Ta có $7^{4}=2401> 2008$
$\Rightarrow$đa thức f(x) có bậc 3 nên f(x) có dạng
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d$\in \mathbb{Z^{+}}\leq 7)$. $\Rightarrow f(7)=343a+49b+7c+d=2008$(1)
Vì a,b,c,d là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 ta có 49b+7c+d$\leq 49.7+7.7+7=399\Rightarrow 343a\geq 1609\Rightarrow a\geq 4,69$
Lại có$49b+7c+d\geq 57\Rightarrow 343a\leq 1951\Rightarrow a\leq 5,68$$\Rightarrow a=5$
Thay vào (1) ta có 49b+7c+d=293
Tương tự ta có b=5,c=6,d=6
Vậy f(x)=$5x^{3}+5x^{2}+6x+6$