: $xy = zt$ có nghiệm $(x;y;z;t) = (mc;bd;md;bc)$ với $(x,z)=m, b\in \mathbb Z$

Điều này sẽ giúp bạn khẳng định $ac+bd$ là hợp số



#403666 Các phương pháp giải phương trình phần nguyên

Gửi bởi DSH trong 10-03-2013 - 15:35

Phương pháp $1$. Dùng định nghĩa để khử dấu phần nguyên
$[x]=n\Leftrightarrow \begin{cases}n \in \mathbb{Z} \\ n \le x <n+1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}n \in \mathbb{Z} \\ 0 \le x- n<1 \end{cases}$
Ví dụ $1$. Giải phương trình
$\left[ {\frac{3x+1}{5}} \right]=2x-1 (1)$
Lời giải :
PT $(1)\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ 0 \le \frac{3x+1}{5}- 2x+1<1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ 0 \le \frac{-7x+6}{5}<1 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ 0 \le -7x+6<5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \in \mathbb{Z} \\ \frac{1}{7} < x \le\frac{6}{7} \end{cases}\Leftrightarrow x =\frac{1}{2} $
Vậy nghiệm của PT $(1)$ là $x =\frac{1}{2} $.
Ví dụ $2$. Tìm nghiệm nguyên của PT
$\left[ {\frac{x}{2}} \right]+\left[ {\frac{x}{3}} \right]=17 (2)$
Lời giải :
Ta có :
$\begin{cases}0 \le \frac{x}{2}-\left[ {\frac{x}{2}} \right] <1 \\ 0 \le \frac{x}{3}-\left[ {\frac{x}{3}} \right] <1 \end{cases}\Rightarrow 0 \le \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\left (\left[ {\frac{x}{2}} \right]+\left[ {\frac{x}{3}} \right] \right ) < 2$
$\Rightarrow 0 \le \frac{5x}{6}-17 <2\Rightarrow 102 \le 5x < 114\Rightarrow \frac{102}{5} \le x <\frac{114}{5}$.
Kết hợp với $x \in \mathbb{Z}$, ta được $x=21, x=22$.
Tóm lại : $x=21$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của $(2)$ là $x=21$.
Ví dụ $3.$ Giải phương trình
$[x]^2-2[x]-3=0 (3)$
Lời giải :
PT $(3)\Leftrightarrow [x].\left ([x]-2 \right )=3=3.1=(-1).(-3)$
Do $[x]$, $[x] -2$ là các số nguyên và $[x]>[x] -2$ nên $\left[ {\begin{matrix} [x]=3\\ \left[ {x} \right]=-1 \end{matrix}} \right.$
Nếu $ [x]=3\Leftrightarrow 3 \le x < 4$.
Nếu $ [x]=-1\Leftrightarrow -1 \le x < 0$.
Vậy tập nghiệm của PT $(3)$ là : $[3, 4) \cup [-1,0)$.
Phương pháp $2.$ Đặt ẩn phụ để khử dấu phần nguyên.
Ví dụ $4.$ Giải phương trình
$\left[ {\frac{7x-5}{3}} \right]=\frac{16x+3}{5} (4)$
Lời giải :
Đặt $\frac{16x+3}{5}=y, (y \in \mathbb{Z})$, ta có
$16x+3=5y\Rightarrow x=\frac{5y-3}{16}\Rightarrow \frac{7x-5}{3}=\frac{35y-101}{48}$
Do đó
PT $\Leftrightarrow \left[ {\frac{35y-101}{48}} \right]=y\Leftrightarrow 0 \le \frac{35y-101}{48}-y<1\Leftrightarrow 0 \le -13y-101 < 48$
$\Leftrightarrow \frac{-101}{13} \ge y >\frac{149}{13}\Leftrightarrow y \in\left\{ -8; -9;-10;-11{} \right\}$ do $y \in \mathbb{Z}$.
Với $y=-8$ thì $\frac{16x+3}{5}=-8\Leftrightarrow x=-\frac{43}{16}$.
Với $y=-9$ thì $\frac{16x+3}{5}=-9\Leftrightarrow x=-3$.
Với $y=-10$ thì $\frac{16x+3}{5}=-10\Leftrightarrow x=-\frac{53}{16}$.
Với $y=-11$ thì $\frac{16x+3}{5}=-11\Leftrightarrow x=-\frac{58}{16}$.
Vậy tập nghiệm của PT $(4)$ là : $\left\{ {-\frac{43}{16};-3;-\frac{53}{16};-\frac{58}{16}} \right\}$.
Ví dụ $5.$ Giải phương trình
$x^2-6[x]+5=0$
Lời giải :
Đặt $[x]=y (y \in \mathbb{Z} )$ thì từ $(5)$ ta có $6y=x^2+5$.
Suy ra $y>0$. Lại có $y \le x < y+1$ nên $y^2+5 \le x^2+5 <y^2+2y+6\Leftrightarrow y^2+5 \le 6y <y^2+2y+6$
$\Leftrightarrow \begin{cases}y^2-6y+5 \le 0 \\ y^2-4y+6>0 \end{cases}\Leftrightarrow 1 \le y \le 5.$
Do $y \in \mathbb{Z}$ và $1 \le y \le 5$ nên $y \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$.
Với $y=1$ thì $\begin{cases} \left[ {x} \right]=1 \\ x^2=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=1.$
Với $y=2$ thì $\begin{cases}[x]=2 \\ x^2=7 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2 \le x<3 \\ x=\pm \sqrt 7 \end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt 7.$
Với $y=3$ thì $\begin{cases}[x]=3 \\ x^2=13 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3 \le x<4 \\ x=\pm \sqrt {13} \end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt {13}.$
Với $y=4$ thì $\begin{cases}[x]=4 \\ x^2=19 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4 \le x<5 \\ x=\pm \sqrt {19} \end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt {19}.$
Với $y=5$ thì $\begin{cases}[x]=5 \\ x^2=25 \end{cases}\Leftrightarrow x=5.$
Vậy tập nghiệm của PT $(5)$ là $\left\{ {1,\sqrt{7},\sqrt{13},\sqrt{19},5} \right\}$.
Phương pháp $3$. Xét khoảng các giá trị của biến để khử dấu phần nguyên. Với chú ý rằng nếu $x \ge y$ thì $[x] \ge [y]$.
Ví dụ $6.$ Giải phương trình
$x^4=2x^2+[x]$
Lời giải :
PT $(6)\Leftrightarrow [x]=x^2(x^2-2).$
Ta xét các trường hợp sau :
* Nếu $x^2=2$ thì $\begin{cases}x=\pm \sqrt 2 \\ \left[ {x} \right]=0 \end{cases}\Leftrightarrow $ không tồn tại $x$.
* Nếu $x^2<2$ thì $\begin{cases}- \sqrt 2 <x<\sqrt 2\\ \left[ {x} \right]\le 0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} [x]=0\\\left[ {x} \right]=-1 \end{matrix}} \right.$
Với $[x]=0$ thì $\begin{cases}x^2(x^2-2)=0 \\0 \le x <1 \end{cases}\Leftrightarrow x=0$;
Với $[x]=-1$ thì $\begin{cases}x^4-2x^2+1=0 \\-1 \le x <0 \end{cases}\Leftrightarrow x=-1$;
* Nếu $x^2>2$ thì $\begin{cases}\left[ {\begin{matrix} x>\sqrt 2\\ x<- \sqrt 2 \end{matrix}} \right.\\ \left[ {x} \right]> 0 \end{cases}\Leftrightarrow x>\sqrt 2$
Suy ra $1 \le [x] \le x$ do đó
$[x]=x^2(x^2-2) \ge [x]=[x]^2(x^2-2)$
$\Leftrightarrow [x](x^2-2) \le 1\Rightarrow [x]=1$.
Từ đó $x^4-2x^2-1=0\Leftrightarrow x=\sqrt{1+\sqrt{2}}$ (do $[x]=1$).
Giá trị này thuộc khoảng đang xét.
Vậy tập nghiệm của PT $(6)$ là $\left\{ {-1,0,\sqrt{1+\sqrt{2}}} \right\}$.

Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
$1.$ $\left[ {\frac{2-5x}{4}} \right]=-x$.
$2.$ $\left[ {\frac{2x-1}{3}} \right]=\left[ {\frac{x+1}{2}} \right]$.
$3.$ $\left[ {\frac{1-x}{2}} \right]+\left[ {1-\frac{x}{2}} \right]=\frac{1-3x}{8}$.
$4.$ $1-[x+1]=\frac{[x]-x}{[x-1]}$.
$5.$ $x^4-3x^2-[x]=0$.


#399403 Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c}...

Gửi bởi DSH trong 23-02-2013 - 19:23

Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$


Lời giải
$\sum \dfrac{a^2+bc}{b+c} \ge \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2+bc+ac+ab}{b+c} \ge 2 \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c} \ge 2 \sum a$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \dfrac{yz}{x} \ge \sum x$
$\Leftrightarrow \sum yz^2 \ge xyz(x+y+z)$
Đúng theo $AM-GM$